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【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第05讲三角函数(原卷版+解析)
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这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第05讲三角函数(原卷版+解析)，共52页。
1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
3、掌握三角函数的图像与性质
4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
【考点目录】
考点一：任意角和弧度制
考点二：三角函数的概念
考点三：诱导公式
考点四：三角函数的图像与性质
考点五：伸缩变换
考点六：三角函数的应用
【基础知识】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【考点剖析】
考点一：任意角和弧度制
例1．(2023·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点二：三角函数的概念
例4．(2023·上海市香山中学高一期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
例6．(2023·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若，，则的值为（ ）
A．B．－C．D．
考点三：诱导公式
例7．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
例8．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
例9．(2023·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
考点四：三角函数的图像与性质
例10．（多选题）(2023·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
例11．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
例12．(2023·江苏盐城·高一期末）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
考点五：伸缩变换
例13．(2023·上海市香山中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
例14．(2023·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
例15．(2023·上海市行知中学高一期末）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
考点六：三角函数的应用
例16．(2023·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例17．(2023·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
例18．(2023·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为40
B．
C．当时，水车P点离水面最高
D．当时，水车P点距水面2m
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
9．（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点，且，则x的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．2B．4C．2或4D．1或4
5．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：
第四象限的角可表示为
第二象限角大于第一象限角
将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为
若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知函数的图象如图所示．则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·上海市香山中学高一期末）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
二、多选题
9．(2023·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·山东·济南九中高一阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
11．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）设，则（ ）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．向左平移个单位后为偶函数
12．(2023·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若是第三象限角且，则______．
14．(2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知，则___________.
15．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
四、解答题
17．(2023·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
19．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
20．(2023·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函数，，求：
(1)函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；
(2)函数的单调减区间．
21．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)若函数在区间上恰有2022个零点，求的取值范围.
22．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
0
0
高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝
第05讲 三角函数
【学习目标】
1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
3、掌握三角函数的图像与性质
4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
【考点目录】
考点一：任意角和弧度制
考点二：三角函数的概念
考点三：诱导公式
考点四：三角函数的图像与性质
考点五：伸缩变换
考点六：三角函数的应用
【基础知识】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【考点剖析】
考点一：任意角和弧度制
例1．(2023·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】由扇形面积与弧长公式可得，，，故，解得弧度数
故选：B.
例2．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，故与其终边相同的角的集合为或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
例3．(2023·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
考点二：三角函数的概念
例4．(2023·上海市香山中学高一期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
答案：C
【解析】由题意，解得．
故选：C．
例6．(2023·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若，，则的值为（ ）
A．B．－C．D．
答案：D
【解析】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
考点三：诱导公式
例7．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【解析】（1）原式
；
（2）原式.
例8．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【解析】（1）
（2）∵，
∴
又为第三象限角，
∴
例9．(2023·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1），因为为第二象限角，
∴．
（2）∵，
∴
考点四：三角函数的图像与性质
例10．（多选题）(2023·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
答案：BCD
【解析】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.
B选项，
，
所以为奇函数，B选项正确.
C选项，
，
所以的图象关于直线对称，C选项正确.
D选项，，所以在区间上递增，
令，，
令，，
其中，
所以，
所以在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.
故选：BCD
例11．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）根据五点法的表格，所以
所以的最小正周期
令，
解之得
又，所以或
即在上的单调递减区间为，
（2）由于
所以
所以
所以
当即时，函数的最小值为;
当即时，函数的最大值为.
例12．(2023·江苏盐城·高一期末）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
【解析】(1)由题设，可得.
(2)令，则，
所以或且，
则或且，
由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，
所以、、，则，
所以.
考点五：伸缩变换
例13．(2023·上海市香山中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
答案：B
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得，
若，则，
所以在区间上单调递增.
若，则，
所以在区间上不单调.
所以B选项正确，其它选项错误.
故选：B
例14．(2023·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
答案：B
【解析】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
例15．(2023·上海市行知中学高一期末）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
答案：D
【解析】由图像可知，的最小值为，又，所以，
因为，所以，所以，从而，
将代入，得，故，得，
又，所以，所以，
对于A，将的图象向右平移个单位长度得到，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；
对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.
故选：D.
考点六：三角函数的应用
例16．(2023·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，
故选：C
例17．(2023·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
答案：D
【解析】由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为.
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有，处于低潮期，反应迟钝；
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝.
故选：D
例18．(2023·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为40
B．
C．当时，水车P点离水面最高
D．当时，水车P点距水面2m
答案：D
【解析】依题意可知，水车转动的角速度（rad/s），
由，，解得，，
由，得．又，则，
所以，．
对于选项A：函数的最小正周期为60．所以A错误；
对于选项B：，所以B错误；
对于选项C：，所以C错误；
对于选项D：，所以D正确．
故选：D．
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：D
【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
4．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
5．(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
7．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
8．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
答案：
【解析】 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
9．（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
答案：
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点，且，则x的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由三角函数定义可得，即，解得.
故选：B.
2．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由角的终边与单位圆的交点坐标是得，
故.
故选：A
3．(2023·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设等边三角形的边长为，
则由题意得：，解得：，
所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，
又等边三角形的面积为，
则该勒洛三角形的面积为，
故选：B.
4．(2023·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．2B．4C．2或4D．1或4
答案：D
【解析】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长为6，面积为2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：D.
5．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：
第四象限的角可表示为
第二象限角大于第一象限角
将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为
若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：A
【解析】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错，
对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错，
对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错，
对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错，
所以真命题的个数为0，
故选：A.
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知函数的图象如图所示．则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由图可知，解得.
故选：B
7．(2023·上海市香山中学高一期末）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】依题意，对任意实数都有，
所以和的周期相同，
所以，解得或，
当时，观察与，
由于，所以，则.
当时，观察与，
由于，所以，则.
综上所述，满足条件的有序实数对的对数为.
故选：B
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
答案：C
【解析】，
易知当时，函数在区间上取得最小值，
所以，，所以，，
又，所以，所以．
故选：C．
二、多选题
9．(2023·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对于A，由题设，故A正确；
对于BC，因为，，
所以，化简得，
解得或，
当时，，则
当时，，则，
所以B，C错误；
对于D，由前面的解析可知，当时，，
当时，，
综上，所以D正确，
故选：AD.
10．(2023·山东·济南九中高一阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
答案：BD
【解析】对于A，，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；
对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.
故选：BD
11．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）设，则（ ）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．向左平移个单位后为偶函数
答案：ACD
【解析】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
，所以不是的一条对称轴，故B错误；
若，则，又在上单调递增，所以在上单调递增，故正确；
当向左平移个单位后得到为偶函数，故正确；
故选：ACD
12．(2023·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
答案：CD
【解析】对于A，由图像可知：的最小正周期，；
，，
解得：，又，，
，A错误；
对于B，图像上的所有点的横坐标变为原来的倍得：，
当时，，在上不单调，B错误；
对于C，的图像向左平移个单位长度得：，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，
由得：，
当时，，，
，，
即实数的取值范围为，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若是第三象限角且，则______．
答案：
【解析】因为，且，
所以，
又因为是第三象限角，
所以，
则是第二或第四象限，
又，
所以在第二象限，
所以，
故答案为：
14．(2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知，则___________.
答案：
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
15．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
答案：
【解析】由题图可知：，，又，所以．
又，，又，所以令，得.
所以，所以．
故答案为：.
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
答案：
【解析】函数的周期为，且对称轴为，对称中心，，
的图象大致如图所示；
区间正好是的个周期，根据的对称性可知：在半个周期内讨论就行，
设的中点为，
由图可知，
当点落在对称轴上，即时，,此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
当点落在对称中心上，即时，，此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
17．(2023·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）因为角的终边上有点，
所以，
，
所以.
（2）
.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
答案：(1)作图见解析
(2)
【解析】（1）
五个关键点列表如下：
作图：
（2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为．
19．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
【解析】（1）由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即，
函数的周期为.
（2）由函数图象的最低点为，得，
由得.
又点在图象上，得，即，
故，，所以，，
又，所以，所以.
又，所以，
所以.
所以的值域为.
20．(2023·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函数，，求：
(1)函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；
(2)函数的单调减区间．
【解析】（1）因为，
所以当，，即，时，取得最小值为，
此时自变量的集合为．
（2）由，，
得，，
所以函数的单调减区间为，．
21．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)若函数在区间上恰有2022个零点，求的取值范围.
【解析】（1）由图像得，，
，
解得，
．
（2）令，，
由图像易知
当时，递减，
∴ ，
解得，
∴ 函数在上的单调递减区间为．
（3）令，
则，
解得，，
∴在有两个零点，因为周期为2，
若函数在区间上恰有2022个零点，
则，
，
．
22．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【解析】(1)因为，
所以.
(2)因为，所以，即，则，
又因为，所以，
又，所以，
联立，解得，
所以.
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
0
0
高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝
0
1
1
3
1
1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
3、掌握三角函数的图像与性质
4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
【考点目录】
考点一：任意角和弧度制
考点二：三角函数的概念
考点三：诱导公式
考点四：三角函数的图像与性质
考点五：伸缩变换
考点六：三角函数的应用
【基础知识】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【考点剖析】
考点一：任意角和弧度制
例1．(2023·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点二：三角函数的概念
例4．(2023·上海市香山中学高一期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
例6．(2023·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若，，则的值为（ ）
A．B．－C．D．
考点三：诱导公式
例7．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
例8．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
例9．(2023·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
考点四：三角函数的图像与性质
例10．（多选题）(2023·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
例11．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
例12．(2023·江苏盐城·高一期末）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
考点五：伸缩变换
例13．(2023·上海市香山中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
例14．(2023·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
例15．(2023·上海市行知中学高一期末）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
考点六：三角函数的应用
例16．(2023·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例17．(2023·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
例18．(2023·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为40
B．
C．当时，水车P点离水面最高
D．当时，水车P点距水面2m
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
9．（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点，且，则x的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．2B．4C．2或4D．1或4
5．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：
第四象限的角可表示为
第二象限角大于第一象限角
将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为
若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知函数的图象如图所示．则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·上海市香山中学高一期末）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
二、多选题
9．(2023·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·山东·济南九中高一阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
11．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）设，则（ ）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．向左平移个单位后为偶函数
12．(2023·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若是第三象限角且，则______．
14．(2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知，则___________.
15．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
四、解答题
17．(2023·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
19．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
20．(2023·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函数，，求：
(1)函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；
(2)函数的单调减区间．
21．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)若函数在区间上恰有2022个零点，求的取值范围.
22．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
0
0
高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝
第05讲 三角函数
【学习目标】
1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
3、掌握三角函数的图像与性质
4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
【考点目录】
考点一：任意角和弧度制
考点二：三角函数的概念
考点三：诱导公式
考点四：三角函数的图像与性质
考点五：伸缩变换
考点六：三角函数的应用
【基础知识】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【考点剖析】
考点一：任意角和弧度制
例1．(2023·江西·丰城九中高一期末）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】由扇形面积与弧长公式可得，，，故，解得弧度数
故选：B.
例2．(2023·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，故与其终边相同的角的集合为或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
例3．(2023·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
考点二：三角函数的概念
例4．(2023·上海市香山中学高一期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
答案：C
【解析】由题意，解得．
故选：C．
例6．(2023·广东·韶关市田家炳中学高一期末）若，，则的值为（ ）
A．B．－C．D．
答案：D
【解析】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
考点三：诱导公式
例7．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【解析】（1）原式
；
（2）原式.
例8．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【解析】（1）
（2）∵，
∴
又为第三象限角，
∴
例9．(2023·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1），因为为第二象限角，
∴．
（2）∵，
∴
考点四：三角函数的图像与性质
例10．（多选题）(2023·贵州六盘水·高一期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
答案：BCD
【解析】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.
B选项，
，
所以为奇函数，B选项正确.
C选项，
，
所以的图象关于直线对称，C选项正确.
D选项，，所以在区间上递增，
令，，
令，，
其中，
所以，
所以在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.
故选：BCD
例11．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）根据五点法的表格，所以
所以的最小正周期
令，
解之得
又，所以或
即在上的单调递减区间为，
（2）由于
所以
所以
所以
当即时，函数的最小值为;
当即时，函数的最大值为.
例12．(2023·江苏盐城·高一期末）设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
【解析】(1)由题设，可得.
(2)令，则，
所以或且，
则或且，
由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，
所以、、，则，
所以.
考点五：伸缩变换
例13．(2023·上海市香山中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
答案：B
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得，
若，则，
所以在区间上单调递增.
若，则，
所以在区间上不单调.
所以B选项正确，其它选项错误.
故选：B
例14．(2023·上海·曹杨二中高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
答案：B
【解析】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
例15．(2023·上海市行知中学高一期末）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
答案：D
【解析】由图像可知，的最小值为，又，所以，
因为，所以，所以，从而，
将代入，得，故，得，
又，所以，所以，
对于A，将的图象向右平移个单位长度得到，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；
对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.
故选：D.
考点六：三角函数的应用
例16．(2023·河南驻马店·高一期末）如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
【解析】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，
故选：C
例17．(2023·北京·高一期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
答案：D
【解析】由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为.
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有，处于低潮期，反应迟钝；
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝.
故选：D
例18．(2023·广东肇庆·高一期末）水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为40
B．
C．当时，水车P点离水面最高
D．当时，水车P点距水面2m
答案：D
【解析】依题意可知，水车转动的角速度（rad/s），
由，，解得，，
由，得．又，则，
所以，．
对于选项A：函数的最小正周期为60．所以A错误；
对于选项B：，所以B错误；
对于选项C：，所以C错误；
对于选项D：，所以D正确．
故选：D．
【真题演练】
1．(2023·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．(2023·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：D
【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
4．(2023·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
5．(2023·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
7．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
8．(2023·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
答案：
【解析】 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
9．（2023·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
答案：
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·江苏连云港·高一期末）已知角的终边经过点，且，则x的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由三角函数定义可得，即，解得.
故选：B.
2．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由角的终边与单位圆的交点坐标是得，
故.
故选：A
3．(2023·北京市陈经纶中学高一阶段练习）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设等边三角形的边长为，
则由题意得：，解得：，
所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，
又等边三角形的面积为，
则该勒洛三角形的面积为，
故选：B.
4．(2023·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．2B．4C．2或4D．1或4
答案：D
【解析】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长为6，面积为2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：D.
5．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高一阶段练习）下列命题：
第四象限的角可表示为
第二象限角大于第一象限角
将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为
若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
答案：A
【解析】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错，
对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错，
对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错，
对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错，
所以真命题的个数为0，
故选：A.
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知函数的图象如图所示．则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由图可知，解得.
故选：B
7．(2023·上海市香山中学高一期末）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】依题意，对任意实数都有，
所以和的周期相同，
所以，解得或，
当时，观察与，
由于，所以，则.
当时，观察与，
由于，所以，则.
综上所述，满足条件的有序实数对的对数为.
故选：B
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
答案：C
【解析】，
易知当时，函数在区间上取得最小值，
所以，，所以，，
又，所以，所以．
故选：C．
二、多选题
9．(2023·江苏·南京师大附中高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对于A，由题设，故A正确；
对于BC，因为，，
所以，化简得，
解得或，
当时，，则
当时，，则，
所以B，C错误；
对于D，由前面的解析可知，当时，，
当时，，
综上，所以D正确，
故选：AD.
10．(2023·山东·济南九中高一阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为
答案：BD
【解析】对于A，，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；
对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.
故选：BD
11．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）设，则（ ）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．向左平移个单位后为偶函数
答案：ACD
【解析】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
，所以不是的一条对称轴，故B错误；
若，则，又在上单调递增，所以在上单调递增，故正确；
当向左平移个单位后得到为偶函数，故正确；
故选：ACD
12．(2023·全国·高一单元测试）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
答案：CD
【解析】对于A，由图像可知：的最小正周期，；
，，
解得：，又，，
，A错误；
对于B，图像上的所有点的横坐标变为原来的倍得：，
当时，，在上不单调，B错误；
对于C，的图像向左平移个单位长度得：，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，
由得：，
当时，，，
，，
即实数的取值范围为，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）若是第三象限角且，则______．
答案：
【解析】因为，且，
所以，
又因为是第三象限角，
所以，
则是第二或第四象限，
又，
所以在第二象限，
所以，
故答案为：
14．(2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知，则___________.
答案：
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
15．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．
答案：
【解析】由题图可知：，，又，所以．
又，，又，所以令，得.
所以，所以．
故答案为：.
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数 在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是_______.
答案：
【解析】函数的周期为，且对称轴为，对称中心，，
的图象大致如图所示；
区间正好是的个周期，根据的对称性可知：在半个周期内讨论就行，
设的中点为，
由图可知，
当点落在对称轴上，即时，,此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
当点落在对称中心上，即时，，此时,故当时，最大值，当时，最小值，此时的值为；
的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
17．(2023·陕西·永寿县中学高一阶段练习）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）因为角的终边上有点，
所以，
，
所以.
（2）
.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)用“五点法”作法函数在上的简图；
(2)根据图象求在上的解集．
答案：(1)作图见解析
(2)
【解析】（1）
五个关键点列表如下：
作图：
（2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为．
19．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
【解析】（1）由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即，
函数的周期为.
（2）由函数图象的最低点为，得，
由得.
又点在图象上，得，即，
故，，所以，，
又，所以，所以.
又，所以，
所以.
所以的值域为.
20．(2023·甘肃·庄浪县第二中学高一期末）已知函数，，求：
(1)函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；
(2)函数的单调减区间．
【解析】（1）因为，
所以当，，即，时，取得最小值为，
此时自变量的集合为．
（2）由，，
得，，
所以函数的单调减区间为，．
21．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求和的值；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)若函数在区间上恰有2022个零点，求的取值范围.
【解析】（1）由图像得，，
，
解得，
．
（2）令，，
由图像易知
当时，递减，
∴ ，
解得，
∴ 函数在上的单调递减区间为．
（3）令，
则，
解得，，
∴在有两个零点，因为周期为2，
若函数在区间上恰有2022个零点，
则，
，
．
22．(2023·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【解析】(1)因为，
所以.
(2)因为，所以，即，则，
又因为，所以，
又，所以，
联立，解得，
所以.
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
0
0
高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝
0
1
1
3
1
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