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2023-2024学年福建省宁德市霞浦县福宁中学联盟校八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年福建省宁德市霞浦县福宁中学联盟校八年级（下）第一次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若m>n，则下列不等式正确的是( )
A. m−2n6C. 3m<3nD. −2m>−2n
2.等腰三角形的顶角为40°，则底角的度数为( )
A. 30°B. 70°C. 65°D. 140°
3.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DE=4，AB=7，则△ABD的面积等于( )
A. 28
B. 21
C. 14
D. 7
4.一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为( )
A. 3−5x<3x−5B. 6x+4>−2
C. −7x+6≥7+3xD. −3x+4≥3−4x
5.已知点P坐标为(a+1,5−a)且在第二象限，则a的值可能是( )
A. −1B. −2C. 0D. 1
6.下列命题中的真命题是( )
A. 相等的角是对顶角B. 同位角相等
C. 全等三角形的面积相等D. 若m2=n2，则m=n
7.如图，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为( )
A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°
8.关于x的不等式5x−m≤2的解集如图所示，则m的值是( )
A. 3B. −3C. 0D. 2
9.现要把一些书分给几名同学，若_____；若每人分11本，则有剩余.依题意，设有x名同学，可列不等式7(x+8)≥11x，则横线的信息可以是( )
A. 每人分7本，则剩余8本
B. 每人分7本，则可多分8个人
C. 每人分8本，则剩余7本
D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分8本
10.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=90°，下列结论正确的是( )
①△BED≌△AFD；
②AC=BE+FC；
③EF=AD；
④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则14S1≤S2≤12S1
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.x与3的和是负数，用不等式表示为______．
12.用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c(a≤b13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=1，∠A=30°，则AD= ______．
14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−(x+a)>0的解集是______．
15.若不等式组x>1x16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE//AB交直线BC于点E，连接BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解不等式：x+12+x−13⩽1，并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题6分)
解不等式组2(x−1)1，并求不等式组的正整数解．
19.(本小题6分)
在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
20.(本小题7分)
如图，已知△ABC，
(1)根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；(不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论)
(2)在第(1)小题所作的图中，求证：DE//AC．
21.(本小题7分)
定义运算min{a,b}：当a≥b时，min{a,b}=b；当a(1)min{−3,3}= ______，当x≤4时，min{x,4}= ______；
(2)如图，已知直线y1=x+m与y2=kx−2相交于点P(−2,1)，若min{x+m,kx−2}=kx−2，结合图象，直接写出的x取值范围是______；
(3)若min{3x−1,−x+3}=3−x，求x的取值范围．
22.(本小题8分)
西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元..
(1)求A，B两种树木每棵各多少元？
(2)布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售.如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？
23.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C(m,5)
(1)填空：m= ______，b= ______；
(2)x满足什么条件时，0(3)点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，求点P的坐标．
24.(本小题10分)
如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD，AE交于点F．
(1)如图1，求∠AFD的度数；
(2)如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于点Q.若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；
(3)如图3，延长CD到点P，使∠BPD=30°，设AF=a，CF=b，请用含a，b的式子表示PC的长，并说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.A
9.B
10.A
11.x+3<0
12.△ABC为直角三角形
13.2
14.x<−1
15.a>1
16. 52或 412
17.解：去分母，得：3(x+1)+2(x−1)⩽6，
去括号，得：3x+3+2x−2⩽6，
移项，得：3x+2x⩽6−3+2，
合并同类项，得：5x⩽5，
系数化为1，得：x⩽1，
将解集表示在数轴上如下：
18.解：2(x−1)1②，
解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x>0，
∴原不等式组的解集为0∴原不等式组的正整数解为x=1，2．
19.(1)证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=CB,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；
(2)解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，
由(1)知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
20.(1)解：如图所示：
(2)证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE//AC．
21.−3 x x≥−2
22.解：(1)设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，由题意可得：
3x+4y=470①5x+2y=410②，
由②×2−①可得：7x=350，
解得：x=50，
将x=50代入①，得：
150+4y=470，
解得：y=80，
答：A种树木每棵需要50元，B种树木每棵需要80元；
(2)设购进B种树木m棵，则A种树木为(50−m)棵，由题意可得：50×(1+8%)×(50−m)+80×0.9m≤3260，
解得：m≤2809=3119，
∴该校最多可以购进B种树木31棵．
答：该校最多可以购进B种树木31棵．
23.3 6
24.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△BDC和△CEA中，
∴△BDC≌△CEA(SAS)，
∴∠BCD=∠CAE，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠AFD=60°；
(2)∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，
∴△ABM≌△CAE≌△BCD(SAS)，
∴∠ABM=∠CAE=∠BCD，∠AMB=∠CEA=∠BDC，BD=CE，
在△BDQ和△CEF中，
∴△BDQ≌△CEF(ASA)，
∴S△BDQ=S△CEF，
∵BD=DN，
∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，
∵D，E是AB，BC上的三等分点，
∴S△BCD=S△CAE=13S△ABC=13S，
∵四边形ANQF的面积=S△ABC−S△CAE−S△DNQ−S四边形DFEB=S△ABC−S△CAE−(S△DNQ+S四边形DFEB)
=S△ABC−S△CAE−(S△CEF+S四边形DFEB)==S△ABC−S△CAE−S△BCD=S−13S−13S=13S；
(3)PC=a+2b，理由如下：
如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，
∵AM=CE=BD，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，AB=CA=BC．
∴△BAM≌△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠ABM=∠CAE=∠BCD，且∠ABC=∠ACE，
∴∠MBC=∠ACD，∠EAC=∠DCB，
在△BHC和△CFA中，
∴△BHC≌△CFA(ASA)，
∴BH=CF=b，CH=AF=a，
∵∠PHB=∠MBC+∠BCD=∠MBC+∠ABM=∠ABC，
∴∠PHB=60°，
又∠BPD=30°，∴∠PBH=90°，
∴PH=2BH=2b，
∴PC=PH+CH=a+2b．
1.若m>n，则下列不等式正确的是( )
A. m−2
2.等腰三角形的顶角为40°，则底角的度数为( )
A. 30°B. 70°C. 65°D. 140°
3.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DE=4，AB=7，则△ABD的面积等于( )
A. 28
B. 21
C. 14
D. 7
4.一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为( )
A. 3−5x<3x−5B. 6x+4>−2
C. −7x+6≥7+3xD. −3x+4≥3−4x
5.已知点P坐标为(a+1,5−a)且在第二象限，则a的值可能是( )
A. −1B. −2C. 0D. 1
6.下列命题中的真命题是( )
A. 相等的角是对顶角B. 同位角相等
C. 全等三角形的面积相等D. 若m2=n2，则m=n
7.如图，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为( )
A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°
8.关于x的不等式5x−m≤2的解集如图所示，则m的值是( )
A. 3B. −3C. 0D. 2
9.现要把一些书分给几名同学，若_____；若每人分11本，则有剩余.依题意，设有x名同学，可列不等式7(x+8)≥11x，则横线的信息可以是( )
A. 每人分7本，则剩余8本
B. 每人分7本，则可多分8个人
C. 每人分8本，则剩余7本
D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分8本
10.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF=90°，下列结论正确的是( )
①△BED≌△AFD；
②AC=BE+FC；
③EF=AD；
④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则14S1≤S2≤12S1
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.x与3的和是负数，用不等式表示为______．
12.用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c(a≤b
14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−(x+a)>0的解集是______．
15.若不等式组x>1x
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解不等式：x+12+x−13⩽1，并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题6分)
解不等式组2(x−1)
19.(本小题6分)
在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
20.(本小题7分)
如图，已知△ABC，
(1)根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；(不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论)
(2)在第(1)小题所作的图中，求证：DE//AC．
21.(本小题7分)
定义运算min{a,b}：当a≥b时，min{a,b}=b；当a
(2)如图，已知直线y1=x+m与y2=kx−2相交于点P(−2,1)，若min{x+m,kx−2}=kx−2，结合图象，直接写出的x取值范围是______；
(3)若min{3x−1,−x+3}=3−x，求x的取值范围．
22.(本小题8分)
西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元..
(1)求A，B两种树木每棵各多少元？
(2)布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售.如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？
23.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C(m,5)
(1)填空：m= ______，b= ______；
(2)x满足什么条件时，0
24.(本小题10分)
如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD，AE交于点F．
(1)如图1，求∠AFD的度数；
(2)如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于点Q.若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；
(3)如图3，延长CD到点P，使∠BPD=30°，设AF=a，CF=b，请用含a，b的式子表示PC的长，并说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.A
9.B
10.A
11.x+3<0
12.△ABC为直角三角形
13.2
14.x<−1
15.a>1
16. 52或 412
17.解：去分母，得：3(x+1)+2(x−1)⩽6，
去括号，得：3x+3+2x−2⩽6，
移项，得：3x+2x⩽6−3+2，
合并同类项，得：5x⩽5，
系数化为1，得：x⩽1，
将解集表示在数轴上如下：
18.解：2(x−1)
解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x>0，
∴原不等式组的解集为0
19.(1)证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=CB,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；
(2)解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，
由(1)知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
20.(1)解：如图所示：
(2)证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴DE//AC．
21.−3 x x≥−2
22.解：(1)设A种树木每棵需要x元，B种树木每棵需要y元，由题意可得：
3x+4y=470①5x+2y=410②，
由②×2−①可得：7x=350，
解得：x=50，
将x=50代入①，得：
150+4y=470，
解得：y=80，
答：A种树木每棵需要50元，B种树木每棵需要80元；
(2)设购进B种树木m棵，则A种树木为(50−m)棵，由题意可得：50×(1+8%)×(50−m)+80×0.9m≤3260，
解得：m≤2809=3119，
∴该校最多可以购进B种树木31棵．
答：该校最多可以购进B种树木31棵．
23.3 6
24.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△BDC和△CEA中，
∴△BDC≌△CEA(SAS)，
∴∠BCD=∠CAE，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠AFD=60°；
(2)∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，
∴BD=CE=AM=DN，且AB=AC=BC，∠ABC=∠ACE=∠BAC=60°，
∴△ABM≌△CAE≌△BCD(SAS)，
∴∠ABM=∠CAE=∠BCD，∠AMB=∠CEA=∠BDC，BD=CE，
在△BDQ和△CEF中，
∴△BDQ≌△CEF(ASA)，
∴S△BDQ=S△CEF，
∵BD=DN，
∴S△BDQ=S△DNQ=S△CEF，
∵D，E是AB，BC上的三等分点，
∴S△BCD=S△CAE=13S△ABC=13S，
∵四边形ANQF的面积=S△ABC−S△CAE−S△DNQ−S四边形DFEB=S△ABC−S△CAE−(S△DNQ+S四边形DFEB)
=S△ABC−S△CAE−(S△CEF+S四边形DFEB)==S△ABC−S△CAE−S△BCD=S−13S−13S=13S；
(3)PC=a+2b，理由如下：
如图，在AC上截取AM=CE，即AM=CE=BD，
∵AM=CE=BD，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，AB=CA=BC．
∴△BAM≌△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠ABM=∠CAE=∠BCD，且∠ABC=∠ACE，
∴∠MBC=∠ACD，∠EAC=∠DCB，
在△BHC和△CFA中，
∴△BHC≌△CFA(ASA)，
∴BH=CF=b，CH=AF=a，
∵∠PHB=∠MBC+∠BCD=∠MBC+∠ABM=∠ABC，
∴∠PHB=60°，
又∠BPD=30°，∴∠PBH=90°，
∴PH=2BH=2b，
∴PC=PH+CH=a+2b．
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