高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第一章空间向量与立体几何章末检测卷(一)(原卷版+解析)

这是一份高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第一章空间向量与立体几何章末检测卷(一)(原卷版+解析)，共21页。
空间向量与立体几何章末检测卷（一）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知空间向量，，若，则（       ）A． B． C．1 D．22．如图，设，，，若，，则（       ）A． B． C． D．3．已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ）A．1 B． C． D．04．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）A． B． C． D．5．四面体中，，则（       ）A． B． C． D．6．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（       ）A．与 B．与 C．与 D．与7．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．8．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为10．关于空间向量，以下说法正确的是（       ）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角11．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（       ）A． B． C． D．异面直线与所成角的余弦值为12．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ）A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面C．的最小值 D．当为中点时，为钝角第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.14．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．16．已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知､､是不共面的向量，且，，，.(1)判断P､A､B､C四点是否共面；(2)能否用､､表示？并说明理由.18．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)若，证明：直线平面PAB：(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由20．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.21．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．22．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．(1)证明：BE⊥平面PCD；(2)求二面角P−BD−E的余弦值．空间向量与立体几何章末检测卷（一）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知空间向量，，若，则（       ）A． B． C．1 D．2【解析】由，解得，则.故选：A.2．如图，设，，，若，，则（       ）A． B．C． D．【解析】由题意得=.故选：A3．已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ）A．1 B． C． D．0【解析】，因为向量与互相垂直，故，故，故选：B4．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）A． B． C． D．【解析】，，，，所以，故选：B5．四面体中，，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C6．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（       ）A．与 B．与C．与 D．与【解析】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正确；对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正确.故选：C.7．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【解析】由，解得，所以，，所以，因为，所以.故选：C8．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【解析】，则，，，，，，所以，故选：D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为【解析】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.10．关于空间向量，以下说法正确的是（       ）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角【解析】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确；对于B，若对空间中任意一点O，有因为，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面∵，则共面∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．故选：ABC．11．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（       ）A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为【解析】设，，，则，，，，，，，，所以．故选：BD.12．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ）A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面C．的最小值 D．当为中点时，为钝角【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，对于A，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A正确.当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确；对于D，当为中点时，则，，则，，所以，所以为锐角，故D错误；故选：ABC.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.【解析】根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.故答案为：14．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.【解析】两边平方化简得：，①因为，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐标为.故答案为：15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则是靠近的线段的三等分点，，，，在平面上，设，则，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案为：．16．已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.【解析】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知､､是不共面的向量，且，，，.(1)判断P､A､B､C四点是否共面；(2)能否用､､表示？并说明理由.【解析】(1)假设P､A､B､C四点共面，则存在实数x､y､z，使，且，即.比较对应的系数，得到关于x､y､z的方程组，解得，这与矛盾，故P､A､B､C四点不共面；(2)能用､､表示，理由如下：若､､共面，则存在实数m､n，使，同（1）可证，､､不共面，即是向量､与的线性组合，令，，，由，得，所以.18．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．【解析】(1)因为，，故，，故(2)，，，因为，故，即，故，即，故或19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)若，证明：直线平面PAB：(2)线段PD上是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由【解析】(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则若，则，因为平面ABCD，所以又因为所以平面PAB平面PAB的其中一个法向量为所以，即又因为平面所以平面(2)不存在符合题意的点M，理由如下：设平面PCD的法向量则不妨令，则设，即则解得或，不满足，故不存在符合题意的点M.20．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.【解析】(1)∵三棱柱的侧棱垂直于底面，，∴以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，∵，分别是棱的中点，∴，,∵，，∴，，∵,平面,平面，∴平面.(2)∵，∴，,∴，∴，故点到直线的距离为.21．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴， ， ，.∴,　取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.22．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．(1)证明：BE⊥平面PCD；(2)求二面角P−BD−E的余弦值．【解析】(1)证明：取PD的中点F，连接AF，EF，则，．又，，所以，，所以四边形ABEF为平行四边形，所以．因为，，所以．所以因为平面PAD⊥平面ABCD，，所以PA⊥平面ABCD，所以，所以．又点E为PC的中点，所以又，所以BE⊥平面PCD．(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）． ．．．．．于是设平面PBD的法向量为，则得．取．得设平面EBD的法向量为，则， 得取．得．所以，所以二面角P−BD−E的余弦值为.