山东省济南市济南育秀中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份山东省济南市济南育秀中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．a2＜b2C．2﹣a＞2﹣bD．ac2＜bc2
2．（4分）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2+4x+4＝x（x+4）+4
C．4x2y3＝y2•4x2yD．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
3．（4分）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是90°的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．（4分）如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
7．（4分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝﹣2C．m＝5D．m＝﹣5
8．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝700
B．200+200×2x＝700
C．200+200×3x＝700
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝700
9．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（ ）
A．B．C．D．1
10．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
11．（4分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
12．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 ．
13．（4分）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为 ．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 .
15．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
16．（4分）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB＝3，BD＝6，则PM+PN的最小值为 ．
三、解答题（10小题，共86分）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．
18．（6分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）．
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当（x1+x2）﹣x1x2＝4时，求m的值．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
23．（10分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．（10分）综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，因为（x+1）2≥0，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6的最小值是﹣8．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+ ＝（x+ ）2；
（2）知识应用：已知a是任何实数，若，通过计算判断M、N的大小；
（3）知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
25．（12分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）在图2中，∠GAF的度数是 ．
（2）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（3）如图4，△ABC中，AC＝2，BC＝3，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝ 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝4x+8的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．
（1）直接写出直线CD的解析式；
（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题，每题4分，共40分)
1．（4分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．a2＜b2C．2﹣a＞2﹣bD．ac2＜bc2
【解答】解：∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故A错误，不符合题意；
当a＝﹣1，b＝0时，满足a＜b，但a2＞b2，故B错误，不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，故C正确，符合题意；
当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（4分）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2+4x+4＝x（x+4）+4
C．4x2y3＝y2•4x2yD．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝x（x+4）+4，等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．4x2y3＝y2•4x2y，等式左边不是一个多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、该代数式的分子与分母存在公因式数3，不是最简分式，不符合题意；
B、该代数式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
C、该代数式的分子与分母存在公因式（x﹣y），不是最简分式，不符合题意；
D、该代数式的分子与分母存在公因式（x+y），不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
4．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B﹣∠A＝20°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A＝180°，∠B﹣∠A＝20°，
∴2∠B＝200°，
∴∠B＝100°．
又∵∠D＝∠B，
∴∠D＝100°．
故选：C．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是90°的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．
7．（4分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝﹣2C．m＝5D．m＝﹣5
【解答】解：，
5+2x﹣4＝﹣m，
2x＝﹣m+4﹣5，
2x＝﹣m﹣1，
x＝﹣，
∵方程有增根，
∴x＝2，
∴﹣＝2，
∴m＝﹣5，
故选：D．
8．（4分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝700
B．200+200×2x＝700
C．200+200×3x＝700
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝700
【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且第一季度平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元．
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝700，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝700．
故选：D．
9．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠EAP＝90°，
∵∠EAP＝∠ABP，
∴∠ABP+∠EAP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴DP＝AB＝2，
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，
则BC＝＝5，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝，
∴PE＝DE﹣DP＝，
故选：A．
10．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④错误；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故选：C．
二、填空题(共6小题，每题4分，共24分)
11．（4分）分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
12．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 6 ．
【解答】解：设每个内角为x，
根据题意得：x+x＝180°，
解得：x＝120°，
所以每个外角度数为60°，
则这个多边形的边数为360°÷60°＝6．
故答案为：6．
13．（4分）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为 x＞﹣1 ．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），
∴4＝﹣2m+2，
∴m＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b，
∴不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 .
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝DO＝4，AC⊥BD，
∵AB＝5，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，
∴DE＝＝，
故答案为：．
15．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 且a≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，
∴a≠0，Δ＝1﹣4×a×1≥0，
∴且a≠0，
故答案为：且a≠0．
16．（4分）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB＝3，BD＝6，则PM+PN的最小值为 ．
【解答】解：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交AB的延长于点E，过M'作M'F⊥AD于点F，连接M′N，交BD于点P′，连接PM′，P′M，
∴∠AFM′＝90°，∠E＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEM′F是矩形，
∴AF＝EM′，AE＝FM′；
∴BD垂直平分MM′，
∵点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，
∴MP＝M'P，
∴MP+PN＝M'P+NP≥M'N，
当M'、N、P三点共线即P与P′重合时，MP+NP的值最小，
∵AB＝3，BD＝6，
∴AD＝＝3，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，
∵MM'⊥BD，
∴∠BMM'＝30°，
∵M是AB的中点，
∴BM＝，
∴MM'＝××2＝，EM'＝，ME＝×＝，
∴AE＝+＝，
∴FM'＝，
∵N是AD的中点，
∴AN＝，
∴FN＝﹣＝，
∴M'N＝＝，
∴PM+PN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（10小题，共86分）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x＜3，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜3，
即不等式组的正整数解是1，2．
18．（6分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x﹣2≠0，x+1≠0，
∴x≠2，﹣1，
∴当x＝0时，原式＝＝﹣2．
19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
（x+1）（x﹣6）＝0，
x+1＝0或x﹣6＝0，
x1＝﹣1，x2＝6；
（2），
x+3（x﹣2）＝﹣（x﹣4），
x+3x﹣6＝﹣x+4，
5x＝10，
x＝2，
经检验，x＝2是增根，
所以原方程无解．
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当（x1+x2）﹣x1x2＝4时，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+1）2﹣4×2（m﹣1）
＝m2+2m+1﹣8m+8
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝m+1，x1x2＝2（m﹣1），
∵（x1+x2）﹣x1x2＝4，
∴m+1﹣2（m﹣1）＝4，
解得m＝﹣1，
即m的值为﹣1．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝4﹣t，得t＝2
故当t＝2s时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝1.5，
故当t＝1.5s时，四边形AQCP为菱形．
23．（10分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
24．（10分）综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，因为（x+1）2≥0，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6的最小值是﹣8．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+ 9 ＝（x+ 3 ）2；
（2）知识应用：已知a是任何实数，若，通过计算判断M、N的大小；
（3）知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2．
故答案为：9；3．
（2）
＝
＝6a2﹣2a﹣9a+3﹣2a2+3a+2
＝4a2﹣8a+5
＝4（a2﹣2a+1）﹣4+5
＝4（a﹣1）2+1＞0，
∴M＞N；
（3）①由题意可得：
菜园的面积为：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x；
②由题意可得：0＜20﹣2x≤12，
解得：4≤x＜10，
y＝﹣2x2+20x
＝﹣2（x2﹣10x）
＝﹣2（x2﹣10x+25）+50
＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，菜园面积y最大，最大面积为50平方米．
25．（12分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）在图2中，∠GAF的度数是 45° ．
（2）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（3）如图4，△ABC中，AC＝2，BC＝3，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB＝ 135° 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
【解答】解：（1）根据旋转知：△ABG≌△ADE，
∴∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，
∵∠BAD＝∠BAF+∠EAF+∠EAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠BAF+∠GAB＝45°，即∠GAF＝45°，
故答案为：45°；
（2）过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，如图3，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，
∵AD＝CD＝10，
∴四边形AFCD是正方形，
∴CF＝10，
根据上面结论，可知BE＝DE+BF，
设BE＝x，
∵DE＝4，
∴BF＝BE﹣DE＝x﹣4，
∴CB＝CF﹣BF＝10﹣x+4＝14﹣x，
CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴36+（14﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
故BE＝；
（3）过点A作AF⊥CA，取AF＝AC，连接BF，CF，如图4，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°+∠BAC，
∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝90°+∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAC，
又∵AC＝AF，AB＝AD，
∴△FAB≌△CAD（SAS），
∴BF＝CD，
∴线段CD有最大值时，只需BF最大即可，
在△BCF中，BF≤BC+CF，
当B、C、F三点共线时，
BF取最大值，此时BF＝BC+CF，
在等腰直角三角形ACF中，AC＝AF＝2，∠ACF＝45°，
∴CF＝AC＝2，
∵CB＝3，
BF最大，即CD最大值为2+3，此时∠BCA＝180°﹣∠ACF＝135°．
故答案为：135°．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝4x+8的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．
（1）直接写出直线CD的解析式；
（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
【解答】解：（1）一次函数y＝4x+8，令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，8），即OA＝4，OB＝8，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝8，
∴C（0，4），D（8，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）设E（a，﹣a+4），则F（a，4a+8），
∵EG∥x轴，
∴点G的纵坐标为﹣a+4，
将y＝﹣a+4代入一次函数y＝4x+8得：4x+8＝﹣a+4，
∴x＝﹣a﹣1，即点G的横坐标为﹣a﹣1，
∴EF＝4a+8﹣（﹣a+4）＝a+4，EG＝a﹣（﹣a﹣1）＝a+1，
∵A（﹣4，0），D（8，0），
∴AD＝12，
∵EF+EG＝AD，
∴a+4+a+1＝12，
∴a＝，
∴点E的坐标为（，）；
（3）①OM为矩形的边时，如图2，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，
∵A（﹣4，0），B（0，8），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣2，4），OM＝AM＝BM＝AB，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC＝4，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴ON＝OM，CN＝AM，
∴ON＝CN＝CD，
∴点N为线段CD的中点，
∵C（0，4），D（8，0），
∴N（4，2）；
设直线ON的解析式为y＝mx，则4m＝2，
∴m＝，
∴直线ON的解析式为y＝x，
∵MN′⊥OM，ON⊥OM，
∴MN′∥ON，
∴可设直线MN′的解析式为y＝x+n，
将M（﹣2，4）代入得：﹣1+n＝4，
∴n＝5，
∴直线MN′的解析式为y＝x+5，
联立直线CD：y＝﹣x+4得：
，
解得，
∴N′（﹣1，）；
综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（4，2）或（﹣1，）；
②OM为矩形的对角线时，如图3，
∵M（﹣2，4），C（0，4），
∴MC⊥y轴，
∵四边形MNOP为矩形，
∴MN⊥y轴，
∴点N与点C重合，
∴N（0，4）．
综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（4，2）或（﹣1，）或（0，4）．