人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线达标测试

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线达标测试，共11页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知双曲线C1等内容，欢迎下载使用。
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，到点(1，1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( )
A．直线B．抛物线
C．圆D．双曲线
2．(5分)(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．准线方程为y＝－eq \f(1,16)
D．准线方程为y＝－1
3.(5分)抛物线x＝eq \f(1,4m)y2的焦点坐标是________．
4．(5分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝4x
C．y2＝2xD．y2＝±8x
5．(5分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
6.(5分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________．
7．(5分)一动圆过点(0，1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A．x＝1B．x＝eq \f(1,16)
C．y＝－1D．y＝－eq \f(1,16)
8．(5分)已知抛物线C：y2＝x的 焦 点 为F ，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1B．2
C．4D．8
9．(5分)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.eq \f(3,4)B．1
C.eq \f(5,4)D.eq \f(7,4)
10.(5分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
提升篇
11.(5分)设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．3B．4
C．7D．13
12．(5分)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1B．2
C．3D．4
13．(5分)(多选)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则( )
A．双曲线C1的渐近线为y＝±eq \r(3)x
B．双曲线C1的渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．抛物线C2的方程为x2＝8y
D．抛物线C2的方程为x2＝16y
14．(5分)在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线一致的是( )
15.(5分)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，则抛物线的准线方程为____________．
16.(5分)对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是____________．(要求填写适合条件的序号)
17.(5分)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米，则水面宽为________米．
18.(5分)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．
19.(10分)根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上；
(4)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点．
20.(10分)已知某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
3.3.1 抛物线及其标准方程（练习）
(60分钟 110分)
基础篇
1．(5分)在平面直角坐标系中，到点(1，1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( )
A．直线B．抛物线
C．圆D．双曲线
A 解析：因为点(1，1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1，1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．
2．(5分)(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．准线方程为y＝－eq \f(1,16)
D．准线方程为y＝－1
BC 解析：由y＝4x2，得x2＝eq \f(1,4)y，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq \f(1,16).
3.(5分)抛物线x＝eq \f(1,4m)y2的焦点坐标是________．
(m，0) 解析：x＝eq \f(1,4m)y2即为y2＝4mx，
得2p＝4m，所以p＝2m，即焦点坐标为(m，0)．
4．(5分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝4x
C．y2＝2xD．y2＝±8x
D 解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
5．(5分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
C 解析：由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－eq \f(p,2).
因为准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
所以3＋eq \f(p,2)＝4，所以p＝2.
6.(5分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________．
2±eq \r(3) 解析：依题意得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),2p)，y1))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),2p)，y2))(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得eq \f(yeq \\al(2,1),2p)＋eq \f(p,2)＝eq \f(yeq \\al(2,2),2p)＋eq \f(p,2)，所以yeq \\al(2,1)＝yeq \\al(2,2)，所以y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2p)，y1)).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝eq \f(1,2p)＋eq \f(p,2)＝2，由此解得p＝2±eq \r(3).
7．(5分)一动圆过点(0，1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A．x＝1B．x＝eq \f(1,16)
C．y＝－1D．y＝－eq \f(1,16)
C 解析：因为动圆过点(0，1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0，1)的距离与它到定直线l的距离相等．又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0，1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
8．(5分)已知抛物线C：y2＝x的 焦 点 为F ，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1B．2
C．4D．8
A 解析：由题意知抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4).
因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.
9．(5分)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.eq \f(3,4)B．1
C.eq \f(5,4)D.eq \f(7,4)
C 解析：根据拋物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为
eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
10.(5分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
4 解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，所以有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
提升篇
11.(5分)设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．3B．4
C．7D．13
B 解析：依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.
12．(5分)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1B．2
C．3D．4
C 解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，所以x1＋x2＋x3＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.
13．(5分)(多选)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则( )
A．双曲线C1的渐近线为y＝±eq \r(3)x
B．双曲线C1的渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．抛物线C2的方程为x2＝8y
D．抛物线C2的方程为x2＝16y
AD 解析：因为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为2，所以eq \f(c,a)＝2，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq \f(b2,a2)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(3).
x2＝2py的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \r(3)x.由题意得eq \f(\f(p,2),\r(1＋（\r(3)）2))＝2，所以p＝8.
故C2的方程为x2＝16y.
14．(5分)在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线一致的是( )
D 解析：方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0可化为eq \f(x2,\f(1,a2))＋eq \f(y2,\f(1,b2))＝1与y2＝－eq \f(a,b)x，
因为a>b>0，所以eq \f(1,a2)0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝eq \f(1,6)，所以所求抛物线方程为x2＝－eq \f(1,3)y.
(方法二)由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．
又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－eq \f(1,3)，所以所求抛物线方程为x2＝－eq \f(1,3)y.
(2)(方法一)设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；
将(4，－8)代入x2＝－2p′y，得p′＝1.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(方法二)当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；
当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,x－2y－4＝0，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2；))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝0，,x－2y－4＝0，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝0.))
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4，0)．
当焦点为(0，－2)时，
由eq \f(p,2)＝2，得p＝4，
所以所求抛物线方程为x2＝－8y；
当焦点为(4，0)时，
由eq \f(p,2)＝4，得p＝8，
所以所求抛物线方程为y2＝16x.
综上所述，
所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
(4)双曲线方程可化为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，左顶点为(－3，0)．
由题意设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)且eq \f(－p,2)＝－3，
所以p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝－12x.
20.(10分)已知某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，
所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq \f(1,50)x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－eq \f(1,50)×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若该货船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而货船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过该桥孔．