2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.下列求导数的运算中正确的是( )
A. (lg2x)′=ln2xB. (sinx+csπ3)′=csx−sinπ3
C. (3x)′=x⋅3x−1D. [ln(2x−1)]′=22x−1
2.已知倾斜角为135°的直线l与曲线y=x+1x(x>0)相切于点P，则点P的横坐标为( )
A. 23B. 33C. 22D. 32
3.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. 0C. 04.已知函数f(x)=f′(1)x2+x+2，则f′(1)等于( )
A. −3B. −2C. −1D. 1
5.如果可导曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线方程为x+eay−3=0，其中a∈R，则( )
A. f′(x0)>0B. f′(x0)=0C. f′(x0)<0D. 无法确定
6.已知函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则a、b的值为( )
A. a=−4，b=11B. a=3，b=−3或a=−4，b=11
C. a=−1，b=5D. 以上都不正确
7.已知函数f(x)=(x−1)(ex+a)在区间(−1,1)上单调递增，则a的最小值为( )
A. e−1B. e−2C. eD. e2
8.已知函数f(x)=ex−3，g(x)=12+lnx2，f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为( )
A. 1+ln2B. ln2C. 2ln2D. ln2−1
9.对于函数f(x)=x3−3x2，下列说法正确的是( )
A. f(x)是增函数，无极值
B. f(x)是减函数，无极值
C. f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)
D. f(0)=0是极大值，f(2)=−4是极小值
10.已知函数f(x)=sinxcsx−2sinx+x( )
A. f(x)在[0,π2]上单调递增B. f(x)在[π2,π]上单调递增
C. f(x)在[0,π]上有唯一零点D. f(x)在[0,π]上有最小值为π2−2
11.若f(x)=|lnx|的图象在x=x1，x=x2(x1A. x1+x2=1B. x1+x2的最小值为2
C. l1，l2在y轴上的截距之差为2D. l1，l2在y轴上的截距之积可能为−1
二、非选择题（共92分）
12.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有______种不同的坐法．
13.已知函数f(x)=x2−2lnx若关于x的不等式f(x)−m≥0在[1,e]有实数解，则实数m的取值范围为______．
14.若函数f(x)=13x3+x2−23在区间(a,a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是______．
15.递增等比数列{an}中，a1a5=64，a2+a4=20，数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=32n2+12n(n∈N,n≥1)．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{34an+bn}的前n项和Tn．
16.已知圆C方程为x2+y2−2x−4y+2m=0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线x−2y−1=0与圆C相切，求实数m的值；
(3)若圆C与圆O：x2+y2=1相切，求实数m的值．
17.设a为实数，函数f(x)=x3−x2−x+a．
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点？
18.已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx．
(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当a<1时，求函数f(x)的零点个数，并说明理由．
19.设函数f(x)=e2x−alnx．
(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(Ⅱ)证明：当a>0时，f(x)≥2a+aln2a．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.C
5.C
6.A
7.A
8.D
9.CD
10.BD
11.C
12.16
13.(−∞,e2−2]
14.[−3,0)
15.解：(1)在递增等比数列{an}中，a1a5=a2a4=64，a2+a4=20，解得a2=4，a4=16，
设公比为q，则q2=a4a2=4，又因为{an}为递增数列，故q>0，
所以q=2，a1=2，所以an=2n；
数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=32n2+12n(n∈N,n≥1)，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=32n2+12n−(32n2−52n+1)=3n−1，
当n=1时，b1=S1=2，符合上式，
所以bn=3n−1．
(2)由(1)知an=2n，bn=3n−1，所以34an+bn=34×2n+3n−1，
则Tn=34(21+22+23+⋯2n)+(3×1−1+3×2−1+⋯3n−1)
=34×2(1−2n)1−2+3n(1+n)2−n
=32(2n−1)+32(n2+n)−n=3⋅2n−1+32n2+12n−32，
即Tn=3⋅2n−1+32n2+12n−32．
16.解：(1)x2+y2−2x−4y+2m=0，
可化为(x−1)2+(y−2)2=5−2m，
所以5−2m>0⇒m<52；
(2)由(1)知，圆心C(1,2)，半径r= 5−2m，
因为圆(x−1)2+(y−2)2=5−2m和直线x−2y−1=0相切，
所以有|1−4−1| 12+(−2)2= 5−2m，
所以m=910．
(3)因为O：x2+y2=1与圆C相切，
所以|OC|=1+ 5−2m= 5或|OC|=| 5−2m−1|= 5，
解得m= 5−12<52或m=− 5−12<52，
故实数m的值是 5−12或− 5−12．
17.解：(1)f′(x)=3x2−2x+1.令f′(x)=0，则x=−13或x=1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的极大值是f(−13)=527+a，极小值是f(1)=a−1.(6分)
(2)函数f(x)=x3−x2−x+a=(x−1)2(x+1)+a−1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值=f(−13)=527+a，f(x)极小值=f(x)=a−1．
∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即527+a<0或a−1>0，∴a<−527或a>1，
∴当a∈(−∞,−527)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．(12分)
18.解：(Ⅰ)当a=1时，f(1)=12−2+ln1=−32，
f′(x)=(x−1)2x，则切线的斜率k=f′(1)=0，
所以切线方程为y−(−32)=k(x−1)，即y=−32，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−32．
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=(x−a)(x−1)x，
令f′(x)=(x−a)(x−1)x=0，解得x1=a，x2=1，
①当0f(x)在(0,a)上递增，在(a,1)上递减，在(1,+∞)上递增．
此时f(x)极大值=f(a)=−12a2−a+alna<0，f(2a+2)=aln(2a+2)>aln2>0，
所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，
②当a=0时，f(x)=12x2−x，由f(x)=0，得x1=2，x2=0(舍)，
所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点；
③当a<0时，f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：
此时f(x)极小值=f(1)=−a−12，
若a<−12时，f(x)min=f(1)=−a−12>0，所以f(x)在(0,+∞)上无零点，
若a=−12时，f(x)min=f(1)=−a−12=0，所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点，
若−12f(e1a)=12e2a−e1a−ae1a+1=12(e1a−1)2−ae1a+12>0，
f(4)=8−4(a+1)+aln4>4−12ln4=4−ln2>0，
所以f(x)有两个零点．
综上所述，当0≤a<1或a=−12时，f(x)在(0,+∞)上有一个零点；
当−12当a<−12时，f(x)在(0,+∞)上无零点．
19.解：(Ⅰ)f(x)=e2x−alnx的定义域为(0,+∞)，
∴f′(x)=2e2x−ax．
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故f′(x)没有零点，
当a>0时，∵y=e2x为单调递增，y=−ax单调递增，
∴f′(x)在(0,+∞)单调递增，
又f′(a)>0，
假设存在b满足0故当a>0时，导函数f′(x)存在唯一的零点，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0，
当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，
当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增，
所欲当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)，
由于2e2x0−ax0=0，
所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a．
故当a>0时，f(x)≥2a+aln2a． x
(−∞,−13)
−13
(−13,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
极大值
极小值
x
(0,a)
a
(a,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
↘
极小值
↗