高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后复习题，共10页。

基础篇
1．(5分)若椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.eq \f(3,2)
2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)
B.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1(y≠±2)
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠0)
D.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1(y≠0)
3.(5分)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
4．(5分)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
5．(5分)若方程eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,m＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
6．(5分)(多选)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3
C．5 D．7
7.(5分)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
8.(5分)动点P(x，y)到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离和10，则点P的轨迹方程为____________．
9.(5分)如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－eq \f(4,9)，则点M的轨迹方程为________．
提升篇
10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．(5分)(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则 ( )
A．椭圆的焦点在y轴上
B．△ABF1的周长为6
C．△AF1F2的周长为6
D．椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
12．(5分)(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq \r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
B.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,48)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1
D.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,45)＝1
13．(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1
B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
14.(5分)若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
15.(5分)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(016.(5分)椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为______________．
17.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)已知eq \f(a,c)＝eq \f(13,5)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
18.(10分)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
3.1.1 椭圆及其标准方程（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1．(5分)若椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.eq \f(3,2)
A 解析：由eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，知a＝5，
根据椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
所以|MF2|＝10－2＝8.
又O为F1F2的中点，N为F1M的中点，
所以ON为△MF1F2的中位线，
所以|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|＝4.
2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)
B.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1(y≠±2)
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠0)
D.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1(y≠0)
B 解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1(y≠±2)．
3.(5分)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
8 解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.
4．(5分)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
D 解析：(方法一)验证排除，将点(4，0)代入验证可排除A，B，C，故选D.
(方法二)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16m＝1，,4n＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,4)，))故选D.
5．(5分)若方程eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,m＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
D 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2>m＋6，,m＋6>0，))
所以m>3或－66．(5分)(多选)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3
C．5 D．7
BC 解析：当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.
7.(5分)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 解析：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，))故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
8.(5分)动点P(x，y)到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离和10，则点P的轨迹方程为____________．
eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 解析：由题意，点P的轨迹为椭圆，且a＝5，c＝3，焦点在y轴上．
9.(5分)如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－eq \f(4,9)，则点M的轨迹方程为________．
eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5) 解析：设点M(x，y)，则kAM＝eq \f(y,x＋5)(x≠－5)，kBM＝eq \f(y,x－5)(x≠5)．由已知有eq \f(y,x＋5)×eq \f(y,x－5)＝－eq \f(4,9)，化简即可得点M的轨迹方程eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．
提升篇
10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C 解析：把椭圆方程化成eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，则eq \f(1,n)＞eq \f(1,m)＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则eq \f(1,n)＞eq \f(1,m)＞0，即有m＞n＞0.故为充要条件．
11．(5分)(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则 ( )
A．椭圆的焦点在y轴上
B．△ABF1的周长为6
C．△AF1F2的周长为6
D．椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
CD 解析：显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，代入方程可得eq \f(c2,a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1.求得yeq \\al(2,1)＝eq \f(b4,a2).由于|AB|＝3，所以eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2)，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6.
12．(5分)(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq \r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
B.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,48)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1
D.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,45)＝1
AC 解析：由已知2c＝|F1F2|＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3).
因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq \r(3)，
所以a＝2eq \r(3).所以b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
13．(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1
B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
B 解析：(方法一)如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.
由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，
所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
在△AF1B中，由余弦定理推论得cs∠F1AB＝eq \f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq \f(1,3).
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq \f(1,3)＝4，解得n＝eq \f(\r(3),2).
所以2a＝4n＝2eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(方法二)由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.
由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4n2＋4－2·2n×2×cs∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n×2×cs∠BF2F1＝9n2.))
又∠AF2F1，∠BF2F1互补，
所以cs∠AF2F1＋cs∠BF2F1＝0，两式消去cs∠AF2F1，cs∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq \f(\r(3),2).
所以2a＝4n＝2eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
14.(5分)若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
eq \f(1,32) 解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为eq \f(y2,\f(1,k))＋eq \f(x2,\f(1,2k))＝1，因为焦点在y轴上，所以eq \f(1,k)－eq \f(1,2k)＝16，解得k＝eq \f(1,32).
15.(5分)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0eq \r(3) 解析：由椭圆的方程可知a＝2，
由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，
由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中垂直长轴的弦最短，即eq \f(2b2,a)＝3.
所以b2＝3，即b＝eq \r(3).
16.(5分)椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为______________．
eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 解析：由已知2c＝8，如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
所以eq \f(1,2)×8×b＝12，所以b＝3.
所以a2＝b2＋c2＝25.
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
17.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)已知eq \f(a,c)＝eq \f(13,5)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a＝eq \r(32＋（2＋2）2)＋eq \r(32＋（2－2）2)＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又eq \f(a,c)＝eq \f(13,5)，
所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
18.(10分)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
又A(1，0)，C(－1，0)，
故点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，c＝1，故a＝eq \f(5,2)，b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4).
故点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1.