【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第12讲几个三角恒等式(原卷版+解析)

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例1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
例2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．
【考点目录】
考点一：降幂公式及其应用
考点二：辅助角公式
考点三：三角恒等变换的化简问题
考点四：给角求值问题
考点五：给值求值问题
考点六：给值求角问题
考点七：三角恒等式的证明
【基础知识】
知识点一：辅助角公式
1、形如的三角函数式的变形：
令，，则
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2、辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
知识点二：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆）
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
知识点三：积化和差公式
知识点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
知识点十一：和差化积公式
知识点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cs）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
【考点剖析】
考点一：降幂公式及其应用
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
例4．(2023·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
例5．(2023·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
考点二：辅助角公式
例6．(2023·江苏省如皋中学高一期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例7．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·四川成都·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
考点三：三角恒等变换的化简问题
例9．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
例10．(2023·上海市控江中学高一期末）.
(1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域.
例11．(2023·浙江·高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，，求.
考点四：给角求值问题
例12．(2023·全国·高一）化简：（ ）
A．B．C．D．
例13．(2023·江苏·吴县中学高一期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
例14．(2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
考点五：给值求值问题
例15．(2023·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例16．(2023·四川内江·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例17．(2023·北京·高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
考点六：给值求角问题
例18．(2023·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）设，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
例19．(2023·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知且则=（ ）
A．B．C．D．
考点七：三角恒等式的证明
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知，求证：．
例22．(2023·全国·高一）已知，求证：.
例23．(2023·宁夏·吴忠中学高一期中）某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.
①.
②.
③.
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
例24．(2023·全国·高一）求证：.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
2．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高考真题（理））函数在区间上的最小值为__________．
4．(2023·全国·高考真题（文））设当时，函数取得最大值，则______．
5．（2023·浙江·高考真题）设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
6．（2023·浙江·高考真题）设函数．
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域．
7．(2023·陕西·高考真题（文））已知函数．
（1）求函数的最小正周期及最值；
（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
8．(2023·山东·高考真题（理））已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标申长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．求的单调递减区间．
9．(2023·陕西·高考真题（文））设函数，其中向量，且．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的最小值．
10．(2023·浙江·高考真题（理））已知函数．
（1）求的值；（2） 设，，求的值．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高一单元测试）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高一课时练习）化简=（ ）
A．1B．C．D．2
4．(2023·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·四川成都·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·四川内江·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·福建省福州高级中学高一期末）在内，使成立的x取值范围不是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·江西宜春·高一期末）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( )
A．对任意的，都有
B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”
12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．图象的对称中心为
B．图象的对称轴方程为
C．的增区间为
D．的最大值是，最小值是
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）把化为的形式为______．
14．(2023·全国·高一课时练习）求值：____________．
15．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在上仅有个最值，且是最大值，则实数的取值范围为_____．
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
18．(2023·上海崇明·高一期末）已知函数．
(1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
19．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的值域．
20．(2023·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）已知向量，函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的解析式及其最小正周期..
21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．
22．(2023·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
(1)设，求函数的单调递增区间；
(2)已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值．
第12讲 几个三角恒等式
【学习目标】
例1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
例2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．
【考点目录】
考点一：降幂公式及其应用
考点二：辅助角公式
考点三：三角恒等变换的化简问题
考点四：给角求值问题
考点五：给值求值问题
考点六：给值求角问题
考点七：三角恒等式的证明
【基础知识】
知识点一：辅助角公式
1、形如的三角函数式的变形：
令，，则
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2、辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
知识点二：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆）
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
知识点三：积化和差公式
知识点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
知识点十一：和差化积公式
知识点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cs）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
【考点剖析】
考点一：降幂公式及其应用
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
答案：D
【解析】由，得，即，，所以，.
故选：D．
例4．(2023·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
例5．(2023·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知函数，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
答案：A
【解析】，
当时，，
故选：A.
考点二：辅助角公式
例6．(2023·江苏省如皋中学高一期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，则，
则，因为，所以，
所以，
所以
，
因为，所以.
故选：A.
例7．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题设，，
根据二倍角公式，得，又，
因为，所以，故
故选：A
例8．(2023·四川成都·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，即，
即，即，所以.
故选：D.
考点三：三角恒等变换的化简问题
例9．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
【解析】（1），
所以函数的最小正周期；
（2）当，即时，.
例10．(2023·上海市控江中学高一期末）.
(1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1）
.
所以的最小正周期.
（2）由于，
所以，
所以在区间上的值域为.
例11．(2023·浙江·高一期中）已知函数
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，，求.
【解析】（1）因为
，
所以的最小正周期为，
由，
得；
所以单调递增区间为.
（2）因为，
所以，即，
又，则，
又，则，
那么，
从而
.
考点四：给角求值问题
例12．(2023·全国·高一）化简：（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
故选：A
例13．(2023·江苏·吴县中学高一期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为
，所以原式
故选：C
例14．(2023·安徽·泾县中学高一阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】原式
.
故选：D.
考点五：给值求值问题
例15．(2023·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以.
故选：D.
例16．(2023·四川内江·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
即，
即
即，即，所以，
所以
.
故选：B
例17．(2023·北京·高一期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以.
故选：D.
考点六：给值求角问题
例18．(2023·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）设，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
答案：A
【解析】因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
例19．(2023·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，且，所以，则
故选：A．
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知且则=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，且，所以，因为，所以，所以，，
所以
因为，所以
故选：D
考点七：三角恒等式的证明
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知，求证：．
【解析】证明：因为，所以，
于是，
因为
，
所以，，
同理可得，
所以，从而，所以．
例22．(2023·全国·高一）已知，求证：.
【解析】左边，
右边，
因此，.
例23．(2023·宁夏·吴忠中学高一期中）某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.
①.
②.
③.
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
【解析】（1）
（2）一般规律：
证明：
例24．(2023·全国·高一）求证：.
【解析】由，知：
左式右式 ，故等式得证.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
答案：C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为．
故选：C．
2．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即．
故选：B．
3．(2023·全国·高考真题（理））函数在区间上的最小值为__________．
答案：1
【解析】，，
所以，所以，
的最小值为1．
故答案为：1．
4．(2023·全国·高考真题（文））设当时，函数取得最大值，则______．
答案：；
【解析】f（x）＝sin x－2cs x＝＝sin（x－φ），其中sin φ＝，cs φ＝，当x－φ＝2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f（x）取到最大值，所以cs θ＝－sin φ＝－．
5．（2023·浙江·高考真题）设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
【解析】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期；
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值．
6．（2023·浙江·高考真题）设函数．
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域．
【解析】（1）由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为．
（2）由函数的解析式可得：
．
据此可得函数的值域为：．
7．(2023·陕西·高考真题（文））已知函数．
（1）求函数的最小正周期及最值；
（2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
【解析】（1），
故，
当，即时，函数有最大值为；
当，即时，函数有最小值为．
（2），
，函数为偶函数．
8．(2023·山东·高考真题（理））已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标申长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．求的单调递减区间．
【解析】（1）
．
为偶函数，对，恒成立，
因此．
即，
整理得到．
，且，，又，故，．
，，故，．
故．
（2）根据题意：．
当，即时，函数单调递减．
即 的单调减区间为．
9．(2023·陕西·高考真题（文））设函数，其中向量，且．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的最小值．
【解析】（1）向量，，，
，
又，∴，解得．
（2）由（1）得，
当时，的最小值为．
10．(2023·浙江·高考真题（理））已知函数．
（1）求的值；（2） 设，，求的值．
答案：（1）0；（2）．
【解析】
分析：
试题分析：（1）这类问题一般先化简函数式，由二倍角公式及两角和的正弦公式可得，由此可计算出的值；
（2）由（1），代入条件，得，再由，结合两角差的正弦公式可求得．
试题解析：．
（1）==；
（2），．
由，易得，所以．．
考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由
，
所以，
因为，所以令，得，
故选：C
2．(2023·全国·高一单元测试）设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，
，
.
因为函数在上是增函数，所以.
故选：C.
3．(2023·全国·高一课时练习）化简=（ ）
A．1B．C．D．2
答案：C
【解析】
.
故选：C.
4．(2023·全国·高一单元测试）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令可得，故，则
故选：C
5．(2023·四川成都·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，即，
即，即，所以.
故选：D.
6．(2023·四川内江·高一期末（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，
即，
即
即，即，所以，
所以
.
故选：B
7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知得：，，
两式相加，整理得：，
所以.
因为，所以，
所以，即，
代入题设条件，可得，
即
整理得：，
所以.
故选：B.
8．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，，
，则，则，
且有，则，故.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·福建省福州高级中学高一期末）在内，使成立的x取值范围不是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】由，得，
所以，即，
所以，即
因为，所以，
所以在内，能使成立的x取值范围为，
故选：ABD
10．(2023·江西宜春·高一期末）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
11．(2023·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( )
A．对任意的，都有
B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”
答案：BCD
【解析】
，
当时，，所以不关于对称，故A错误；
函数图象向左平移个单位，得函数，是偶函数，故B正确；
当，则，函数单调递减，故C正确；
当时，，所以，函数取得最大值，故D正确.
故选：BCD
12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．图象的对称中心为
B．图象的对称轴方程为
C．的增区间为
D．的最大值是，最小值是
答案：ACD
【解析】；
对于A，令，解得：，
此时，的对称中心为，A正确；
对于B，令，解得：，
的对称轴为，B错误；
对于C，令，解得：，
的增区间为，C正确；
对于D，，，
最大值是，最小值是，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）把化为的形式为______．
答案：
【解析】因为
，
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）求值：____________．
答案：
【解析】．
故答案为：
15．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
答案：①③
【解析】；
对于①，的最小正周期，①正确；
对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；
对于③，当时，，此时单调递增，③正确；
对于④，令，解得：，此时，
的对称中心为，④错误.
故答案为：①③.
16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在上仅有个最值，且是最大值，则实数的取值范围为_____．
答案：
【解析】因为
又函数在上仅有个最值，且是最大值，
所以，
可得，有；时，.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·上海市陆行中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最小值及取到最小值时的值.
【解析】（1），
所以函数的最小正周期；
（2）当，即时，.
18．(2023·上海崇明·高一期末）已知函数．
(1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题知，
所以，
当时，，
列表
作图
（2）由（1）得，
因为，
所以，
又函数在区间上是严格增函数，
所以，
，
解得，，又
解得，所以的取值范围为.
19．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的值域．
【解析】（1），
∴的最小正周期 ；
令 ，解得： ，
∴的单调递增区间为；
（2）当 时， ，
∴， ∴ ，
即 在 上的值域为 .
20．(2023·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）已知向量，函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的解析式及其最小正周期..
【解析】（1），
令，解得：，
故的单调递减区间为；
（2）由（1）所得，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得，
再向左平移个单位长度，可得，
周期.
21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【解析】（1）因为
．
又函数的单调减区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
22．(2023·辽宁·沈阳市第一中学高一阶段练习）已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
(1)设，求函数的单调递增区间；
(2)已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值．
【解析】(1)，
因为直线是函数的图象的一条对称轴，
所以，则，
又，所以，
所以，
则，
令，则，
所以函数的单调递增区间为；
(2)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
得，
再向左平移个单位长度得，
即，
，即，
又，则，
所以，
所以.
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