【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第01讲集合与常用逻辑用语(原卷版+解析)

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1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法．
2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法．
【考点目录】
考点一：集合的含义与表示
考点二：集合的基本关系
考点三：集合的基本运算
考点四：含参数的集合问题
考点五：充分与必要条件
考点六：全称量词与存在量词
【基础知识】
知识点一：集合的有关概念
1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
2、关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．
3、元素与集合的关系：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、常用数集及其表示
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
知识点二：集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来．
2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
知识点三．集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．
记作：
读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
记作：A=B
读作：A等于B．
图示：
知识点四．真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
知识点五．空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
知识点六：集合的运算
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
2、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
3、补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（cmplementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
4、集合基本运算的一些结论
，，，，
，，，，
，
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x（A∩B），则且xB
若x（A∪B），则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：．
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件．
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．
知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
知识点八：全称量词与全称量词命题
1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．
2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．
知识点九：存在量词与存在量词命题
1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．
2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．
3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．
知识点十：命题的否定
1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
知识点十一：全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
知识点十二：存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
知识点十三：命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
知识点七：常见正面词语的否定举例如下：
【考点剖析】
考点一：集合的含义与表示
例1．(2023·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合，若，则实数的值为___________.
例2．(2023·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．
例3．(2023·四川·威远中学校高一期中）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则=______．
考点二：集合的基本关系
例4．(2023·福建省永泰县城关中学高一期中）若集合，，则满足的集合的个数为___________．
例5．(2023·江苏连云港·高一期中）设集合，若，则 _________ .
例6．(2023·四川·广安育才学校高一期中）设集合，，，则集合的真子集个数为________个.
例7．(2023·江苏·靖江高级中学高一期中）已知集合，则实数的取值集合为______________．
考点三：集合的基本运算
例8．(2023·湖南·衡东县欧阳遇实验中学高一期中）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2例9．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）已知集合，，则_______．
例10．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知集合，则__________.
例11．(2023·上海虹口·高一期末）已知集合，，则______．
例12．(2023·河北廊坊·高一期末）某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.
例13．(2023·安徽池州·高一期末）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.
考点四：含参数的集合问题
例14．(2023·湖北黄石·高一期末）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
例15．(2023·河北沧州·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例16．(2023·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
例17．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
例18．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围．
考点五：充分与必要条件
例19．(2023·浙江·杭州四中高一期末）“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例20．(2023·湖南湘西·高一期末）已知：，：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例21．(2023·江苏盐城·高一期末）“”的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
考点六：全称量词与存在量词
例22．(2023·北京·清华附中高一期末）已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
例23．(2023·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例24．(2023·河南新乡·高一期末）命题“有些梯形的对角线相等”的否定是（ ）
A．有些梯形的对角线不相等B．所有梯形的对角线都相等
C．至少有一个梯形的对角线相等D．没有一个梯形的对角线相等
例25．(2023·江苏省南通中学高一期中）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高考真题（文））集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．或D．
3．(2023·内蒙古包头·高一期末）集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·山西朔州·高一期末）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·江苏·高一期末）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·广东广雅中学高一期末）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个
A．3B．4C．7D．8
二、多选题
9．(2023·福建三明·高一期末）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数a，b属同一类
10．(2023·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
11．(2023·江苏淮安·高一期末）下面选项中正确的有（ ）
A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”
B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”
C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
12．(2023·重庆·高一期末）已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（ ）
A．，且B．，
C．，或D．，且
三、填空题
13．(2023·江苏·高一期末）已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
14．(2023·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
15．(2023·重庆·高一期末）设集合，，则______．
16．(2023·上海·华师大二附中高一期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.
四、解答题
17．(2023·贵州·赫章县教育研究室高一期末）设全集，，.求，，，
18．(2023·河南新乡·高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
19．(2023·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
20．(2023·北京朝阳·高一期末）已知全集，集合，集合．
(1)求集合及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
21．(2023·广东东莞·高一期末）已知集合，.
(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；
(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.
22．(2023·湖南张家界·高一期末）已知集合，（）．
(1)当时，求和；
(2)是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
正面词语
等于
大于（>）
小于（<）
是
都是
否定
不等于
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至少有一个
至多有一个
任意的
所有的
至多有n个
否定
一个也没有
至少有两个
某个
某些
至少有n＋1个
第01讲 集合与常用逻辑用语
【学习目标】
1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法．
2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法．
【考点目录】
考点一：集合的含义与表示
考点二：集合的基本关系
考点三：集合的基本运算
考点四：含参数的集合问题
考点五：充分与必要条件
考点六：全称量词与存在量词
【基础知识】
知识点一：集合的有关概念
1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
2、关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．
3、元素与集合的关系：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、常用数集及其表示
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
知识点二：集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来．
2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
知识点三．集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．
记作：
读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
记作：A=B
读作：A等于B．
图示：
知识点四．真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
知识点五．空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
知识点六：集合的运算
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
2、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
3、补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（cmplementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
4、集合基本运算的一些结论
，，，，
，，，，
，
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x（A∩B），则且xB
若x（A∪B），则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：．
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件．
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．
知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
知识点八：全称量词与全称量词命题
1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．
2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．
知识点九：存在量词与存在量词命题
1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．
2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．
3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．
知识点十：命题的否定
1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
知识点十一：全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
知识点十二：存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
知识点十三：命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
知识点七：常见正面词语的否定举例如下：
【考点剖析】
考点一：集合的含义与表示
例1．(2023·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合，若，则实数的值为___________.
答案：
【解析】因为且，
所以或，
解得或，
当时，此时不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，符合题意；
故答案为：
例2．(2023·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．
答案：
【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
例3．(2023·四川·威远中学校高一期中）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则=______．
答案：-1
【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，
∴，解得x=-1，y=0，
则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．
故答案为：-1．
考点二：集合的基本关系
例4．(2023·福建省永泰县城关中学高一期中）若集合，，则满足的集合的个数为___________．
答案：7
【解析】由题意得，又，，
所以满足条件集合为
所以满足的集合的个数为．
故答案为：7.
例5．(2023·江苏连云港·高一期中）设集合，若，则 _________ .
答案：
【解析】依题意，集合，
由于，所以，解得.
故答案为：
例6．(2023·四川·广安育才学校高一期中）设集合，，，则集合的真子集个数为________个.
答案：63
【解析】当，时，；
当，时，；
当，或时，；
当，时，；
当，或，时，；
当，时，；
，故中元素的个数为个.
集合的真子集个数为个.
故答案为：63.
例7．(2023·江苏·靖江高级中学高一期中）已知集合，则实数的取值集合为______________．
答案：
【解析】集合，则
所以或.
所以实数的取值集合为：.
故答案为：.
考点三：集合的基本运算
例8．(2023·湖南·衡东县欧阳遇实验中学高一期中）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2答案：
【解析】，，
故答案为：.
例9．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）已知集合，，则_______．
答案：
【解析】解方程组可得，因此，.
故答案为：.
例10．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知集合，则__________.
答案：
【解析】，则.
故答案为：
例11．(2023·上海虹口·高一期末）已知集合，，则______．
答案：
【解析】解方程得：或，则，而，
所以.
故答案为：
例12．(2023·河北廊坊·高一期末）某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.
答案：12
【解析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.
故答案为：12.
例13．(2023·安徽池州·高一期末）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.
答案：
【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为且.
故答案为：.
考点四：含参数的集合问题
例14．(2023·湖北黄石·高一期末）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以或．
又且，
所以，解得
所以实数的取值范围是．
（2）若（补集思想），则．
当时，，解得；
当时，，即，
要使，则，得．
综上，知时，，
所以时，实数的取值范围是．
例15．(2023·河北沧州·高一期末）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)，
当时，，
∴；
(2){或x＞4}，
当时，，，解得a＜1；
当时，若，则解得.
综上，实数的取值范围为.
例16．(2023·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
【解析】(1)∵或，且，
∴，解得，
∴a的取值范围为；
(2)∵或，且，
∴，
∴或，即或，
∴a的取值范围是.
例17．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，可得集合，，所以，.
（2）由，可得，
①当时，可得，解得：；
②当时，则满足，解得：，
综上：实数的取值范围是.
例18．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝时，m＋1>2m－1，则m<2；
当B≠时，可得，解得2≤m≤3．
综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3]．
（2）当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254．
（3）当B＝时，由（1）知m<2；当B≠时，
可得，或，解得m>4．
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
考点五：充分与必要条件
例19．(2023·浙江·杭州四中高一期末）“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】解不等式，得
而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件
故选：B
例20．(2023·湖南湘西·高一期末）已知：，：，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】由可得，或，，
所以由推不出，，由，，可以推出，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
例21．(2023·江苏盐城·高一期末）“”的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误；
对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误；
对于C，当时，，可得到，C正确；
对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误.
故选：C.
考点六：全称量词与存在量词
例22．(2023·北京·清华附中高一期末）已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意得：
全称量词命题的否定是存在性量词命题：
故，则
故选：C
例23．(2023·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】为真命题，
∴，，
∵在区间上单调递增，
，即，
∴实数的取值范围为．
故选B
例24．(2023·河南新乡·高一期末）命题“有些梯形的对角线相等”的否定是（ ）
A．有些梯形的对角线不相等B．所有梯形的对角线都相等
C．至少有一个梯形的对角线相等D．没有一个梯形的对角线相等
答案：D
【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，存在改全称，并否定结论．
所以命题“有些梯形的对角线相等”的否定是没有一个梯形的对角线相等，
故选：D
例25．(2023·江苏省南通中学高一期中）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，全称量词命题：为真命题，
所以，在区间上恒成立，所以，
所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.
故选：B
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
2．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，故，
故选：A.
3．(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，所以．
故选：A.
4．(2023·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，故，
故选：D
5．(2023·全国·高考真题（文））集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，所以．
故选：A.
6．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
7．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
8．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
9．(2023·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
10．(2023·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，
故选：D.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，由图可知，.
故选:B.
2．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．或D．
答案：C
【解析】因为，，
所以或，
所以或．
故选：C．
3．(2023·内蒙古包头·高一期末）集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以 ，
故选：D
4．(2023·山西朔州·高一期末）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】是元素，而是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A选项错误；是两个元素的实数集，是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C选项错误，这两个集合中的元素分别是，，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，是单元素非空集合，故B正确.
故选：B.
5．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”
故选：C
6．(2023·江苏·高一期末）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，命题：，为真命题.
①当时，则，不合乎题意；
②当时，则，令，
则，
所以，当时，，则.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
7．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以或，
所以解集为，
又因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，所以，
故选：C.
8．(2023·广东广雅中学高一期末）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个
A．3B．4C．7D．8
答案：C
【解析】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．
二、多选题
9．(2023·福建三明·高一期末）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数a，b属同一类
答案：ACD
【解析】对A，，即余数为1，正确；
对B，，即余数为3，错误；
对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；
对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.
故选：ACD.
10．(2023·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
答案：ABD
【解析】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
11．(2023·江苏淮安·高一期末）下面选项中正确的有（ ）
A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”
B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”
C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案：ACD
【解析】对于A：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A正确；
对于B：命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥0”，故B错误；
对于C：当“α=kπ+β，k∈Z”时，“tanα=tanβ”成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=kπ，k∈Z”，即为“α=kπ+β，k∈Z”.故“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C正确；
对于D：设a，b∈R，则“a≠0，b=0”时，则“ab=0”，反过来，a，b∈R，若“ab≠0”时，则能推出“a≠0”且“b≠0”，故设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
故选：ACD．
12．(2023·重庆·高一期末）已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（ ）
A．，且B．，
C．，或D．，且
答案：AB
【解析】全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，
观察图形知，，且，A正确；
因，必有，，B正确；
若，则，此时，，即且，C不正确；
因，则不存在满足且，D不正确.
故选：AB
三、填空题
13．(2023·江苏·高一期末）已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
答案：
【解析】由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
14．(2023·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.
答案：1或
【解析】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；
②当时，，所以，
综上所述，或.
故答案为：1或.
15．(2023·重庆·高一期末）设集合，，则______．
答案：
【解析】解方程组，得或.
故答案为：．
16．(2023·上海·华师大二附中高一期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.
答案：
【解析】因为，故，解得：，所以a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·贵州·赫章县教育研究室高一期末）设全集，，.求，，，
【解析】，，，
则或，则
，则或
18．(2023·河南新乡·高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意当时得，因为，所以或，所以或．
（2）因为，所以，
①当时，，解得，符合题意；．
②当时，，解得．
故的取值范围为．
19．(2023·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【解析】(1)时，故.
(2)因为，故，
若即时，，符合；
若，则，解得，
综上，.
20．(2023·北京朝阳·高一期末）已知全集，集合，集合．
(1)求集合及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得：，所以，则，
由，所以，．
（2）因为且，
所以，解得．
所以的取值范围是．
21．(2023·广东东莞·高一期末）已知集合，.
(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；
(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.
【解析】(1)法一：令，得，故；
令，得，故.
同理，令，得，故；
令，得，故.
法二：由题意得：，
又，故，；
，.
(2)法一：由（1）得：，，故；
又，，
由，得，故，
所以，都有，即，又，
所以.
法二：由题意得={x|x是的整数倍}，
={x|x是的奇数倍}，
因为奇数集是整数集的真子集，
所以集合B是集合A的真子集，即.
22．(2023·湖南张家界·高一期末）已知集合，（）．
(1)当时，求和；
(2)是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当时，，
∵ ∴
=或
（注：结果正确，用区间表示同样给分．）
(2)假设存在实数满足条件，
∵ ，由，有
由，则
解得：
故存在，使得集合 ．
正面词语
等于
大于（>）
小于（<）
是
都是
否定
不等于
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至少有一个
至多有一个
任意的
所有的
至多有n个
否定
一个也没有
至少有两个
某个
某些
至少有n＋1个