[数学]河南省安阳市滑县2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]河南省安阳市滑县2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意，，
所以复数z的共轭复数，
复数z的共轭复数在复平面上对应的点为，位于第四象限．
故选：D.
2. 某学校有教师200人，男学生1 600人，女学生1 200人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了60人，则n的值为（ ）
A. 150B. 160C. 180D. 200
【答案】A
【解析】依题意，得，解得，
故n的值为.
故选：A.
3. 如果复数z满足：，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，由复数相等的充要条件，
得解得即．
故选：B.
4. 在中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若，则（ ）
A. 1B. －1C. D.
【答案】A
【解析】由题可知为三角形的重心，
则，
，，
．
故选：A．
5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则至少有2只测量过该指标的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设5只兔子中测量过该指标的3只为，，，
未测量过该指标的2只为，，
则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为，，，
，，，，，
，共10种可能，
其中至少有2只测量过该指标的情况为，，，
，，，，共7种可能，
所以至少有2只测量过该指标的概率为．
故选：C.
6. 为了了解某校高三学生视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ）
A. 27B. 48C. 54D. 64
【答案】C
【解析】前两组的频数为，
因为后五组的频数和为64，所以前三组的频数和为36，所以第三组的频数为，
又最大频率为0.34，故第四组的频数为，
所以．
故选：C.
7. 已知满足，则夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意，向量，满足，，
可得，所以，
又由，所以，
设向量与的夹角为，则．
故选：D.
8. 如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为三棱柱，
所以，面面，
又因为面面，面面，
所以，显然为三棱台，
设，（），三棱柱的高为，
则，
所以三棱柱体积为，
三棱台的体积为，
.①三棱台的体积占，
则，得，得或，均不符合题意；
②三棱台的体积占，
则，得，得或，
因为，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设、、为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】若，，根据平行的传递性，则，故A正确；
直线，而，即，，所以，，故B正确；
和两条平行直线分别平行的两个平面可以平行也可以相交，故C错误；
两个平面垂直于第三个平面，这两个平面可以平行也可以相交，故D错误．
故选：AB.
10. 随着生活节奏的加快，人们越来越注意养生和锻炼身体，其中走路是一种简单的锻炼方式，它不仅可以减肥，还可以增强心肺功能等.甲，乙两人通过某软件记录了各自在同一周内的日步数(单位：千步)，统计如下表所示：
根据上述表格，在这一周内，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的日步数的中位数大于乙的日步数的中位数
B. 甲的日步数的平均数小于乙的日步数的平均数
C. 甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
D. 甲的日步数没有乙的日步数稳定
【答案】ACD
【解析】甲的日步数的中位数为14.5，乙的日步数的中位数12.6，
甲的日步数的中位数大于乙的旦步数的中位数，选项正确；
甲的日步数的平均数为，
乙的日步数的平均数为，
甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数，B选项错误；
甲的日步数的极差为12.6，乙的日步数的极差为7.6，
甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差，C选项正确；
甲的日步数两极分化严重，极差大，在平均数附近的数据少，
所以甲的日步数的方差比乙的日步数的方差大，因此乙的日步数比甲的日步数稳定，
故D选项正确．
故选：ACD.
11. 在中，内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，则下到说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是等腰三角形
D.
【答案】ACD
【解析】若，因为在上单调递减，
且，所以，故A正确；
由正弦定理得，解得，
又因为，且，所以或，故B错误；
因为，根据正弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，即，是等腰三角形，故C正确；
因为，
在中，，则，
所以，故D正确．
故选：ACD.
12. 如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积与点M的位置有关
B. 若．则点M在侧面上运动路径的长度为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】BC
【解析】对于选项A：如图1，三棱锥的体积，
因为点P为的中点，所以的面积是定值，
又因为点M到面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积是定值，故A错误；
对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，
则由正方体的性质得平面，平面，所以，
又因为，正方体的棱长为1，所以，
可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，
所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；
对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，
取BC的中点，连接，，，则，，
因为，所以，
因为平面，且平面，所以，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，
可得，所以的最大值为，故C正确；
在中，，
可知为锐角，则，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，故D错误．
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52．若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则______
【答案】
【解析】因为，，
所以第40百分位数为，第50百分位数为，则，
所以．
故答案为：.
14. 已知A(－2,1)，B(1,2)，C(0,－2)，D(－3,1)，则向量在向量上的投影向量为______(用坐标表示)
【答案】
【解析】因为，，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：.
15. 某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为______.
【答案】
【解析】在中，，
在中，，，
，
由正弦定理得，
故，
在中，，
故学校天文台的高度为.
故答案：.
16. 在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图所示，作中点，连接、，
在上作的中心，过点作平面的垂线，
在垂线上取一点，使得，
因为三棱锥底面是等边三角形，是的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，
又因，则即为球心，
因为平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
设球的半径为，
则，
，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值．
解：（1）因为，，所以，
．因为，
所以，解得．
（2），因为，
所以，解得．
18. 某学校高一年级共1120人，在一次数学考试中随机抽取了100名学生成绩，发现分数都在内，统计得到的频率分布直方图如图所示
（1）求图中a的值；
（2）试估计这100名学生得分的平均数中位数(结果按四舍五入取整数)；
（3）现在按分层随机抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次数学考试的总结会，求两组中各有一人被抽取的概率.
解：（1）因为频率分布直方图的频率之和为，
所以，则．
（2）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数为
，
因为，，
所以中位数位于，不妨设为，
则，解得，所以中位数为．
（3）在和两组中的人数分别为，
，
故在分组中抽取的人数为，分别记作，
在分组中抽取的人数为，分别记作，
则从这5人中随机抽取2人的所有抽取方法为，，，，，，，，，，共有10种，
其中两组中各有一人被抽取的方法有，，，，，，共6种，
所以两组中各有一人被抽取的概率为．
19. 如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的大小.
解：（1）在菱形ABCD中，，，又点E，F分别为AD，CD的中点，
所以，则，易知，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由，得，
因为，所以，所以，
于是，所以，
由（1）知平面，又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以二面角的大小为.
20. 与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．
（2）有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
21. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
解：（1）∵四边形是矩形，∴，
又平面，平面，∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
∵，平面，∴平面平面，
又平面，
∴平面．
（2）∵平面，平面，∴，
在矩形中，，
又∵，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（3）∵平面，平面，∴平面平面，
又，平面平面，平面，
∴平面，
则为三棱锥的高，且，
∵，∴，
∴．
22. 在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，.
（1）求角C：
（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．
解：（1）由及正弦定理得，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）设外接圆的半径为，由，
得，即，
则，∴，
的面积，
∵，∴，，
∴
，
∵，，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
即锐角面积的取值范围是．星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
甲
17
9.5
14.5
5.2
17.8
12.1
14.9
乙
15
13
9.9
14
7.4
12.6
12.1