2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 6.2 点、直线与圆的位置关系 (课件)

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1. (2020沈阳22题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．(1)求证：DC＝AC；
(1)证明：如解图，连接OD.
∵DC与⊙O相切，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠ADC＝∠A，∴DC＝AC；
(2)若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为________．
2. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
解：(1)如解图，连接OA，
∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O半径，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D.(1)求证：∠ABC＝∠CBD；
(1)证明：如解图，连接OC，
∵MN与⊙O相切于点C，∴OC⊥MN.∵BD⊥MN，∴OC∥BD.∴∠CBD＝∠BCO.又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC.∴∠ABC＝∠CBD；
(2)若BC＝4 ，CD＝4 ，则⊙O的半径是________．
【解法提示】如解图，连接AC，
4. 如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　A. 25° 　　　　　　B. 30° C. 35° 　　　　　　D. 40°
5.如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.(1)求证：△ABC为等腰三角形；
证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝∠ANB＝90°.∴∠BAN＋∠ABN＝90°.∵CP是⊙O的切线，∴∠ACN＋∠BCP＝90°.又∵∠BCP＝∠BAN，∴∠ACN＝∠ABN.∴AC＝AB.∴△ABC为等腰三角形；
(2)求证：AM·CP＝AN·CB.
(2)如解图，连接MN，
6. (2021本溪辽阳葫芦岛24题12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA＋∠BEF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴EF⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
(2)若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．
(2)解：如解图，连接DE，
∵在Rt△ABC中，cs∠BAC＝ ，∵∠BAC＝∠DAE，∴ ，∴AB＝5，∴BE＝AB＋AE＝5＋8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，
∵∠OED＋∠OEA＝90°，∠FEB＋∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴ ，∴ ，∴BF＝ .
7. (2021抚顺铁岭24题12分)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°， ＝ ， 连接AC，BC, 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F .(1)求证： DE是⊙O的切线；
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠AOC＝∠OCB，∴OA∥BC，∵AD⊥BC，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求线段DF的长．
(2)解：由(1)知△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OA＝2，∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠E＝30°，
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，连接OD，作⊙O，使⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF.(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：(1)DF与⊙O相切，理由：如解图，过点O作OG⊥DF于点G，连接OE，
∵O、D分别是AB、BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ODF＝∠DFC，又∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，∴△DOG≌△FDC, ∴OG＝DC,
∵AC是⊙O的切线，∴∠OEC＝∠C＝∠CDO＝90°，∴四边形DCEO是矩形，∴DC＝OE，∴OG＝OE，即OG为⊙O的半径，又∵OG⊥DF，∴DF与⊙O相切；
(2)当∠A＝30°，CF＝ 时，求⊙O的半径．
9. (2021沈阳22题10分)如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点(点E不与点O，A重合)．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB.若CA＝CD，∠ABC＝∠D.(1)求证：AD是⊙O的切线；
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ABC＋∠BAC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D.又∵∠ABC＝∠D，∴∠CAD＝∠ABC.∴∠CAD＋∠BAC＝90°.∴OA⊥AD.∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线．
(2)若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是________．
方法二：如解图，过点C作CM⊥AD于M，
10. (2020铁岭葫芦岛24题12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD.(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
(1)证明：如解图①，连接OD，
∵∠ADE＝∠ACD，∴∠ADE＝∠ODC，∴∠ADE＋∠ADO＝∠ODC＋∠ADO，∴∠ODE＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
(2)解：如解图②，过A作AF⊥BD于点F，
11. (2022葫芦岛24题12分)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC.
∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OFA.∴∠EFC＋∠OFA＝90°.∴∠EFO＝180°－90°＝90°.∴EF⊥OF.又∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
(2)若cs∠CAD＝ ，AF＝6，MD＝2，求FC的长．
(2)解：如解图，连接MF，
12. (2023本溪24题12分)如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.(1)求证：DP是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCP＝∠BCP.又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP(SAS)．∴∠CDP＝∠CBP.∵∠FDE＝∠BCD＝90°，∴EF为⊙O的直径，∴OD＝OE.∴∠ODE＝∠OED.
又∵∠CEP＝∠OED，∴∠CEP＝∠ODE.∵∠BEC＋∠CBE＝90°，∴∠ODE＋∠CDP＝90°.即∠ODP＝90°，∴OD⊥DP，又∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线；
(2)若tan∠PDC＝ ，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．
∵DC∥AB，∴△CEP∽△ABP.∴ .∴EP＝ BE＝ ×2 ＝ .∴OP＝OE＋EP＝ ＋ ＝ .
在Rt△CEB中，EB＝ ，
13. (2020辽宁22题12分)如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交OC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.(1)求证： AD⊥BC；
(1)证明：∵∠AEF＝∠D，∠D＝∠B, EF⊥AB， ∴∠AEF＋∠BAD＝90°， ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∴∠AEB ＝90°， ∴AD⊥BC；
(2)点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.①求证：AG与⊙O相切；
(2)①证明：如解图，连接OA.
∵∠DAG＝2∠D，∠AOC＝2∠D，∴∠DAG＝∠AOC.由(1)知，AD⊥BC，∴∠AOC＋∠OAE＝90°，∴∠DAG＋∠OAE＝90°，∴OA⊥AG.∵AO是⊙O的半径，∴AG是⊙O的切线，即AG与⊙O相切；
②当 ，CE＝4时，直接写出CG的长．
在Rt△AEO中，AE＝ .由①知，∠AOC＝∠DAG，∠AEO＝∠CEA＝90°，∴△OEA∽△AEG，∴ ，解得EG＝ ，∴CG＝EG－EC＝ .
14. (2021营口22题12分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，且 ＝ ，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．(1)求证：AF＝AE；
(1)证明：∵ ＝ ，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠CEB＝90°，∵⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，∴∠FAB＝90°，∴∠F＋∠ABD＝90°，∴∠CEB＝∠F ，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠AEF＝∠F，∴AF＝AE；
(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
15. (2021朝阳22题8分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB，CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E.(1)求证：CD是⊙O的切线；
(1)证明：∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠BAM，∴∠ACD＝∠BAM，∴AB∥CD，∵∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
(2)连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝ ，求DM的长．
在Rt△AOD中，AD＝ ，∵OA＝OD，∴∠ADN＝45°，又∵∠AMD＝ ∠AOD＝45°，∴∠ADN＝∠AMD，∵∠DAN＝∠MAD，∴△ADN∽△AMD，∴ ＝ ，∴ ，∴DM＝ .
点、直线与圆的位置关系
【对接教材】北师：九下第三章P66、P89～P96； 人教：九上第二十四章P92～P103.
点与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d）
点在圆外⇔d>r点在圆上⇔d　　r点在圆内⇔d＜r
直线与圆的位置关系（设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d）
1.圆的切线　　　　于过切点的半径（或直径）2.切线到圆心的距离等于圆的_________　　　　　
1.过半径外端且　　　　于半径的直线是圆的切线2.和圆只有　　　　公共点的直线是圆的切线3.如果圆心到直线的距离等于圆的　　　　，那么这条直线是圆的切线
定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,*（选学）定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分, 两条切线的夹角
定义：与三角形三边都相切的圆（如图）内切圆的圆心：三角形三个内角的　　　　的交点性质：三角形的内心到三角形三条边的距离___________角度关系：∠BOC＝90°＋ ∠A　
例1 在△ABC中，AO是BC边上的中线．已知AB＝AC＝10，BC＝16，以点O为圆心，r为半径作圆．(1)若r＝4.8，则点A与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________；(2)若r＝8，则点A与⊙O的位置关系是________，点B与⊙O的位置关系是________，直线AB与⊙O的位置关系是________．
例2 　 如图①，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，连接BD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
(2)求证：∠ADE＝∠ABD；
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD；
(3)若DE＝4，弦AC的长是6，求⊙O的半径；
(3)解：如解图，过点O作ON⊥AC交AC于点N，连接OD，
(4)若CE＝1，BD＝2，求∠BAC的度数；
(4)解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，
∵∠EAD＝∠MAD，∴ ＝ ，∴CD＝BD＝2.在Rt△DEC和Rt△DMB中， ∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)，∴CE＝BM＝1，∴在Rt△DMB中，BD＝2BM，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°；
(5)若AF＝8，cs∠BAC＝ ，求DF的长；
(5)解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M，连接OD，BC，
∵∠EAD＝∠BAD，∴△EAD∽△DAB，∴ ，∴AD2＝AE·AB＝AE·10x＝80x2，∴AE＝8x，∵OD∥AE，∴△ODF∽△EAF，∴ ，∵AF＝8，∴DF＝5；
(6)如图②，点P是OA的中点，过点P作PQ⊥OA，交AD于点H，交DE于点Q.求证：DQ＝QH.
(6)证明：由(1)知，OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∴∠ODA＋∠ADE＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＋∠ADE＝90°，∵PQ⊥AB，∴∠OAD＋∠AHP＝90°，∴∠ADE＝∠AHP，∵∠AHP＝∠DHQ，∴∠ADE＝∠DHQ，∴DQ＝QH.
1. (2023沈阳铁西区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF.(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∵AB＝AC，∴2∠BAE＝∠CAB，
∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠CBF＋∠ABE＝90°，即∠ABF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；