高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第一章空间向量与立体几何章末检测卷(二)(原卷版+解析)

这是一份高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第一章空间向量与立体几何章末检测卷(二)(原卷版+解析)，共22页。
空间向量与立体几何章末检测卷（二）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知向量与共线，则实数（       ）A．0 B．1 C．或2 D．或12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（       ）A． B． C． D．3．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ）A． B． C． D．4．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．5．设、，向量，，且，，则（          ）A． B． C． D．6．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（       ）A．[6，12] B．[0，6] C．[-1，5] D．[0，12]7．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ）A． B． C． D．8．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）A．8 B．4 C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）A．B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为D．向量关于平面对称的向量为11．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．12．若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（       ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．若，点P的轨迹为一段圆弧第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，，则的坐标为______．14．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.15．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．16．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．18．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．19．如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．求证：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．20．如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；(3)求点D到直线BF的距离．21．如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.22．在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．(1)求证：平面；(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．空间向量与立体几何章末检测卷（二）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知向量与共线，则实数（       ）A．0 B．1 C．或2 D．或1【解析】因为共线，所以，解得或1.故选：D2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，所以，解得，.故选：B.3．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ）A． B． C． D．【解析】在三棱锥中，E为OA的中点，，所以故选：A4．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【解析】如图所示，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，所以，则，当时，的最小值为.故选：D.5．设、，向量，，且，，则（          ）A． B． C． D．【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.6．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（       ）A．[6，12] B．[0，6] C．[-1，5] D．[0，12]【解析】由题意知，．设，则．又，∴，∴．故选：A7．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ）A． B． C． D．【解析】 ， 其中 为中点，有 ，故可知 ， 则知 为 的中点，故点 满足 ， ． 故选：A8．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）A．8 B．4 C． D．【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，，，，设 ，则 ，，因为 ，所以 ，得 ，所以 ，所以 ，当 时， 取最小值 ，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为．故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【解析】对于A选项，若，则，解得，故共面；对于B选项，若，则，解得，故共面；对于C选项，若，则，无解，故不共面；对于D选项，若，则，解得，故共面；故选：ABD10．已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）A．B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为D．向量关于平面对称的向量为【解析】A：因为，所以本选项说法正确；B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于轴对称的点的坐标为，所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于平面对称点的坐标为，所以向量关于平面对称的向量为，故选：ABC11．在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．【解析】如图建立空间直角坐标系，则、、、、、、、、，所以、、、，所以，故A正确；，故B正确；，，，，所以，，故，即C正确；因为，所以与不垂直，故D错误；故选：ABC12．若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（       ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．若，点P的轨迹为一段圆弧【解析】因为，其中，所以点P在平面内运动，对于A：取AD中点E、中点F，连接EF，所以，因为平面，平面，所以平面，当时，则，所以点P在线段EF上运动，因为平面，所以无论点P在EF任何位置，P到平面的距离不变，即高不变，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B：取中点G，中点H，连接GH，当时，，所以点P在GH上运动，假设平面，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上运动时，P到平面的距离在变化，所以三棱锥的体积不是定值，故B错误；对于C：连接，，，当时，可得三点共线，将沿翻折至与平面共面，如下图所示连接AB，当P为AB与交点时，最小，即为AB，因为均为面对角线，所以，即为等边三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正确；对于D：分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，设，所以，所以因为平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P点轨迹为线段，故D错误故选：AC第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，，则的坐标为______．【解析】由题设，，所以.故答案为：14．已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.【解析】由题，，故在上的投影向量的模 故答案为：15．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．【解析】如图，以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴知，当时，点与距离的最小，其最小值为．故答案为：．16．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.【解析】因为，所以.因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．【解析】(1)，，故.(2)由（1）可得，，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或.(3)由（1）可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.18．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【解析】(1)，，又(2)由（1）可得知19．如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．求证：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴建系如图．易得，，∴，，，，，，，，，∵，∴，即PA⊥EF；(2)设平面PAB，平面PCD法向量分别为，，，取，则，，，取，则，，，∴，∴平面PAB⊥平面PCD.20．如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；(3)求点D到直线BF的距离．【解析】(1)证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC，∴AE∥平面BCF，∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE；(2)以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），则=（-2，0，2），=（2，-1，1）， ∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为(3)根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1）， 21．如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)连接交于点，连接，因为，延长交于，由，则，可得，四边形为正方形，则，且为中点，由，则，且，面，所以面，平面，则；(2)以为原点，为轴，为轴建立如下图示的空间直角坐标系，则，，，，设，由面，面，所以面面，由，则，由且BC⊥CD，则，又，故△为等边三角形，且面面，所以，则，综上，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以.22．在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．(1)求证：平面；(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．【解析】(1)连接，交于点，连接；，，，，又，，，又平面，平面，平面.(2)取中点，连接；作，垂足为；为正三角形，；，，四边形为平行四边形，，又，，又，平面，平面；平面，，又，，平面，平面；作，交于点，则，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，，，即为二面角的平面角，又，，，；则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设直线和平面所成角为，，故直线和平面所成角的正弦值为