2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z= 2i，则( )
A. z2=2B. z2=−4C. z4=2D. z4=4
2.如图，则a−b=( )
A. 2e1−3e2B. −2e1+3e2C. 3e1−2e2D. −3e1+2e2
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=4，a=4 2，A=π4，则C=( )
A. π6B. π6或5π6C. π3D. π3或2π3
4.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( )
A. 4 2πB. 4πC. 2 2πD. 2π
5.某地新建了一处云顶观景塔，引来广大市民参观，张同学在与塔底水平的A处，利用无人机在距离地面22m的C处观测塔顶的俯角为30°，在无人机正下方距离地面2m的B处观测塔顶仰角为60°，则该塔的高度为( )
A. 15m
B. (15 3+2)m
C. 17m
D. (10 3+2)m
6.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.则下列判断中正确的个数是( )
(1)M，N，K三点共线；
(2)P，N，M，C四点共面；
(3)BC//NK．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7.已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点(含端点)，则(DA+DB)⋅(DA+DC)的取值范围是( )
A. [4,12]B. [4,20]C. [8,20]D. [8,24]
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，D为BC边上的中点，c=4，AO⋅AD=5，sinC+sinA−4sinB=0，则csA=( )
A. 32B. 12C. 14D. 28
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，下列命题正确的是( )
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点A既在平面α内，又在平面β内，且α与β相交于直线b，则点A在b上
D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c=2：3：4，则下列结论正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=2：3：4
B. △ABC是锐角三角形
C. 若c=8，则△ABC内切圆半径为 153
D. 若c=8，则△ABC外接圆半径为8 1515
11.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，点Q满足CQ=λCC1，λ∈[0,1]，下列说法正确的是( )
A. PQ/​/平面ADD1A1
B. 若Q，M，N，P四点共面，则λ=14
C. 若λ=13，点F在侧面BB1C1C内，且A1F/​/平面APQ，则点F的轨迹长度为 133
D. 若λ=12，由平面MNQ分割该正方体所成的两个空间几何体为Ω1和Ω2，某球能够被整体放入Ω1或Ω2，则该球的表面积最大值为(10−6 3)π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(3,1),b=(1,−1),c=a+kb，若a⊥c，则k= ______．
13.在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM/​/平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ．
14.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为36π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=bi(b∈R)，z+31−i是实数．
(1)求复数z；
(2)设w=z2+z−+5，求|w|；
(3)若复数(m−z)2−8m在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知点P为△ABC中边AB上一点，BP=23BA．
(1)设CP=xCA+yCB，求(x−y)的值．
(2)设|CA|=6，|CB|=3，
①若|CP|=2,∠ACP=π6，求CP在CA上的投影向量；
②若=2π3，求CP⋅AB的值．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，已知A=π2，B=2π3，AB=6.在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED.若∠CED=2π3，EC= 7．
(Ⅰ)求sin∠BCE的值；
(Ⅱ)求CD的长．
18.(本小题17分)
如图所示正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB= 2，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD，求：
(1)正四棱锥S−ABCD的表面积；
(2)若M为SA的中点，求证：SC//平面BMD；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在△AOB中，已知|OA|=2，|OB|=2 3，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，AD=λAB，λ∈(0,1)，P为单位圆O上的动点．
(1)当λ=12时，求|PD|的最小值；
(2)若OC+OP=OD，求λ的值；
(3)记|PD|的最小值为f(λ)，求f(λ)的表达式及f(λ)的最小值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.C
6.B
7.D
8.C
9.ABC
10.AC
11.AC
12.−5
13.2 3
14.12π
15.解：(1)因为z=bi，
所以z+31−i=3+bi1−i=(3+bi)(1+i)2=3−b+(b+3)i2
因为z+31−i是实数，所以b+3=0，解得b=−3
故z=−3i．
(2)由(1)可知，z=−3i，则w=z2+z−+5=(−3i)2+3i+5=4+3i，
|w|=|4+3i|= 42+32=5．
(3)因为z=−3i，
所以(m−z)2−8m=(m+3i)2−8m=(m2−8m−9)+6mi．
因为复数(m−z)2−8m所表示的点在第二象限，
所以m2−8m−90，解得0