数学选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂达标检测题，共31页。

知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
【即学即练1】设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8D．12
【即学即练2】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
知识点2 抛物线标准方程的几种形式
注：1、抛物线方程的推导：
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3、四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【即学即练3】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【即学即练4】抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
【即学即练5】如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
【即学即练6】经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝yD．无法确定
【即学即练7】焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
考点一 抛物线的标准方程
解题方略：
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
【例1-1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
变式1：抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
变式2：若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．y＝－1B．y＝1
C．y＝－2D．y＝2
考点二 抛物线定义的应用
解题方略：
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
（一）利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例2-1】若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0B．x－4＝0
C．y2＝8xD．y2＝16x
变式1：若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．
变式2：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
变式3：已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
（二）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
【例2-2】设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是( )
A．4 B．5
C．6D．7
变式1：若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
（三）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
【例2-3】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
变式1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到A(3,2)的距离与P到焦点的距离之和的最小值．
变式2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
变式3：已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
变式4：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一交点为，关于点的对称点为，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．6D．10
考点三 抛物线的实际应用
解题方略：
1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
2、求抛物线实际应用的五个步骤
【例3-1】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
变式1：某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
变式2：如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
题组A 基础过关练
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
2、已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2axB．y2＝4ax
C．y2＝－2axD．y2＝－4ax
3、若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
4、抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．
5、过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
6、已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
7、设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题组B 能力提升练
8、对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
9、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝________.
10、已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为( )
A．5B．4
C．3D.eq \f(5,2)
11、已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
12、已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
13、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
14、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
15、如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽7m，高0.7m，求这条抛物线的方程．
题组C 培优拔尖练
16、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________.
17、已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．
18、(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则( )
A．△PQF为等边三角形B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4eq \r(3)D．xP＝4
19、为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
20、如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
21、如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
数学抽象
直观想象
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
【即学即练1】设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8D．12
【解析】由抛物线的方程得eq \f(p,2)＝eq \f(4,2)＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.故选B
【即学即练2】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】∵eq \f(1,4)＋x0＝eq \f(5,4)x0，∴x0＝1.
知识点2 抛物线标准方程的几种形式
注：1、抛物线方程的推导：
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3、四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【即学即练3】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
答案：(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为；
(3)焦点为，准线方程为；
(4)焦点为，准线方程为.
(1)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(2)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(3)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(4)由题设，，故，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
【即学即练4】抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
【解析】将2y2－5x＝0变形为y2＝eq \f(5,2)x，
∴2p＝eq \f(5,2)，p＝eq \f(5,4)，
∴焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，0))，
准线方程为x＝－eq \f(5,8).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，0)) x＝－eq \f(5,8)
【即学即练5】如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
【解析】因为准线方程为x＝－2＝－eq \f(p,2)，即p＝4，所以焦点为(2,0)．
【即学即练6】经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝yD．无法确定
【解析】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将(2,4)代入可得p＝4或p＝eq \f(1,2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
【即学即练7】焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
【解析】设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
考点一 抛物线的标准方程
解题方略：
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
【例1-1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
【解析】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
变式1：抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
【解析】设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3)．
由抛物线的定义得|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(a,2)))＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
变式2：若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．y＝－1B．y＝1
C．y＝－2D．y＝2
【解析】∵椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1的上焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的焦点坐标为(0,2)，∴抛物线的准线方程为y＝－2，故选C.
考点二 抛物线定义的应用
解题方略：
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
（一）利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例2-1】若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0B．x－4＝0
C．y2＝8xD．y2＝16x
【解析】依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x，故选D.
变式1：若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，
所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
变式2：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
【解析】如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，
作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′的距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2＝－8x.
变式3：已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
（二）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
【例2-2】设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是( )
A．4 B．5
C．6D．7
【解析】抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.故选B
变式1：若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
【解析】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
（三）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
【例2-3】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2).
变式1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到A(3,2)的距离与P到焦点的距离之和的最小值．
【解析】将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±eq \r(6).
所以点A在抛物线内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－eq \f(1,2)的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是eq \f(7,2).
即|PA|＋|PF|的最小值是eq \f(7,2).
变式2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
【解析】如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋－42))＝1.
即所求最小值为1.
变式3：已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】由抛物线的方程可知焦点F(0,3)，则准线方程为y＝－3，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点A，延长PA交准线于点B，设圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为点C.
根据抛物线的定义可得|PA|＝|PB|－|AB|＝|PF|－|AB|，
∴|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，
∴当|PA|＋|PQ|最小时，则|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之间)三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，
∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝eq \r(32＋42)－1＝4，
∴(|PA|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.故选D
变式4：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一交点为，关于点的对称点为，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．6D．10
【解析】取的中点为，过分别作准线的垂线交准线于，连接.点到准线的距离为，由定义可知，，，所以（当三点共线时取等号），即的最小值为.
故选：D
考点三 抛物线的实际应用
解题方略：
1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
2、求抛物线实际应用的五个步骤
【例3-1】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【解析】如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
变式1：某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq \f(1,50)x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－eq \f(1,50)×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
变式2：如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2eq \r(6) m.
答案：2eq \r(6)
题组A 基础过关练
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
【解析】(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.
(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)．由|AF|＝3，得eq \f(p,2)＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.
2、已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2axB．y2＝4ax
C．y2＝－2axD．y2＝－4ax
【解析】因为抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B.
3、若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
【解析】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
得其焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，
准线方程为x＝eq \f(p,2).
设点M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，
得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
4、抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．
【解析】将方程化为标准形式是x2＝eq \f(1,12)y，因为2p＝eq \f(1,12)，所以p＝eq \f(1,24).故到焦点的距离最小值为eq \f(1,48).
5、过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
【解析】由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.
6、已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
【解析】圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
答案：(1,0) x＝－1
7、设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
题组B 能力提升练
8、对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(5,2)＝eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝________.
【解析】如图，∠AFE＝60°，
因为F(2,0)，
所以E(－2,0)，
则eq \f(|AE|,|EF|)＝tan 60°，
即|AE|＝4eq \r(3)，
所以点P的坐标为(6,4eq \r(3))，
故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
10、已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为( )
A．5B．4
C．3D.eq \f(5,2)
【解析】∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1,0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，
∴线段MN中点的横坐标为3，
∴线段MN的中点到准线的距离为3＋1＝4.故选B
11、已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
【解析】根据抛物线的定义得1＋eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－eq \r(a)×2＝－1，故a＝eq \f(1,4).
12、已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
【解析】易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(42＋－32))＝2.
13、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
【解析】法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋eq \f(p,2)，所以3＋eq \f(p,2)＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq \r(6).
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝±2\r(6).))
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2eq \r(6)，准线方程为y＝2.
14、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【解析】(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|PA|＋d最小，最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2eq \r(3)，
因为2eq \r(3)>2，所以点B在抛物线内部．
过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
15、如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽7m，高0.7m，求这条抛物线的方程．
【解析】根据题意，设该抛物线的方程为，将点代入可得，于是该抛物线的方程为.
题组C 培优拔尖练
16、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq \f(3,2)p＝6.
17、已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．
【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，
由点到直线的距离公式可得，
即的最小值为3.
18、(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则( )
A．△PQF为等边三角形B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4eq \r(3)D．xP＝4
【解析】如图，因PQ∥x轴，
∴∠QPF＝∠PFx＝60°，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，
∴△PQF为等边三角形．
因F(1,0)，过F作FM⊥PQ，垂足为M.∴xM＝1，∴|MQ|＝2.
∴|PQ|＝4，∴S△PQF＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×4＝4eq \r(3)，xP＝3.
故选A、B、C.
19、为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25) ，
代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.故选B
20、如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
【解析】以轴为x轴，反射镜的顶点为原点建立平面直角坐标系，
如图，由题可知，设抛物线方程为
则有，得，
所以灯泡与反射镜的顶点O的距离为.
21、如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
【解析】(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2))).
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距eq \f(7,2) km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.课程标准
核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
数学抽象
直观想象
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程