2024年山东省青岛市李沧区第三次中考模拟数学试题

这是一份2024年山东省青岛市李沧区第三次中考模拟数学试题，共16页。试卷主要包含了5，众数是2，，【评分参考】，5分等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：120分）
说明：
1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效
3．祝青岛考生于2024青岛中考取得佳绩！！！
第I卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．的绝对值是（ ）
A．2B．C．D．
2．今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，被直线所截，若，，则∠2的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为，若甲、乙两船在静水中的速度均为，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
第II卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式： ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
11．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
12．一次函数与反比例函数的图象交于点和点.当时，的取值范围是 .
13．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 .

14．定义 为函数 的特征数，下面给出特征数为 的函数的一些结论：①当 时，函数图象的顶点坐标是 ；②当时，函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；③当时，函数在时，随 的增大而减小；④当 时，函数图象必经过两定点． 其中正确的结论有 （填写序号）．
三、作图题（本大题满分4分）
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．已知：及其一边上的两点，．
求作：○P，使圆心P到AB、∠O的距离相等，且与∠O的两条边相切
四、解答题（本大题共10小题，共74分）
16．（本题每小题 4分，共8分）
计算：，其中是不等式组的整数解.
17．（6分）在手工课上，小明制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片，卡片上的字是轴对称图形的概率为__________.
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，随后小亮再从中随机抽取1张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“光荣”一词的概率.
17．（6分）已知关于的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．
(1)取何值时，方程有两个正实数根．
(2)当矩形的对角线长为时，求的值．
18．（6分）如图，，E是线段AB上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
19．（6分）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级的学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，
C：，D：，
E：，F：，
并绘制了七年级测试成绩的频数分布直方图和八年级测试成绩的扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩中D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求n，a的值；
(2)求八年级测试成绩的中位数；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会的关注程度高，请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
20．（8分）如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长.
21．（8分）读材料，解答下列问题：
若，求的值．
小明的解题方法：
，，
∴
10．
小亮的解题方法：
设：， ，则 ，
∴．
(1)任选材料中一种方法解答：若，求的值；
(2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中，______米，______米（用含x的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π）
22．（10分）如图是体育公园步道示意图．从A处测得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．
(1)求步道的长度（结果保留根号）；
(2)游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）
23．（10分）如图，已知抛物线与轴交于点，点位于点的左侧，为顶点，直线经过点，与轴交于点．
(1)求线段的长；
(2)沿直线方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为，若点在反比例函数的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿运动.到点B停止，点Q沿运动，到点C停止. 连接，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）.

(1)当时，求x的值；
(2)当时，求y与x之间的函数关系式；
(3)直接写出在整个运动过程中，使的所有的值.
(4)哈哈哈哈青岛考生们，做到这里的你已经很棒了ｂ(￣▽￣)ｄ，这么多初三的考试中，想必能做到这个题的这一问都是凤毛麟角．那么在最后一次考试中，我们决定给你一个机会——请围绕该题目自己提出一个问题并解答。
问题：

2024年青岛市李沧区第三次中考模拟
九年级 数学 参考答案与部分解析 2024.6.5
说明：解析供考生自主使用．
1A
【分析】直接求绝对值即可.
【详解】的绝对值是.
故选：A.
2．B
【分析】根据科学计数法的性质即可求解.
【详解】77800用科学计数法表示为，
故选：B
3．A
【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可.
【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是，
所以不发生变化的是平均数，
故选：A.
4．B
【分析】AD不满足中心对称，C不满足轴对称，B满足要求.
【详解】AD选项，图形为轴对称图形，不是中心对称图形，AD错误；
B选项，图形是轴对称图形，也是中心对称图形，B正确；
C选项，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，C错误.
故选：B
5．C
【分析】根据两直线平行，同位角相等，再结合对顶角的性质即可得到答案.
【详解】因为，所以，
又因为与为对顶角，则，
故选：C.

6．D
【分析】根据题意列式得解.
【详解】由甲、乙两船在静水中的速度为km/h，根据题意可得：
.
故选：D.
7．D
【分析】根据指数幂运算求解.
【详解】对A：原式，所以A选项错误；
对B：原式，所以B选项错误；
对C：原式，所以C选项错误；
对D：显然，所以原式，所以D选项正确.
故选：D
8．C
【分析】过点O作于，于D，于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案.
【详解】

解：过点作于，于，于，
，，
由题意得，，，
，，，
平分，平分，
，，
，
，
故选：C.
9．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可.
【详解】,
故答案为：.
10．
【分析】确定，计算得到答案.
【详解】，即，，解得.
故答案为：.
11．
【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.
【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，
估计袋中红球个数是.
故答案为：.
12．或
【分析】由题可得，时，或，画出反比例函数和一次函数草图，结合图象即可得到答案.
【详解】一次函数和反比例函数交于两点，所以反比例函数位于一、三象限，
画出反比例函数和一次函数草图，如图，

由题意可得，时，或，由图可得，当时，或.
故答案为：或.
13．略
【分析】①把代入，求得，从而求出解析式，利用顶点坐标公式求解即可判断；②令，求得函数与轴的交点坐标，利用两点间距离公式从而可求解判断；③先求出函数的对称轴，再利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，将函数化简，再令，解得的值，从而求出定点坐标，即可求解判断.
【详解】对①：由题意知，当时，得，所以函数，顶点坐标为，故①正确；
对②：当时，令，得，解得，，
所以，故②正确；
对③：当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴为，
在对称轴右侧随的增大而减小，因为当时，，即对称轴在的右侧，故③错误；
对④：当时，，
令，解得或，分别代入表达式得或，
所以当时，函数经过或，故④正确.
故答案为：①②④.
15.【评分参考】
①使圆心P到AB相等（1分）
②∠O的距离相等（1分）
③且与∠O的两条边相切（1分）
④结论（1分）
16．
【分析】根据分式性质化简可得原式，再根据分母与0不能作为除数求解可得，再代入计算即可.
【详解】原式.
即，故，即，
又是不等式组的整数解，故.
又因为，故且，故.
故原式
17．(1)
(2)
【分析】（1）分析出只有“荣”是轴对称图形，从而得到概率；
（2）作出树状图，列举法求出概率.
【详解】（1）“劳动光荣”四个字中，只有“荣”是轴对称图形，故概率为，
（2）作出树状图如下：
一共有12种情况，其中两人抽取的卡片恰好组成“光荣”一词的情况有2种，
故两人抽取的卡片恰好组成“光荣”一词的概率为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设矩形两邻边的长为，，由题意可得，结合韦达定理即可得解；
（2）由题意得，即，进而可得出答案.
【详解】（1）设矩形两邻边的长为，，
因为关于的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，
所以方程有两个正根，且，
所以，
即，解得，
所以时，方程有两个正实数根；
（2）矩形的对角线长为，
，，，
即，解得，，
，，
所以当矩形的对角线长为时，的值为．
19．(1)证明见详解；
(2)25.
【分析】（1）利用证明，然后由直角三角形全等的判定定理可证；
（2）利用（1）中结论，结合已知证明，然后求出，由三角形面积公式可得.
【详解】（1）因为，所以，
又，，所以.
（2）由（1）可知，
又，所以，
所以，因为，所以为等腰直角三角形，
所以，
所以.
20．(1)，
(2)86.5分
(3)人，理由见解析
【分析】（1）先根据扇形图得D组占比，结合条件得，再由频数分布直方图可得；
（2）先求出中位数所在范围，再根据D组数据计算中位数即可；
（3）根据两图计算出两个年级E、F组的人数占比估计总体即可.
【详解】（1）由已知得八年级测试成绩D组：的频数为7，
又由扇形统计图知D组占35%，
所以进行冬奥会知识测试学生数，
所以．
（2）A，B，C三组的频率之和为，
A，B，C，D四组的频率之和为，
所以中位数在D组，将D组数据按从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89．
因为，第10个与第11个两个数据分别为86，87，
所以中位数为（分）．
故答案为86.5分．
（3）八年级E：，F：两组占，共有（人），
七年级E：，F：两组人数共有（人），
两年级共有（人），占样本的，
所以该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）．
21．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及圆的性质可得,,再根据余角性质及三角形的内角和定理可得，最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再由解直角三角形及三角形内角和定理可得的度数，最后根据弧长公式可得答案.
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
因为，所以,
又因为，所以,
又因为，
所以，,
所以，
又因为是的半径，
所以是的切线；
（2）解：因为，，
所以是等边三角形，
所以，
所以，
在中，,
因为，，
所以，
所以，
所以.
22．(1)
(2)，
(3)平方米
【分析】（1）若利用小明的解题方法，先对已知的式子化简，得，再将化简后整体代入计算即可，若利用小亮的解题方法，利用换元法求解即可；
（2）由图可知，，从而可得答案；
（3）由题意可得，由（2）可得，从而可求出，然后表示出种花的面积，再将的值代入计算即可.
【详解】（1）解：若利用小明的解题方法：
由，得
，
，所以得，
所以
；
若利用小亮的解题方法：
设，
则，，
∴
∴；
（2）解：由图可知：（米）；
（米）；
故答案为：，
（3）解：由题意得：
由（2）可得：
∵
∴种花的面积 (平方米)
【点睛】关键点点睛：此题考查多项式乘法公式的灵活运用，考查代数式的求值，第（3）问解题的关键是根据已知条件求出的值，考查计算能力，属于较难题.
23．(1)米；
(2)每分钟25.1米
【分析】（1）根据题设方向角得到、，由直角三角形中余弦函数定义求的长度；
（2）作交延长线于，求得，进而得到，结合已知求爸爸的速度.
【详解】（1）如图
从A处测得点B在北偏东，测得点C在北偏东，
则，，
又点C处测得点B在北偏西，则，故，
易知，又米，则米.
（2）作交延长线于，
由（1）知：，又，，
由，则，
故，，
所以，
故小明到达游客中心所需时间为分钟，
若要同时到达，则爸爸的速度要达到每分钟米.
24．(1)
(2)或
【分析】（1）解方程求出点的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，根据题意求出直线的解析式，代入计算即可．
【详解】（1）由得，，，
点位于点的左侧，，
直线经过点，，解得，
点的坐标为，
；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，，
平行于直线，且经过，
直线的解析式为：，
点在反比例函数的图象上，，
，解得，或，
新抛物线对应的函数表达式为或，
新抛物线对应的函数表达式为：或．
25．(1)
(2)
(3)
（4）答案正确即可得分
【详解】（1）先大致将情况分为以下四种：
当时，点在上，点在上；
当时，点在上，点在上；
当时，点在上，点在上；
当时，点停止在点处，点在上.
由于点到直线的距离为，点到直线的距离为，
故，由知，故.
直接验证即知，从而由知，故，得.（3分）
（2）当时，有，而点在上，点到直线的距离为，
故点到直线的距离为，所以；
当时，点在上，，而点在上，点到直线的距离为，
故点到直线的距离为，所以；
当时，点在上，，而点停止在点处，故.
综上，所求的函数关系式为.（3分）
（3）当时，点在上，点在上.
若，则，即，解得；
当时，点在上，点在上.
此时点到直线的距离为，点到直线的距离为.
若，则，解得；
当时，点在上，点在上.
此时，点到直线的距离为，点到直线的距离为.
若，则，解得；
当时，点停止在点处，点在上.
此时，若，则是的中点，从而，得.
综上，满足条件的的所有可能取值是.（3分）
（4）答案正确即可得分，但问题必须围绕这个题展开。（3分）
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于不同情况的分类讨论，较为繁琐，需要细心才能不重不漏.