[数学]贵州省安顺市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测试题（解析版）

这是一份[数学]贵州省安顺市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.
故选：B．
2. 若三点、、共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知三点、、共线，则，，
由题意可知，所以，，解得.
故选：D.
3. 在一次知识竞赛中，某班6名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，70，72，86，80，则这6名学生成绩的75%分位数是（ ）
A 70分B. 72分C. 80分D. 84分
【答案】C
【解析】将成绩按升序排列可得：60，65，70，72，80，86，
因为，所以6名学生成绩的75%分位数是第5位数80.
故选：C.
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（ ）
A. “至少有一个红球”与“都是红球”
B. “至少有一个红球”与“都是黑球”
C. “至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D. “恰好有一个红球”与“恰好有两个红球”
【答案】B
【解析】设红球的编号为1，2，黑球的编号为a，b，
取2个球的全集，
对于A，事件A：“至少有1个红球”，
事件B：“都是红球”，
，错误；
对于B，事件C：“都是黑球”，，并且，
即A与C必然有一个会发生，正确；
对于C，事件D：“至少1个是黑球”，，错误；
对于D，事件E：“恰好1个是红球”，
事件F：“恰好2个是红球”，
所以，但，所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，错误.
故选：B.
5. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】若，则，
若，显然不满足，
可得，则，
所以.
故选：C.
6. 已知正三棱柱的所有棱长都是2，点在棱上运动，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】如图，将侧面和侧面展开成一个平面，
则，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
8. 锐角中，内角、、的对边分别为、、，为的面积，且，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，即，即，
因为为锐角三角形，则，所以，，则，
因为，由正弦定理可得，
由已知可得，解得，则，
因此，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2人，有选错的得0分.
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ）
A. A和为互斥事件B. A与为相互独立事件
C. D. 该试验样本空间共有4个样本点
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为事件 “第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”是随机事件，
所以A和不为互斥事件，故A错误；
对于选项D：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以该试验样本空间共有4个样本点，故D正确；
对于选项C：事件为（正，反），共有1个样本点，所以，故C正确；
对于选项B：因为事件为（正，正），（正，反），共有2个样本点，则，
事件为（正，反），（反，反），共有2个样本点，则，
因为，所以A与为相互独立事件，故B正确.
故选：BCD.
10. 根据某地月日到月日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A. 号到号的最低气温的极差比最高气温的极差小
B. 号的最高气温与最低气温的差值最大
C. 最高气温的众数为
D. 最低气温的中位数为
【答案】AC
【解析】对于A选项，由图可知，号到号的最高气温的极差为，
号到号的最低气温的极差小于，
所以，号到号的最低气温的极差比最高气温的极差小，A对；
对于B选项，由图可知号的最高气温与最低气温的差值最大，B错；
对于C选项，最高气温出现了两次，其他数据出现为次，故是最高气温的众数，
故C正确；
对于D选项，最低气温由小到大的日期依次为号、号、号、号、号、号、号、号、号、号、号，
所以，号（或号或号）的气温为最低气温的中位数，
结合图形可知，最低气温的中位数小于，D错.
故选：AC.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若向量满足，则
B. 已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底
C. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D. 在中，若，则为钝角三角形
【答案】BD
【解析】对于选项A：例如，且反向，可得，
但不能得到，故A错误；
对于选项B：假设共线，则存在实数，使得，
且不共线，可得，无解，
假设不成立，所以不共线，则向量也能作为一组基底，故B正确；
对于选项C：模等于1个单位长度的向量是单位向量，但单位向量的方向不确定，
所以单位向量不一定相等，故C错误；
对于选项D：因为，可得，
且，则角为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.
故选：BD.
12. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 与直线相交D. 与直线相交
【答案】CD
【解析】延长、交于点，则、的延长线也过点，如下图所示：
因为，则平面，则直线即为所求作的直线，
所以，直线与直线、直线、直线、直线都相交.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知平面非零向量与的夹角为，若，则______________.
【答案】2
【解析】因为，则，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：2.
14. 现有一组数据，则这组数据的方差是______________.
【答案】
【解析】由题意，的平均值为：，
根据方差的定义，这个数的方差为：.
故答案为：.
15. 若复数（为虚数单位，）对应的点在第二象限，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由题意可得：，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯（如图1）所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），酒杯内壁表面光滑.假设这种酒杯内壁表面积为平方厘米，半球的半径为厘米.若要使得这种酒杯的容积不大于半球体积的倍，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】设圆柱的高为，则这种酒杯内壁表面积为，可得，
可得，由，可得，可得，
因为这种酒杯的容积不大于半球体积的倍，即，
可得，解得，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，直四棱柱中，分别为的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
解：（1）分别为的中点，
，
又平面，平面，
平面.
（2）中，，
可得，
又直四棱柱中，
三棱锥的高，
.
18. 2022年9月市新冠肺炎疫情发生后，“疫”声令下，省内各大市区纷纷闻讯而动，约5000名医务工作者积极驰援该市，为抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量扭成一股绳，合力书写了守望相助的抗疫故事.现从各市支援市某地区的500名医务工作者中随机抽取50名，将这50人的年龄按照这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这50名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
（2）现需要对居民隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在两区间段医务工作者中按分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自同一年龄段的概率.
解：（1）依题意，医务工作者的平均年龄为：.
（2）根据直方图可得，在区间中的两段人数比例为，
根据分层抽样，在中分别抽取人和人，
将里抽取的人数编号为：，将里抽取的人数编号为：，
于是人抽取人所有可能的事件为：，有种，
抽取的人来自同一年龄段的事件为：，有种，
根据古典概型的计算公式，两人来自同一年龄段的概率为.
19. 已知函数.
（1）求函数的对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若为偶函数，求的最小值.
解：（1）
，
由可得，
所以，函数的对称轴方程为.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
因为函数为偶函数，则，可得，
因为，当时，取最小值.
20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，是边上一点，且满足是正方形，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知：，二面角的平面角为.是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由.
解：（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为正方形，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平平面平面.
（2）过作于，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，则为二面角的平面角，
所以，则，
又因为正方形中，有，又，所以此时与重合，
因为，所以，则，
所以，故，
故存在使得.
21. 如图，在直角中，角为直角，点是边的中点，点满足，点是边上的动点.
（1）若点是边上靠近的三等分点，设，求的值；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）因为，所以，
若点是边上靠近的三等分点，则，即，
所以，
又，、不共线，所以，所以.
（2）如图以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，，
因在上，设（），
所以，
，
所以，
因为，所以当时，，
又，所以当时，，
所以.
22. 在中，角，，对边分别为，，，且.
（1）求和的值；
（2）设点在边上，且，是的角平分线，求的最小值.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，即，
即，
由余弦定理，
又，所以.
（2）因为，解得或（舍去），
又是的角平分线，，所以，
即，即，
所以，所以且，
所以
，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.