【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第11讲二倍角的三角函数(原卷版+解析)

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1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础， 推导二倍角正弦、余弦和正切公式， 理解推导过程， 掌握其应用．
2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导， 体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法．
【考点目录】
考点一：二倍角的正弦公式
考点二：二倍角的余弦公式
考点三：二倍角的正切公式
【基础知识】
知识点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；
2、和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
知识点二：二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
知识点三：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
知识点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
【考点剖析】
考点一：二倍角的正弦公式
例1．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，则（ ）
A．-1B．1C．2D．0或2
考点二：二倍角的余弦公式
例4．(2023·江西省丰城中学高一期中）若，则（ ）．
A．B．C．D．
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．
例6．(2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
考点三：二倍角的正切公式
例7．(2023·江苏苏州·高一期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例10．(2023·广东佛山·高一期末）若则（ ）
A．B．C．D．
【真题演练】
1．(2023·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
2．（2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
3．（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
8．(2023·湖北·高考真题（文））已知，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____．
10．(2023·天津·高考真题（理））已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
11．(2023·全国·高考真题（理））求的值．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·贵州六盘水·高一期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·湖北武汉·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
4．(2023·全国·高一课时练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·湖北武汉·高一期末）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·江苏南通·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·江苏常州·高一期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·甘肃兰州·高一期末）下列各式的值是的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·江西景德镇·高一期末）若函数，则该函数（ ）
A．最小值为B．最大值为C．在上是减函数D．奇函数
12．(2023·江苏宿迁·高一期末）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的最大值为___________．
14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．
15．(2023·全国·高一课时练习）若，则_______________．
16．(2023·全国·高一课时练习）求值：_______________．
四、解答题
17．(2023·上海·复旦附中高一期末）已知向量，其中，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求角的值．
18．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知是方程的两根，求下列各式的值：
（1）
（2）；
（3）．
19．(2023·全国·高一专题练习）设，若，求．
20．(2023·江苏苏州·高一期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：
（1）；
（2）．
21．(2023·江苏·南京市中华中学高一期末）由倍角公式cs2x＝2cs2x－1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式，对于cs3x，我们有cs3x＝cs（2x＋x）
＝cs2xcsx－sin2xsinx
＝（2cs2x－1）csx－2（sinxcsx）sinx
＝2cs3x－csx－2（1－cs2x）csx
＝4cs3x－3csx
可见cs3x可以表示为csx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得csnx＝Pn（csx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．
（1）求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
（2）请求出P4（t），即用一个csx的四次多项式来表示cs4x；
（3）利用结论cs3x＝4cs3x－3csx，求出sin18°的值．
第11讲 二倍角的三角函数
【学习目标】
1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础， 推导二倍角正弦、余弦和正切公式， 理解推导过程， 掌握其应用．
2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导， 体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法．
【考点目录】
考点一：二倍角的正弦公式
考点二：二倍角的余弦公式
考点三：二倍角的正切公式
【基础知识】
知识点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；
2、和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
知识点二：二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
知识点三：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
知识点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
【考点剖析】
考点一：二倍角的正弦公式
例1．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，故，所以，，且，即.
所以，所以.
故选：A.
例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为是第二象限角，且，则，
因此，.
故选：B.
例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，则（ ）
A．-1B．1C．2D．0或2
答案：D
【解析】因为，所以，即，故或，当时，；当时，显然，此时.所以或
故选：D
考点二：二倍角的余弦公式
例4．(2023·江西省丰城中学高一期中）若，则（ ）.
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由已知，
所以，
故选：C.
例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．
答案：A
【解析】由，得，
，
因为，
所以，
故选：A
例6．(2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由得，因此，
故选：A
考点三：二倍角的正切公式
例7．(2023·江苏苏州·高一期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，为第二象限角，则，
所以，，因此，.
故选：D.
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：C.
例10．(2023·广东佛山·高一期末）若则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】.
故选：D
【真题演练】
1．(2023·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
答案：C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
2．（2023·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
答案：D
【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意，
.
故选：D.
4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
5．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
6．（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
7．（2023·全国·高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】，．
，又，，又，，故选B．
8．(2023·湖北·高考真题（文））已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，又，
所以，所以，
又，所以或（舍去），
所以.
故选：A．
9．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
答案：
【解析】
故答案为：
10．(2023·天津·高考真题（理））已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）由题意得，
解得.
（2）由题意得，
分子分母同除得.
故原式.
11．(2023·全国·高考真题（理））求的值．
【解析】
.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·贵州六盘水·高一期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，
由于，所以，
所以.
故选：D
2．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，不成立；
B. ，不成立
C. ，不成立；
D. ，成立
故选：D.
3．(2023·湖北武汉·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
【解析】依题意，
，
，
，
，
，
.
故选：C
4．(2023·全国·高一课时练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】原式.
故选：B.
5．(2023·湖北武汉·高一期末）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，因为角，即和，.
因此可得，，，解得或2（舍去），因此．
故选：B
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：C.
7．(2023·江苏南通·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，得，即，
两边平方，得，即.
故选：A.
8．(2023·江苏常州·高一期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以，
整理得：，
，
，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：D.
二、多选题
9．(2023·甘肃兰州·高一期末）下列各式的值是的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC.
10．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．
故选：AD.
11．(2023·江西景德镇·高一期末）若函数，则该函数（ ）
A．最小值为B．最大值为C．在上是减函数D．奇函数
答案：AC
【解析】
选项A：当时，函数取得最小值.判断正确；
选项B：当时，函数取得最大值.判断错误；
选项C：在上单调递减，在上单调递减，
则函数在上是减函数.判断正确；
选项D：由
可得函数为偶函数.判断错误.
故选：AC
12．(2023·江苏宿迁·高一期末）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，整理得，，故选项D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的最大值为___________.
答案：
【解析】，
当时，.
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．
答案：
【解析】因为，
所以．
故答案为：.
15．(2023·全国·高一课时练习）若，则_______________．
答案：
【解析】

，
由于，所以，
当时，，
原式，
当时，，
原式，
综上，原式．
故答案为：.
16．(2023·全国·高一课时练习）求值：_______________.
答案：
【解析】
.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·上海·复旦附中高一期末）已知向量，其中，且．
(1)求和的值；
(2)若，且，求角的值．
【解析】（1）因为，所以，即；
；
（2）由（1）得，，
，
因为，，所以，
因为，所以，，
所以，
所以.
18．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知是方程的两根，求下列各式的值：
(1)
(2)；
(3).
【解析】（1）由题意可知：
（2）
（3）
19．(2023·全国·高一专题练习）设，若，求.
【解析】设，则
∵
∴
∴
∴
∴
∴

∴
∴
∴.
20．(2023·江苏苏州·高一期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：
(1)；
(2).
【解析】（1）由题意知，，又，则，
则；
（2）易得，又，则，
则.
21．(2023·江苏·南京市中华中学高一期末）由倍角公式cs2x＝2cs2x－1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式，对于cs3x，我们有cs3x＝cs(2x＋x)
＝cs2xcsx－sin2xsinx
＝(2cs2x－1)csx－2(sinxcsx)sinx
＝2cs3x－csx－2(1－cs2x)csx
＝4cs3x－3csx
可见cs3x可以表示为csx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得csnx＝Pn(csx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．
(1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(2)请求出P4(t)，即用一个csx的四次多项式来表示cs4x；
(3)利用结论cs3x＝4cs3x－3csx，求出sin18°的值．
【解析】(1)
(2)
(3)
（小于-1的值舍去）.