高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算复习练习题，共9页。试卷主要包含了下列命题中，真命题是，下列命题中为假命题的是等内容，欢迎下载使用。
基础篇

1．(5分)(多选)下列命题中，真命题是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．(5分)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
3．(5分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
4．(5分)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
B.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
C.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
D.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
5．(5分)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，则( )
A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1
C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)
6.(5分)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
7．(5分)若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
8.(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
9．(5分)已知空间三点坐标分别为A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为( )
A．－4 B．1
C．10 D．11
10．(5分)已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
提升篇
11．(5分)(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量
D.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量
12．(5分)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向
D.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向
13．(5分)若a，b是平面α内的两个向量，则( )
A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
14．(5分)已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15.(5分)已知点M是△ABC的重心，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝________.
16.(5分)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________________.
17.(10分)如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．
18.(10分)已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))；
(3)eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
1.1.1 空间向量及其线性运算（练习）
(60分钟 100分)
基础篇

1．(5分)(多选)下列命题中，真命题是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
ABC 解析：共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
2．(5分)(多选)下列命题中为假命题的是( )
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
BCD 解析：对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可以相等．
3．(5分)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq \(A1B,\s\up6(→))等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
D 解析：eq \(A1B,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA1,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－(eq \(CC1,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝b－(c＋a)＝－a＋b－c.
4．(5分)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
B.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
C.eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
D.eq \(EF,\s\up6(→))－eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0
A 解析：由题图观察，eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))，eq \(PQ,\s\up6(→))平移后可以首尾相接，故有eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝0.
5．(5分)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，则( )
A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1
C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)
D 解析：因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以x＝1，y＝eq \f(1,4).
6.(5分)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
－eq \f(5,7) 解析：因|a|＝eq \f(5,7)|b|且a与b方向相反，所以a＝－eq \f(5,7)b.
7．(5分)若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
A 解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝n(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝neq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线．
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
8.(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
－8 解析：eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，
又A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ，,k＝－4λ，))所以k＝－8.
9．(5分)已知空间三点坐标分别为A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)．又点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为( )
A．－4 B．1
C．10 D．11
D 解析：∵点P(x，－1，3)在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴(x－4，－2，0)＝λ(－2，2，－2)＋μ(－1，6，－8)．
即eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x－4＝－2λ－μ，,－2＝2λ＋6μ，,0＝－2λ－8μ，))消去λ，μ解得x＝11.
10．(5分)已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
B 解析：因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，
所以点P，A，B，C四点共面．
提升篇
11．(5分)(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量
B.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OB1,\s\up6(→))＋eq \(OC1,\s\up6(→))＋eq \(OD1,\s\up6(→))是一对相反向量
D.eq \(OA1,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OC1,\s\up6(→))是一对相反向量
ACD 解析：利用图形及向量的运算可知，B是相等向量，ACD是相反向量．
12．(5分)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向
D.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向
D 解析：由|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(CB,\s\up6(→))|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))同向．
13．(5分)若a，b是平面α内的两个向量，则( )
A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D 解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
14．(5分)已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对实数x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故选A.
15.(5分)已知点M是△ABC的重心，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝________.
0 解析：设D为AB的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→)).
又M为△ABC的重心，则eq \(MC,\s\up6(→))＝－2eq \(MD,\s\up6(→))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0.
16.(5分)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________________.
eq \f(7,6) 解析：如图所示，有eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq \(C1C,\s\up6(→)).
又因为eq \(AC1,\s\up6(→))＝x·eq \(AB,\s\up6(→))＋2y·eq \(BC,\s\up6(→))＋3z·eq \(C1C,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3).))
所以x＋y＋z＝1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,6).
17.(10分)如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．
解：(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→)).
故所求向量eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，如图所示．
18.(10分)已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))；
(3)eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
解：(1)如图所示，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)取BD的中点H，连接MG，GH.
因为M，G分别为BC，CD的中点，
所以MG＝BH，MG∥BH，
所以BMGH为平行四边形，
所以eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(BH,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BG,\s\up6(→))，
从而eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→)).
(3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，
则易证得ASMN为平行四边形，
所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AS,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
所以eq \(AG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MG,\s\up6(→)).