初中数学1.2 全等三角形一课一练

这是一份初中数学1.2 全等三角形一课一练，文件包含第1章全等三角形知识梳理+热考题型-原卷版docx、第1章全等三角形知识梳理+热考题型-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
内容预览
有关概念
●●1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．
◆全等变换：通过平移、旋转、翻折这几种方式图形的形状、大小不发生改变，换而言之，就是三种变换前后的图形是全等的，所以我们也把这三种变换叫做全等变换.
●●2、全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
基本性质
●●全等三角形的性质
◆全等三角形的对应边相等，对应角相等. （注意写法：字母一一对应）
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角.
延伸：①全等三角形的周长相等、面积相等.
②全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.
判定方法
●●1、全等三角形的判定方法
理解：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等.
●●2、全等三角形的判定的基本思路
◆已知两边：
①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
◆已知一边一角：
若边为角的对边：找任一角（AAS）.
若边就是角的一条边：
①找这条边上的另一角（ASA）；②找这条边上的对角（AAS）；②找该角的另一边（SAS）.
◆已知两角：
①找两角的夹边（ASA）；②找任意一边（AAS）.
●●3、全等三角形的判定的基本模型
◆平移型：平行线，重叠线段
◆翻折型：公共边，公共角，对顶角
◆旋转型：对顶角，重叠角和重叠线段

◆一线三等角型：
◆手拉手型：

◆半角全等型：

●●4、全等三角形的判定常用辅助线
◆直接连线构造全等三角形：
◆倍长中线构造全等三角形：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”的方法添加辅助线.
所谓倍长中线，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
◆截长补短构造全等三角形：
(1)“截长法”,即在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.
(2)“补短法”,即延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,再证明延长部分等于另一条短线段.
尺规作图
●●1、用尺规作角平分线和直线的垂线
◆用尺规作角平分线
◆过直线外一点作已知直线的垂线
◆过直线上一点作已知直线的垂线
●●2、用尺规作三角形
◆已知两边及夹角作三角形
◆已知两角及夹边作三角形
◆已知三边作三角形
◆已知斜边及直角边作直角三角形
全等图形识别
题型一
【例题】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与所给图案是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由全等图形的定义可知，与所给图案是全等图形的是选项C，
故选：C．
【变式1】（2021秋·河北保定·八年级校考阶段练习）下列图形：①两个正方形；②每边长都是1cm的两个四边形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022春·七年级单元测试）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'全等，则∠A'= ，∠A= ， ，AD= ．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．
全等三角形的概念
题型二
【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形
【解析】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故该选项正确；
D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故该选项错误．
故选：C．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，
对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2】（2020秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等
B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等
D．全等三角形的对应角平分线相等
全等三角形的性质
题型三
【例题】（2021秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6．
（1）求∠ACB的度数．
（2）求AC边的取值范围．
【解析】解：（1）∵△ABC ≌△DEF，
∴∠B=∠E=50°，
∵∠A=85°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°；
（2）∵△ABC ≌△DEF，
∴BC=EF=6，
∵AB=4，
∴AC的范围是2＜AC＜10．
【变式1】（2020·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知△ABC的三边长分别是4、5、8，△DEF的三边分别是4、2x−1、3y−1，若这两个三角形全等，则x+y= ．
【变式3】（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 度．
【变式4】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段AB=20m，MA⊥AB于点A，MA=6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
全等三角形的判定
题型四
【例题】（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．
【解析】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS；
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，
∴△ABE≌△ACESAS；
∴BE=CE，
∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，
∴△BDE≌△CDESSS．
【变式1】（2020秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D,E分别在AB,AC上，连结，则下列条件中不能判定ΔABE≅ΔACD的是（ ）
A．AE=ADB．CD=BE
C．∠ABE=∠ACDD．
【变式2】（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）
已知：______，______．
求证：△ABC≌△DEF．
全等三角形的判定和性质综合运用
题型五
【例题】（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【解析】（1）解：在△ABC和△DEF中，
AC=DFAB=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【变式】（（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（ ）
A．1B．2C．3D．4
●●几种常见的模型
◆一线三等角模型：
【例题】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC,∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：ΔADC≅ΔCEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．

【解析】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC
在ΔADC和ΔCEB中
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=BC，
∴ΔADC≅ΔCEBAAS；
（2）解：由题意得：AD=2×3=6cm,BE=7×2=14cm，
∵ΔADC≅ΔCEB，
∴EC=AD=6cm,DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20cm，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【变式2】（2020秋·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．

（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F如图（1），请写出EF，，DF之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，，DF的关系会发生变化，请直接写出EF，，DF的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，，DF的数量关系，不必证明．
◆手拉手模型：
【例题】（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【解析】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
即∠DAB=∠EAC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
由图可知∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，
又∵∠BDA=60°，
∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOD= ∘；
③如图2，∠BOD= ∘；
④如图3，∠BOD= ∘．
◆半角模型：
【例题】（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
任务：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【解析】解：成立．
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，
∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，
∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，
∴M、B、E三点共线，
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=60°，
∴∠MAE=∠FAE，
∵AE=AE，AM=AF，
∴△MAE≌△FAE(SAS)，
∴ME=EF，
∴EF=ME=MB+BE=DF+BE．
【变式】（2022秋·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
●●几种常用的辅助线
◆1.直接连线构造全等三角形：
【例题】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB=CD，AD=BC．求证：△ABO≅△CDO．
【解析】证明：连接BD
∵AB=CD，AD=BC
又BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A=∠C
又∠AOB=∠COD，AB=CD
∴△ABO≅△CDO（AAS）
【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则（ ）
A．50∘B．40∘C．40∘或70∘D．30∘
【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
◆倍长中线构造全等三角形：
【例题】（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．

【解析】证明：如图所示：
，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=DC，
在△BED和△CAD中，
ED=AD∠EDB=∠ADCDB=DC，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB=12，AC=18，则AD的取值范围是（ ）
A．3