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第二章 轴对称图形（小结与思考）（单元复习课件）-2023-2024学年八年级数学上册（苏科版）
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这是一份第二章 轴对称图形（小结与思考）（单元复习课件）-2023-2024学年八年级数学上册（苏科版），共56页。
学习目标1. 整理本章所学知识，构建本章知识框架 ；2. 理解并掌握轴对称性质和简单的轴对称图形—线段、角、等腰三角形、等边三角形的性质，并能运用这些性质解决问题.定义轴对称轴对称图形轴对称图形把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.轴对称的性质1.成轴对称的两个图形全等；2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.简单的轴对称图形线段角等腰三角形线段的垂直平分线是它的对称轴线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上角平分线所在的直线是它的对称轴角平分线上的点到角两边的距离相等角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上顶角平分线所在的直线是它的对称轴“等边对等角”、“三线合一”“等角对等边”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等腰三角形等边三角形角平分线所在的直线是它的对称轴三边相等、各角都等于60°三角相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形尺规作图画已知图形的对称图形用尺规作线段的垂直平分线已知底边及底边上的高作等腰三角形问题1 轴对称与轴对称图形区别与联系？名 称关 系本质不同一个具有特殊形状的图形两个图形之间的对称关系对象不同一个图形两个图形对称轴的位置不同过图形的某条直线在两个图形之间对称轴的数量不同不一定只有一条只有一条对称轴(1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合(2)如果把轴对称图形对称轴两边的部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称 (1)沿对称轴折叠，两个图形重合(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形问题2 比较线段、角、等腰三角形、等边三角形的对称性.轴对称图形，对称轴（1条）轴对称图形，对称轴（3条）轴对称图形，对称轴（2条）轴对称图形，对称轴（1条）问题3 比较线段的垂直平分线和角平分线的性质.已知条件点P在线段AB的垂直平分线上PA=PBOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PE问题4 比较等腰三角形和等边三角形的性质.每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)三个角都相等，轴对称图形对称轴（3条）等边三角形轴对称图形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)且都是60°两条边相等三条边都相等问题5 证明线段相等、角相等的常用方法有哪些？ 证明线段相等的方法:(1)证明两个三角形全等;(2)根据垂直平分线的性质证明;(3)根据角平分线的性质证明;(4)根据“等角对等边”证明;(5)根据直角三角形斜边上的中线的性质证明. 证明角相等的方法:(1)对顶角相等；(2)证明两个三角形全等；(3)两直线平行，同位角(内错角)相等;(4)同角或等角的余角(补角)相等；(5)根据角平分线的判定证明;(6)根据“等边对等角”证明.例1 如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．考点一 轴对称与轴对称图形例2 如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．ABCABCABCABC1. 在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )B2. 在线段、角、圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中不是轴对称图形的是______________．平行四边形3.如图，方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图(不要求写出作法)：(1)请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；(2)请你在图②中画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形.解:(1)如图①所示.①②ABCDABCD(2)如图②所示.4.用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）解：拼法如下：①②③考点二 轴对称的性质例 如图所示, 已知△ABC和直线l .求作：△A'B'C', 使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称.(不要求写作法, 只保留作图痕迹)l ABCl ABC1. 如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是( )A．△ABD≌△ACD B．AF垂直平分EGC．直线BG，CE的交点在直线AF上 D．△DEG是等边三角形 D 2. 如图，将长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使得∠A′EB′=80°,其中EF，EG为折痕，则∠AEF＋∠BEG＝________．50° 3. 如图，在△ABC中，D点在BC边上，将D点分别以AB，AC边所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为___________.ABC60°50°140°4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(1)求△OEF的周长；解：(1)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴ME＝EO，FN＝FO.∴△OEF的周长为 OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN ＝MN ＝5(cm)．4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(2)连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由；解：(2)连接PO.∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴PM＝PO，PO＝PN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形． 解：(3)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN，∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO ＝∠APB＝α，∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN ＝α＋α＝2α.4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(3)若∠APB＝α，求∠MPN的度数．(用含α的代数式表示)考点三 线段的轴对称性例1 已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O． 求证：点O在BC的垂直平分线上．BACOl1l2证明：连接OA、OB、OC.∵ 点O在AB的垂直平分线上， ∴ OA＝OB，（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等）同理 OA＝OC.∴ OB＝OC.∴ 点O在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) . 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC． 证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE. ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC. 例3 用直尺和圆规作图:如图，已知∠AOB和C、D两点，在OB上求作一点P，使PC=PD.解：连接CD，作CD的垂直平分线与OB相交，交点即为所求.1. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，且分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15 cm，则AB＝________cm；(2)若∠MFN＝65°，则∠MCN＝________． 15 50° 证明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE， ∴点C在AE的垂直平分线上．2. 如图，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上．aＡＢ3.如图，已知直线a和直线a同侧的两点A、B， (1)在直线a上求作一点，使得PA=PB;aＡＢ (2)在直线a上求作一点，使得PA+PB最小．考点四 角的轴对称性例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.证明： ∵AB=AC，BD=CD， ∴ AD是∠BAC的平分线.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的平分线上.PABDEC证明：分别过点P作PF⊥AB于点F，PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.∵AD平分∠BAC，点P在AD上，∴PF=PN（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF=PM.∴ PM=PN，∴点P在∠C的平分线上（角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上）.解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即线段DE 的长度的最小值是3，1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．3 2. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．证明：∵CF是∠ACB的平分线， ∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴AF＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．3.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG.求证：OC是∠AOB的平分线. 4. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N.求证：PM=PN.PMBCNAD 考点五 等腰三角形的轴对称性例1 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．求证：AB＝BC．证明：如图，连接AC.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC. 例2 在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ADC是等腰三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.∵∠DAB=45°，∠B=30°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°.∴∠DAC=∠ADC.∴DC=AC.∴△ADC是等腰三角形.2.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等，添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为__________.EOFHMBA10°50°1.等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________.72°,72°或36°,108°3. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．70°或20°注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.4.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为( )A．7 B．6 C．5 D．4解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7.A5. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.如图，若AD＝AE， 求证：BD＝CE；证明：如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F.求证：△DEF是等腰三角形．证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A， ∴∠B＝∠BDE.∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDF＝90°.∵∠B＋∠F＋∠BDF＝180°，∴∠B＋∠F＝90°， ∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由. 8. (1) 操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请在图①、图②中用两种不同的分割方法画出来.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.)解：(1) 如图所示:45°45°22.5°22.5°①②22.5°22.5°67.5°67.5°(2) 分类探究：在△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；BACDBACDBACDBACD24°24°24°24°78°78°39°39°24°48°48°66°66°24°48°48°84°解：(2) 如图所示:24°(3) 猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？(请你至少写出两个条件，无需证明)解：(3) 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：该三角形是直角三角形；该三角形有一个角是最小角的倍；该三角形有一个角是最小角的倍． 例 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.考点六 等边三角形的轴对称性(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．1. 如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( )A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个D2.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E. 3.如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；解：(1)证明：由旋转的性质，得CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；解：(2)△AOD是直角三角形.理由:由旋转的性质，得△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°.∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形.考点七 直角三角形斜边的中线性质 1. 如图所示，等腰直角三角尺ABC斜边紧贴木板边缘，点O是AB的中点，AB=5，则点O与直角顶点C之间的距离为_______.4 2. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度． 753. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD．ABCDMN 谈谈你本节课的收获是什么？
学习目标1. 整理本章所学知识，构建本章知识框架 ；2. 理解并掌握轴对称性质和简单的轴对称图形—线段、角、等腰三角形、等边三角形的性质，并能运用这些性质解决问题.定义轴对称轴对称图形轴对称图形把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.轴对称的性质1.成轴对称的两个图形全等；2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.简单的轴对称图形线段角等腰三角形线段的垂直平分线是它的对称轴线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上角平分线所在的直线是它的对称轴角平分线上的点到角两边的距离相等角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上顶角平分线所在的直线是它的对称轴“等边对等角”、“三线合一”“等角对等边”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等腰三角形等边三角形角平分线所在的直线是它的对称轴三边相等、各角都等于60°三角相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形尺规作图画已知图形的对称图形用尺规作线段的垂直平分线已知底边及底边上的高作等腰三角形问题1 轴对称与轴对称图形区别与联系？名 称关 系本质不同一个具有特殊形状的图形两个图形之间的对称关系对象不同一个图形两个图形对称轴的位置不同过图形的某条直线在两个图形之间对称轴的数量不同不一定只有一条只有一条对称轴(1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合(2)如果把轴对称图形对称轴两边的部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称 (1)沿对称轴折叠，两个图形重合(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形问题2 比较线段、角、等腰三角形、等边三角形的对称性.轴对称图形，对称轴（1条）轴对称图形，对称轴（3条）轴对称图形，对称轴（2条）轴对称图形，对称轴（1条）问题3 比较线段的垂直平分线和角平分线的性质.已知条件点P在线段AB的垂直平分线上PA=PBOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PE问题4 比较等腰三角形和等边三角形的性质.每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)三个角都相等，轴对称图形对称轴（3条）等边三角形轴对称图形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)且都是60°两条边相等三条边都相等问题5 证明线段相等、角相等的常用方法有哪些？ 证明线段相等的方法:(1)证明两个三角形全等;(2)根据垂直平分线的性质证明;(3)根据角平分线的性质证明;(4)根据“等角对等边”证明;(5)根据直角三角形斜边上的中线的性质证明. 证明角相等的方法:(1)对顶角相等；(2)证明两个三角形全等；(3)两直线平行，同位角(内错角)相等;(4)同角或等角的余角(补角)相等；(5)根据角平分线的判定证明;(6)根据“等边对等角”证明.例1 如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．考点一 轴对称与轴对称图形例2 如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．ABCABCABCABC1. 在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )B2. 在线段、角、圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中不是轴对称图形的是______________．平行四边形3.如图，方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图(不要求写出作法)：(1)请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；(2)请你在图②中画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形.解:(1)如图①所示.①②ABCDABCD(2)如图②所示.4.用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）解：拼法如下：①②③考点二 轴对称的性质例 如图所示, 已知△ABC和直线l .求作：△A'B'C', 使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称.(不要求写作法, 只保留作图痕迹)l ABCl ABC1. 如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是( )A．△ABD≌△ACD B．AF垂直平分EGC．直线BG，CE的交点在直线AF上 D．△DEG是等边三角形 D 2. 如图，将长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使得∠A′EB′=80°,其中EF，EG为折痕，则∠AEF＋∠BEG＝________．50° 3. 如图，在△ABC中，D点在BC边上，将D点分别以AB，AC边所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为___________.ABC60°50°140°4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(1)求△OEF的周长；解：(1)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴ME＝EO，FN＝FO.∴△OEF的周长为 OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN ＝MN ＝5(cm)．4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(2)连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由；解：(2)连接PO.∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴PM＝PO，PO＝PN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形． 解：(3)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN，∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO ＝∠APB＝α，∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN ＝α＋α＝2α.4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.(3)若∠APB＝α，求∠MPN的度数．(用含α的代数式表示)考点三 线段的轴对称性例1 已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O． 求证：点O在BC的垂直平分线上．BACOl1l2证明：连接OA、OB、OC.∵ 点O在AB的垂直平分线上， ∴ OA＝OB，（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等）同理 OA＝OC.∴ OB＝OC.∴ 点O在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) . 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC． 证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE. ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC. 例3 用直尺和圆规作图:如图，已知∠AOB和C、D两点，在OB上求作一点P，使PC=PD.解：连接CD，作CD的垂直平分线与OB相交，交点即为所求.1. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，且分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15 cm，则AB＝________cm；(2)若∠MFN＝65°，则∠MCN＝________． 15 50° 证明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE， ∴点C在AE的垂直平分线上．2. 如图，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上．aＡＢ3.如图，已知直线a和直线a同侧的两点A、B， (1)在直线a上求作一点，使得PA=PB;aＡＢ (2)在直线a上求作一点，使得PA+PB最小．考点四 角的轴对称性例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.证明： ∵AB=AC，BD=CD， ∴ AD是∠BAC的平分线.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的平分线上.PABDEC证明：分别过点P作PF⊥AB于点F，PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.∵AD平分∠BAC，点P在AD上，∴PF=PN（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF=PM.∴ PM=PN，∴点P在∠C的平分线上（角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上）.解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即线段DE 的长度的最小值是3，1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．3 2. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．证明：∵CF是∠ACB的平分线， ∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴AF＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．3.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG.求证：OC是∠AOB的平分线. 4. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N.求证：PM=PN.PMBCNAD 考点五 等腰三角形的轴对称性例1 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．求证：AB＝BC．证明：如图，连接AC.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC. 例2 在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ADC是等腰三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.∵∠DAB=45°，∠B=30°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°.∴∠DAC=∠ADC.∴DC=AC.∴△ADC是等腰三角形.2.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等，添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为__________.EOFHMBA10°50°1.等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________.72°,72°或36°,108°3. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．70°或20°注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.4.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为( )A．7 B．6 C．5 D．4解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7.A5. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.如图，若AD＝AE， 求证：BD＝CE；证明：如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F.求证：△DEF是等腰三角形．证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A， ∴∠B＝∠BDE.∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDF＝90°.∵∠B＋∠F＋∠BDF＝180°，∴∠B＋∠F＝90°， ∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由. 8. (1) 操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请在图①、图②中用两种不同的分割方法画出来.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.)解：(1) 如图所示:45°45°22.5°22.5°①②22.5°22.5°67.5°67.5°(2) 分类探究：在△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；BACDBACDBACDBACD24°24°24°24°78°78°39°39°24°48°48°66°66°24°48°48°84°解：(2) 如图所示:24°(3) 猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？(请你至少写出两个条件，无需证明)解：(3) 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：该三角形是直角三角形；该三角形有一个角是最小角的倍；该三角形有一个角是最小角的倍． 例 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.考点六 等边三角形的轴对称性(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．1. 如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( )A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个D2.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E. 3.如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；解：(1)证明：由旋转的性质，得CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；解：(2)△AOD是直角三角形.理由:由旋转的性质，得△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°.∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形.考点七 直角三角形斜边的中线性质 1. 如图所示，等腰直角三角尺ABC斜边紧贴木板边缘，点O是AB的中点，AB=5，则点O与直角顶点C之间的距离为_______.4 2. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度． 753. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD．ABCDMN 谈谈你本节课的收获是什么？
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