2024年江苏省南京市雨花台区中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2024年江苏省南京市雨花台区中考数学模拟试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.与|(−n)2|(n为实数)的值相等的是( )
A. −n2B. n2C. (−n)3D. |n3|
2.已知a，b都是实数，若(a+2)2+|b−2|=0，则(a+b)2024的值是( )
A. −2024B. 0C. 1D. 2024
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( )
A. ∠BDE=∠BAC
B. ∠BAD=∠B
C. DE=DC
D. AE=AC
4.如图，矩形纸片ABCD，AB=15cm，BC=20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A′BC′，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为( )
A. 607cmB. 1207cmC. 365cmD. 725cm
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°0.试说明：a+b≥2 ab．
23.(本小题8分)
如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB=15cm，BC=30cm，测量得∠ABC=148°，∠BCD=28°，AE=9cm.求摄像头到桌面l的距离DE的长(结果精确到0.1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60， 3≈1.73)
24.(本小题8分)
一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
25.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
(1)求证：AC⋅PC=BC2；
(2)已知BC2=3FP⋅DC，AFAB的值为______；
(3)延长DC交AB的延长线于M，连接PM.当AB=10时，随着点C的变化，PM的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2(k−1)x+k2−52k(k为常数)．
(1)若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
(2)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值−32，求k的值．
27.(本小题10分)
综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC>90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC=2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC>90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
(1)如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC=2∠ACB．
(2)如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB=4，CE=3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB=AC=BD=4，CD=1，∠ABD=2∠BDC，求BC的长．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.C
6.A
7.−9m
8.30
9.(3,2)
10.78
11.4 10
12.−212 2
13.60°
14.6072+2n
15.6.5
16.332
17.解：原式=(−3+4+8)2
=92
=81．
18.解：原式=[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]÷(aa−4a)
=(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)2÷a−4a
=a2−4−a2+aa(a−2)2⋅aa−4
=1(a−2)2，
当a=2− 3时，
原式=1(2− 3−2)2=13．
19.30
20.(1)不可能；
(2)树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为212=16．
21.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，CD/​/AB，
∴∠D=∠FAD，∠DCE=∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
∴△CDE≌△FAE(AAS)，
∴CE=EF，
∵AE//BC，
∴FAAB=FECE=1，
∴AF=AB；
(2)解：∵AG=2，FG=6，
∴AF=FG+AG=6+2=8，
∴AB=AF=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，
∵∠DCE=∠F，∠FCG=∠FCD，
∴∠F=∠FCG，
∴CG=FG=6，
∵CD/​/AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴CDAG=CHGH，即82=6−GHGH，
∴GH=1.2，
∴CH=GC−GH=4.8．
22.解：∵a>0，b>0，
∴a+b−2 ab=( a− b)2≥0，
∴a+b≥2 ab．
23.解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN=AB=15cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM/​/BN，
∵∠ABC=148°，
∴∠CBN=∠ABC−∠ABN=148°−90°=58°，
在Rt△CBN中，BC=30cm，
∴CN=30⋅sin58°≈30×0.85=25.5(cm)，
BN=30⋅cs58°≈30×0.53=15.9(cm)，
∴AF=BN=15.9cm，
∴DM=EF=AE+AF=9+15.9=24.9(cm)，
∵DM//BN，
∴∠CGM=∠CBN=58°，
∴∠CDM=∠CGM−∠DCB=58°−28°=30°，
在Rt△CDM中，CM=DM⋅tan30°= 33×24.9≈14.36(cm)，
∴MN=CN−CM=25.5−14.36=11.14(cm)，
∴MF=MN+NF=11.14+15≈26.14(cm)，
∴DE=MF≈26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
24.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将(10,30)、(16,24)代入，得：10k+b=3016k+b=24，
解得：k=−1b=40，
所以y与x的函数解析式为y=−x+40(10≤x≤16)；
(2)根据题意知，W=(x−10)y
=(x−10)(−x+40)
=−x2+50x−400
=−(x−25)2+225，
∵a=−1k2−132k+8，
解得k>1；
(3)抛物线y=x2−2(k−1)x+k2−52k解析式配方得：
y=(x−k+1)2+(−12k−1)，
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为：
y=(x−k)2+(−12k−1)，
当k2时，1≤x≤2对应的抛物线部分在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴k2−92k+3=−32，解得：
综上，k=1或3．
27.问题1，
(1)证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED=∠A，
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠A+∠DEC=180°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC=∠A+2∠ACB=180°，
∴∠DEC=2∠ACB；
(2)解：如图1，

作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD=∠DFC=90°，
由折叠得，
AD=DE，∠ADB=BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD=AD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE，CF=EF=12CE=32
∴DF2=CD2−CF2=22−(32)2=74，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC=180°，
∴2∠ADB+∠EDC=180°，
∵∠AEC+∠DCE+∠EDC=180°，
∴2∠DCE+∠EDC=180°，
∴∠ADB=∠DCE，
∴△ADG≌△DFC(AAS)，
∴AG=DF，DG=CF=32，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG= AB2−AG2= 42−74= 572，
∴BD=BG+DG= 57+32；
问题2，
解：如图2，

连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB=BD，
∴∠ABD=2∠DBE，DE=AE=12AD，
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∴CD/​/BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED=∠EDC=∠F=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF=DE，DF=BE，
在Rt△ACD中，CD=1，AC=4，
∴AD= 42−12= 15，
∴BF=DE= 152，
在Rt△BDE中，BD=4，DE= 152，
∴DF=BE= 42−( 152)2=72，
∴CF=DF−CD=72−1=52，
在Rt△BCF中，CF=52，BF= 152，
∴BC= (52)2+( 152)2= 10．