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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时练习，共10页。试卷主要包含了所以b2＝8等内容，欢迎下载使用。
基础篇
1.(5分)已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
2.(5分)已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为__________．
3．(5分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
4．(5分)若中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 B.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
5．(5分)(多选)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,63)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,63)＝1
6.(5分)若椭圆焦距为8，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．
7.(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．
8．(5分)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
9．(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
10．(5分)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
11.(5分)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为__________．
提升篇
12．(5分)曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
13．(5分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1
B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2)
D.eq \f(\r(3),2)
14．(5分)(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)D．c1a2>a1c2
15.(5分)若点M是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
16.(5分)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)，则椭圆的标准方程为_________________________________．
17.(5分)设椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 的短轴端点为B1，B2，F1为椭圆的一个焦点，则∠B1F1B2＝________.
18.(5分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.则椭圆的离心率为________．
19.(10分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1.(5分)已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
8 6 2eq \r(7) eq \f(\r(7),4) 解析：把椭圆方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1.
所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7).
所以椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，焦距为2eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4).
2.(5分)已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为__________．
3或eq \f(25,3) 解析：若0所以m＝3；
若m>5，则eq \f(\r(m－5),\r(m))＝eq \f(\r(10),5)，所以m＝eq \f(25,3).
3．(5分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
D 解析：因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，
所以a2＝25，b2＝9.
4．(5分)若中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 B.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
A 解析：由已知得a＝9，2c＝eq \f(1,3)×2a，
于是c＝eq \f(1,3)a＝3.所以b2＝a2－c2＝72.
又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1.
5．(5分)(多选)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,63)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,63)＝1
AC 解析：若焦点在x轴上，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，根据椭圆定义知2a＝12，即a＝6.由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，得c＝3eq \r(3)，b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.同理可以得到焦点在y轴上的椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1.
6.(5分)若椭圆焦距为8，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．
eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1 解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1.
7.(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．
eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，由e＝eq \f(\r(2),2)知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.所以b2＝8.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
8．(5分)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
D 解析：由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，
得到4c2＝3a2，e2＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2).
9．(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
B 解析：如图，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝eq \f(1,4)×2b＝eq \f(1,2)b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq \f(1,2)b，解得a＝2c，
故椭圆离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
10．(5分)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
A 解析：如图，△BF1F2是正三角形．
在Rt△OBF2中，
因为|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
所以cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
11.(5分)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为__________．
eq \f(1,2) 解析：如图，AB＝2c＝4，因为点C在椭圆上，
所以CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
提升篇
12．(5分)曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
D 解析：因为ceq \\al(2,1)＝25－9＝16，ceq \\al(2,2)＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．
13．(5分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1
B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2)
D.eq \f(\r(3),2)
A 解析：因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，
所以∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.
因为|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝eq \r(3)c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋eq \r(3)c＝2a，所以离心率e＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.
14．(5分)(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)D．c1a2>a1c2
BD 解析：观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即A不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即B正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，eq \f(a1－c1,c1)a1c2，eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，即D正确，C不正确．
15.(5分)若点M是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
3，eq \r(5) 解析：当M点分别为长轴端点、短轴端点时，|OM|取得最大值、最小值．
16.(5分)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)，则椭圆的标准方程为_________________________________．
eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 解析：由已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
17.(5分)设椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 的短轴端点为B1，B2，F1为椭圆的一个焦点，则∠B1F1B2＝________.
120° 解析：如图所示，由题意B1(0，－3)，B2(0，3)，F1(－eq \r(3)，0)，
在△B2F1O中，tan∠B2F1O＝eq \f(B2O,F1O)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
所以∠B2F1O＝60°.
由椭圆的对称性知，
∠B1F1B2＝120°.
18.(5分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.则椭圆的离心率为________．
eq \f(1,2) 解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，则eq \r(（a－c）2＋b2)＝2c，
整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同除以a2 得，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(c,a)－1＝0，所以eq \f(c,a)＝－1(舍)或eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).
19.(10分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))eq \s\up12(2)＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
所以eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2).又0(2)证明：由(1)知mn＝eq \f(4,3)b2，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(\r(3),3)b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
基础篇
1.(5分)已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
2.(5分)已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为__________．
3．(5分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
4．(5分)若中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 B.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
5．(5分)(多选)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,63)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,63)＝1
6.(5分)若椭圆焦距为8，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．
7.(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．
8．(5分)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
9．(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
10．(5分)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
11.(5分)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为__________．
提升篇
12．(5分)曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
13．(5分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1
B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2)
D.eq \f(\r(3),2)
14．(5分)(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)
15.(5分)若点M是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
16.(5分)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)，则椭圆的标准方程为_________________________________．
17.(5分)设椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 的短轴端点为B1，B2，F1为椭圆的一个焦点，则∠B1F1B2＝________.
18.(5分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.则椭圆的离心率为________．
19.(10分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)（练习）
(60分钟 100分)
基础篇
1.(5分)已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
8 6 2eq \r(7) eq \f(\r(7),4) 解析：把椭圆方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1.
所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7).
所以椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，焦距为2eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4).
2.(5分)已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为__________．
3或eq \f(25,3) 解析：若0
若m>5，则eq \f(\r(m－5),\r(m))＝eq \f(\r(10),5)，所以m＝eq \f(25,3).
3．(5分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
D 解析：因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，
所以a2＝25，b2＝9.
4．(5分)若中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 B.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
A 解析：由已知得a＝9，2c＝eq \f(1,3)×2a，
于是c＝eq \f(1,3)a＝3.所以b2＝a2－c2＝72.
又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1.
5．(5分)(多选)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,63)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,63)＝1
AC 解析：若焦点在x轴上，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，根据椭圆定义知2a＝12，即a＝6.由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，得c＝3eq \r(3)，b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.同理可以得到焦点在y轴上的椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1.
6.(5分)若椭圆焦距为8，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．
eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1 解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1.
7.(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．
eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，由e＝eq \f(\r(2),2)知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.所以b2＝8.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
8．(5分)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
D 解析：由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，
得到4c2＝3a2，e2＝eq \f(3,4)，所以e＝eq \f(\r(3),2).
9．(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
B 解析：如图，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝eq \f(1,4)×2b＝eq \f(1,2)b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq \f(1,2)b，解得a＝2c，
故椭圆离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
10．(5分)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
A 解析：如图，△BF1F2是正三角形．
在Rt△OBF2中，
因为|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
所以cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
11.(5分)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为__________．
eq \f(1,2) 解析：如图，AB＝2c＝4，因为点C在椭圆上，
所以CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
提升篇
12．(5分)曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
D 解析：因为ceq \\al(2,1)＝25－9＝16，ceq \\al(2,2)＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．
13．(5分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1
B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2)
D.eq \f(\r(3),2)
A 解析：因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，
所以∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.
因为|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝eq \r(3)c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋eq \r(3)c＝2a，所以离心率e＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.
14．(5分)(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)
BD 解析：观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即A不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即B正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，eq \f(a1－c1,c1)
15.(5分)若点M是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
3，eq \r(5) 解析：当M点分别为长轴端点、短轴端点时，|OM|取得最大值、最小值．
16.(5分)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)，则椭圆的标准方程为_________________________________．
eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 解析：由已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
17.(5分)设椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 的短轴端点为B1，B2，F1为椭圆的一个焦点，则∠B1F1B2＝________.
120° 解析：如图所示，由题意B1(0，－3)，B2(0，3)，F1(－eq \r(3)，0)，
在△B2F1O中，tan∠B2F1O＝eq \f(B2O,F1O)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
所以∠B2F1O＝60°.
由椭圆的对称性知，
∠B1F1B2＝120°.
18.(5分)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.则椭圆的离心率为________．
eq \f(1,2) 解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，则eq \r(（a－c）2＋b2)＝2c，
整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同除以a2 得，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(c,a)－1＝0，所以eq \f(c,a)＝－1(舍)或eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).
19.(10分)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))eq \s\up12(2)＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
所以eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2).又0
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