人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题-试卷下载-教习网
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    2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)4.3.2对数的运算(分层作业)(原卷版+解析)

    2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)4.3.2对数的运算(分层作业)(原卷版+解析)第1页
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    人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题,共18页。
    【夯实基础】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高一单元测试)计算:( )
    A.10B.1C.2D.
    2.(2023·全国·高一课时练习)若,则实数的值为( )
    A.4B.6C.9D.12
    二、多选题
    3.(2023·全国·高一单元测试)若,,且,则( )
    A.B.
    C.D.
    三、填空题
    4.(2023·广西贺州·高一期末)___.
    5.(2023·云南红河·高一期末)方程的解是_________.
    6.(2023·湖南·高一课时练习)计算:________.
    7.(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习)计算:____________.
    8.(2023·全国·高一课时练习),则___________.
    四、解答题
    9.(2023·湖南·高一课时练习)利用换底公式求值:
    (1);
    (2).
    10.(2023·全国·高一课时练习)求证:.
    11.(2023·全国·高一课时练习)求证:.
    12.(2023·全国·高一单元测试)计算
    (1)
    (2).
    13.(2023·全国·高一课时练习)已知,(,且).
    (1)求的值;
    (2)若,,且,求的值.
    14.(2023·全国·高一课时练习)计算:
    (1);
    (2);
    (3).
    15.(2023·全国·高一课时练习)已知,,若,求的值.
    【能力提升】
    一、单选题
    1.(2023·江苏·宿迁中学高一期中)空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间,根据相关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而中国象棋空间复杂度的上限约为(参考数据:,则下列各数中与最接近的是( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    2.(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习)已知,,则的值不可能是( )
    A.B.C.D.
    三、填空题
    3.(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习)若,则的最小值为________.
    4.(2023·全国·高一单元测试)化简____________
    5.(2023·全国·高一课时练习)已知,,则的值为________.
    6.(2023·全国·高一单元测试)已知二次函数的最小值为,则实数______,的值为______.
    7.(2023·全国·高一课时练习)心理学家有时用函数测定在时间t(单位:min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词,此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词,则k的值约为(,)______.
    8.(2023·上海·高一单元测试)已知,若,则___________.
    9.(2023·全国·高一专题练习)设实数且,已知函数,则__________.
    四、解答题
    10.(2023·全国·高一专题练习)计算
    (1)
    (2)
    11.(2023·全国·高一专题练习)解下列不等式:
    (1);
    (2);
    12.(2023·全国·高一课时练习)数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
    (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么;
    (2)计算的值;
    (3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注:)
    4.3.2 对数的运算(分层作业)
    (夯实基础+能力提升)
    【夯实基础】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高一单元测试)计算:( )
    A.10B.1C.2D.
    答案:B
    分析:应用对数的运算性质求值即可.
    【详解】.
    故选:B
    2.(2023·全国·高一课时练习)若,则实数的值为( )
    A.4B.6C.9D.12
    答案:A
    分析:由换底公式对原式变型即可求解.
    【详解】∵
    ,
    ∴,∴.
    故选:A.
    二、多选题
    3.(2023·全国·高一单元测试)若,,且,则( )
    A.B.
    C.D.
    答案:AB
    分析:根据对数运算求得正确答案.
    【详解】依题意,
    由,得,
    所以,且,
    即,.
    故选:AB
    三、填空题
    4.(2023·广西贺州·高一期末)___.
    答案:
    分析:根据对数的运算法则计算可得;
    【详解】解:;
    故答案为:
    5.(2023·云南红河·高一期末)方程的解是_________.
    答案:
    分析:根据对数的运算法则和运算性质,即可求解.
    【详解】由对数的运算性质,可得,可得,解得.
    故答案为:.
    6.(2023·湖南·高一课时练习)计算:________.
    答案:
    分析:利用换底公式化简可得结果.
    【详解】原式.
    故答案为:.
    7.(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习)计算:____________.
    答案:1
    分析:利用对数运算法则及换底公式运算即可
    【详解】,
    故答案为:1
    8.(2023·全国·高一课时练习),则___________.
    答案:
    分析:利用对数的性质,及指数式与对数式的互化求出x即可计算作答.
    【详解】因,则,即,解得,
    所以.
    故答案为:
    四、解答题
    9.(2023·湖南·高一课时练习)利用换底公式求值:
    (1);
    (2).
    答案:(1);
    (2).
    分析:应用换底公式,将(1)换为,(2)换为的形式,即可求值.
    (1)
    由.
    (2)
    由.
    10.(2023·全国·高一课时练习)求证:.
    答案:见解析
    【解析】利用换底公式,证得等式成立.
    【详解】∵左边,右边,∴左边=右边,得证.
    【点睛】本小题主要考查对数运算,考查推理论证能力,属于基础题.
    11.(2023·全国·高一课时练习)求证:.
    答案:见解析
    【解析】利用换底公式,证得等式成立.
    【详解】左边右边,得证.
    【点睛】本小题主要考查对数运算,考查推理论证能力,属于基础题.
    12.(2023·全国·高一单元测试)计算
    (1)
    (2).
    答案:(1)
    (2)
    分析:(1)根据对数的运算性质求解,
    (2)根据对数的运算性质和换底公式求解.
    (1)

    (2)
    原式=.
    13.(2023·全国·高一课时练习)已知,(,且).
    (1)求的值;
    (2)若,,且,求的值.
    答案:(1)12
    (2)
    分析:(1)根据指数与对数的关系将对数式化为指数式,再根据指数的运算法则计算可得;
    (2)根据对数的运算求出,再根据乘法公式求出,即可得解.
    (1)
    解:由,得,,
    因此.
    (2)
    解:∵,∴,即,因此,
    于是,
    由知,从而,
    ∴.
    14.(2023·全国·高一课时练习)计算:
    (1);
    (2);
    (3).
    答案:(1)0
    (2)3
    (3)1
    分析:(1)利用对数相加相减的运算法则求解即可;
    (2)提公因式,逐步化简即可求解;
    (3)逐步将原式化成只含和形式.
    (1)
    方法一:(直接运算)原式.
    方法二:(拆项后运算)原式

    (2)
    原式

    (3)
    原式

    15.(2023·全国·高一课时练习)已知,,若,求的值.
    答案:
    分析:根据对数式与指数式互化公式得到,解方程求出答案.
    【详解】设,,,
    则,,,
    ∴,
    整理得,
    又,,∴.
    故答案为:
    【能力提升】
    一、单选题
    1.(2023·江苏·宿迁中学高一期中)空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间,根据相关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而中国象棋空间复杂度的上限约为(参考数据:,则下列各数中与最接近的是( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    分析:根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果.
    【详解】,,
    ,,


    故选:B
    二、多选题
    2.(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习)已知,,则的值不可能是( )
    A.B.C.D.
    答案:ABD
    分析:利用对数运算的公式计算即可.
    【详解】由换底公式得:,,,
    其中,,故
    故选:ABD.
    三、填空题
    3.(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习)若,则的最小值为________.
    答案:16
    分析:由题得,再利用基本不等式求解.
    【详解】因为,
    所以.
    所以
    所以.
    当且仅当时取等.
    故答案为:16
    4.(2023·全国·高一单元测试)化简____________
    答案:2
    分析:结合、换底公式化简计算即可
    【详解】原式
    .
    故答案为:2.
    5.(2023·全国·高一课时练习)已知,,则的值为________.
    答案:2022
    分析:化简计算得,即得解.
    【详解】解:.
    .
    所以
    故答案为:2022
    6.(2023·全国·高一单元测试)已知二次函数的最小值为,则实数______,的值为______.
    答案:
    分析:对于题空①,根据开口向上的二次函数,自变量取对称轴对应的值达到最小值,解得的值;
    对于题空②,把的值代入表达式,根据对数的运算,化简求值即可.
    【详解】因为的最小值为3,所以,

    即,
    所以,
    解得或(舍去),所以,
    故.
    故答案为:①;②.
    7.(2023·全国·高一课时练习)心理学家有时用函数测定在时间t(单位:min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词,此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词,则k的值约为(,)______.
    答案:0.021
    分析:该生在5min内能够记忆20个单词,将,带入即可得出结论.
    【详解】由题意可知,
    所以,,
    所以,
    解得.
    故答案为:0.021.
    8.(2023·上海·高一单元测试)已知,若,则___________.
    答案:8
    分析:利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解.
    【详解】解:由,且
    所以是方程的两根,
    解得或,
    又,所以,即,又
    从而,且,则,.
    所以.
    故答案为:8.
    9.(2023·全国·高一专题练习)设实数且,已知函数,则__________.
    答案:1
    分析:根据题意计算,进而根据求解即可
    【详解】,
    而,则;
    故答案为:1
    四、解答题
    10.(2023·全国·高一专题练习)计算
    (1)
    (2)
    答案:(1)
    (2)1
    分析:(1)根据对数的运算法则化简,即可求得答案;
    (2)根据对数的运算法则结合完全平方公式化简,即可求得答案;
    (1)
    ;
    (2)
    .
    11.(2023·全国·高一专题练习)解下列不等式:
    (1);
    (2);
    答案:(1)
    (2)
    分析:(1)、(2)结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
    (1)
    由题且,且,得且,
    ,则,由,

    化简得,
    则或,解得或,
    故不等式解集为.
    (2)
    由题,
    则或,解得.
    故不等式解集为.
    12.(2023·全国·高一课时练习)数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
    (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么;
    (2)计算的值;
    (3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注:)
    答案:(1)答案见解析
    (2)
    (3)位数为6689.
    分析:(1)根据指数与对数之间的转换证明即可;
    (2)根据对数的运算性质将真数转化为指数幂的形式再化简求值,亦可通过换底公式化简求值;
    (3)通过对数的运算公式分析的值的范围进而确定其位数.
    (1)
    方法一:设,所以,
    所以,
    所以.
    方法二:设,所以,所以,
    所以,所以,
    所以.
    方法三:因为,,
    所以,所以.
    (2)
    方法一:.
    方法二:根据换底公式可得

    (3)
    方法一:设,,
    所以,
    所以,
    所以,
    所以,
    因为,所以,
    所以的位数为6689.
    方法二:设,所以,
    所以,所以,
    所以,
    因为,所以N的位数为6689,即的位数为6689.

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