2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设向量a与b的夹角为θ，且a=(−2,1),a+2b=(2,3)，则csθ=( )
A. −35B. 35C. 55D. −2 55
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个长为3宽为2的矩形，则该平面图形的面积为( )
A. 3 22
B. 3 2
C. 6
D. 12 2
3.已知直线a、b和平面α、β，则下列说法正确的是( )
A. 若a/​/α，b/​/α，a⊂β，b⊂β，则α/​/β
B. 若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/b
C. 若a/​/α，b/​/β，a/​/b，则α/​/β
D. 若a/​/α，a/​/β，α∩β=b，则a/​/b
4.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC−A′B′C′中，AB⊥AC，AB=1，AC=2，BB′=3，则此堑堵的外接球半径是( )
A. 2 3B. 3C. 142D. 14
5.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ.则sinθ=( )
A. 12B. 3C. −2D. −13
6.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3 2，AD= 3，sin∠ABC= 33，则△ABC的面积是( )
A. 9 22B. 15 22C. 6 2D. 12 2
7.已知圆台上下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=3(点B位于上底面)，且满足AO2=2BO1，圆O2的周长为2π，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台的侧面爬行一周到AB的中点C，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A. 3 132B. 3 3C. 3 7D. 3 72
8.在△ABC中，AB=AC，若点O为△ABC的垂心，且满足AO=14AB+xAC，则cs∠BAC的值为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列条件中可以判定△ABC一定为等腰三角形的有( )
A. acsA=bcsBB. acsB=bcsAC. bsinB=csinCD. a=2bcsC
10.已知三棱台ABC−A′B′C′，上下底面边长之比为1：2，棱AB、BC、AC的中点为点M、P、N，则下列结论错误的有( )
A. A′N//PC′
B. A′P与AC为异面直线
C. AB/​/面A′C′P
D. 面A′MN//面BCC′B′
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=1，1−2acsinA=a2+c2，则下列说法正确的有( )
A. 1+atanB=0B. sinC+cs2B=0
C. c+ 2a> 2D. △ABC的面积S0，sin(π−2θ)=sin2θ，所以将以上两式相除得2 3sinθ=a⋅sinπ3，即a=4sinθ，
所以4sinθsin2θ=2csθ=2sin(2π3−2θ)，可得sin(2π3−2θ)=csθ=sin(π2±θ)，即2π3−2θ=π2±θ，或π−(2π3−2θ)=π2±θ
结合θ∈(0,π2)，且2π3−2θ>0，可得θ∈(0,π3)，所以∠DCA=θ=π6或π18．
19.(1)证明：在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB=BDsin∠BAD=1sin∠BAD，
在△AEC中，由正弦定理得，ACsin∠AEC=CEsin∠CAE=3sin∠CAE，
因为∠BAD=∠CAE，
所以ABsin∠ADB=AC3sin∠AEC，即ABAC=sin∠ADB3sin∠AEC．
(2)证明：因为∠BAD=∠CAE，BD=1，DE=5，EC=3，
所以S△ABDS△AEC=12⋅AB⋅DA⋅sin∠BAD12⋅AC⋅AE⋅sin∠BAD=AB⋅DAAC⋅AE=13，
S△ABES△ACD=12⋅AB⋅AE⋅sin(∠BAD+∠DAE)12⋅AC⋅AD⋅sin(∠BAD+∠DAE)=AB⋅AEAC⋅AD=68=34，
两式相乘得，AB⋅DAAC⋅AE⋅AB⋅AEAC⋅AD=AB2AC2=13×34=14，
所以ABAC=12，为定值．
(3)解：由(2)知ABAC=12，
设AC=2AB=2x，则2x+x>92x−x