高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第三章圆锥曲线的方程章末重点题型归纳(原卷版+解析)

这是一份高二数学同步精品讲义(人教A版2019选修第一册)第三章圆锥曲线的方程章末重点题型归纳(原卷版+解析)，共66页。
第三章 圆锥曲线的方程章末重点题型归纳知识点1 椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若，M的轨迹为线段；②若，M的轨迹无图形知识点2 椭圆的方程及简单几何性质知识点3 椭圆的焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.知识点4　点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)1.知识点5　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.题型一 圆锥曲线的定义1．(2023·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（    ）A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．3．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆题型二 圆锥曲线的标准方程4．(2023·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．5．(2023·黑龙江·哈九中高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（   ）A． B． C． D．6．(2023·云南丽江·高二期末（理））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．7．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．8．(2023·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（    ）A．1 B．2 C． D．4题型三 圆锥曲线的几何性质9．(2023·上海市控江中学高二期末）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．10．(2023·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.11．(2023·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．12．(2023·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ）A．0 B． C．1 D．213．(2023·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ）A．1 B． C． D．3题型四 圆锥曲线的离心率问题14．(2023·福建省福州华侨中学高二期末）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是__________．15．(2023·云南·罗平县第一中学高二期末）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直， 则 的离心率为____________．16．(2023·四川泸州·高二期末（理））双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．317．(2023·福建师大附中高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．18．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ）A． B． C． D．19．(2023·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．.题型五 直线与圆锥曲线的位置关系20．(2023·河南洛阳·高二期末（文））已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ）A．1 B．2 C．3 D．421．(2023·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（    ）A．4 B．12 C．4或16 D．4或1222．(2023·湖北黄冈·高二期末）已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．23．(2023·四川雅安·高二期末（理））已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．24．(2023·福建宁德·高二期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（    ）A． B．C． D．题型六 圆锥曲线中的弦长问题25．(2023·新疆·乌市八中高二期末（理））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（    ）A． B．2 C． D．26．(2023·广西钦州·高二期末（文））已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ）A． B． C． D．27．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．题型七 圆锥曲线中的中点弦问题28．(2023·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ）A．4 B．2 C．1 D．29．(2023·广西·宾阳中学高二期末（文））若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ）A． B．C． D．30．(2023·内蒙古包头·高二期末（文））已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ）A． B． C． D．31．(2023·浙江宁波·高二期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ）A． B．C． D．题型八 圆锥曲线中的面积问题32．(2023·山东泰安·高二期末）已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（    ）A．24 B．36 C．48 D．6033．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（    ）A． B． C．2 D．434．(2023·宁夏·平罗中学高二期末（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ）A． B．C． D．35．(2023·吉林·长春外国语学校高二期末）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．36．(2023·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．题型九 圆锥曲线中的最值问题37．(2023·江苏苏州·高二期末）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）A． B． C． D．38．(2023·陕西安康·高二期末（理））已知椭圆C：过点，且离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．39．(2023·河南南阳·高二期末（理））已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.(1)求抛物线的方程；(2)求点的纵坐标的最小值.40．(2023·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求的方程；(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．41．(2023·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.(1)求C的方程；(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.题型十 圆锥曲线中的向量问题42．(2023·广西贵港·高二期末（文））已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.43．(2023·重庆九龙坡·高二期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.44．(2023·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．题型十一 圆锥曲线中的定点问题45．(2023·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．46．(2023·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.47．(2023·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．题型十二 圆锥曲线中的定值问题48．(2023·福建·莆田第二十五中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.49．(2023·广东湛江·高二期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程；(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.50．(2023·江苏省镇江第一中学高二期末）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．题型十三 圆锥曲线中的定直线问题51．(2023·北京八中高二期末）如图，已知椭圆的短轴端点为、，且，椭圆C的离心率，点，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与，均不重合），连接，，交于点T．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．52．(2023·安徽蚌埠·高二期末）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.53．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知椭圆C：的长轴长为，，是C的左､右焦点，R为直线l：上一点，是底角为30°的等腰三角形，直线l与x轴交于点T，过点T作直线交C于点A，B.(1)求C的方程；(2)设D，E是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线AD与BE的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由.题型十四 圆锥曲线中的探索性问题54．(2023·四川达州·高二期末（理））已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.55．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．求椭圆C的方程；若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．56．(2023·河南郑州·高二期末（理））已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq \f(c,a)(00)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)离心率e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)x类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下第三章 圆锥曲线的方程章末重点题型归纳知识点1 椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若，M的轨迹为线段；②若，M的轨迹无图形知识点2 椭圆的方程及简单几何性质知识点3 椭圆的焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.知识点4　点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)1.知识点5　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.题型一 圆锥曲线的定义1．(2023·江苏镇江·高二期末）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（    ）A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆【解析】由题意知，关于CD对称，所以，故，可知点P的轨迹是椭圆.2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【解析】设动圆的圆心，半径为圆与圆:内切，与C2：外切.所以.由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.则，所以 动圆的圆心的轨迹方程为：故选：D3．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆【解析】设点，由题意可得，化简可得，即，曲线为反比例函数图象，故动点的轨迹是双曲线.故选：A.题型二 圆锥曲线的标准方程4．(2023·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【解析】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A5．(2023·黑龙江·哈九中高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（   ）A． B． C． D．【解析】设椭圆方程为，由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得， 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：A.6．(2023·云南丽江·高二期末（理））已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）A． B．C． D．【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.故选：A．7．(2023·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【解析】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故选：D．8．(2023·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（    ）A．1 B．2 C． D．4【解析】根据题意，，可得，所以双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，同理，所以，解得.故选：D．题型三 圆锥曲线的几何性质9．(2023·上海市控江中学高二期末）椭圆的一个短轴端点到一个焦点的距离为______．【解析】由题意，即为一个短轴端点到一个焦点的距离，故答案为：．10．(2023·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴，即，∴，，∴的焦距等于.故答案为：.11．(2023·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．【解析】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，所以，所以，进而有或（舍去）所以点M的坐标为，所以直线MF的斜率为.故答案为：.12．(2023·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ）A．0 B． C．1 D．2【解析】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C13．(2023·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（    ）A．1 B． C． D．3【解析】设.过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.由双曲线可得渐近线为.由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以.因为，所以，解得：.故选：B题型四 圆锥曲线的离心率问题14．(2023·福建省福州华侨中学高二期末）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且，则该椭圆的离心率是__________．【解析】设M的坐标为，由题知，，即，把点M的坐标代入椭圆的方程得，，．故答案为：．15．(2023·云南·罗平县第一中学高二期末）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直， 则 的离心率为____________．【解析】由题意得的斜率为 ，的渐近线方程为 ，由于双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，可知 ，即，故 ，故答案为：16．(2023·四川泸州·高二期末（理））双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．3【解析】解：设双曲线的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，由双曲线的定义可得所以在中，，结合，可得，所以即，在中， 即，所以，则，故选：C17．(2023·福建师大附中高二期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．【解析】，点A是线段的中点，为直径所对的圆周角，，为线段的垂直平分线，，，过的直线的倾斜角为，，，，为椭圆C的焦点，，且，，，点B在椭圆C上，，，，即，故答案为：.18．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：……①在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③由②③两式消去得：，等式两边同除得，即，由柯西不等式得，.故选：B19．(2023·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．.【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B题型五 直线与圆锥曲线的位置关系20．(2023·河南洛阳·高二期末（文））已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据双曲线方程可知右顶点为，使与有且只有一个公共点的情况为：①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，②当与轴不垂直时，可设直线方程为联立方程可得当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，当时，，整理可得即故选：D21．(2023·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（    ）A．4 B．12 C．4或16 D．4或12【解析】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.设，，因为，，所以.因为，所以，.设直线的方程为，联立方程组得，则.因为，所以或.因为，所以，故.故选：A22．(2023·湖北黄冈·高二期末）已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【解析】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点，右焦点，由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点，于是得直线AD的方程为：，由得点，则有，所以直线的斜率为.故选：B23．(2023·四川雅安·高二期末（理））已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【解析】由椭圆方程 ,则 ，过点斜率为的直线方程为由 ， ，即得 ，过作 轴垂线与椭圆交于 ，如图，当点在弧上时，符合题意，又 ，所以斜率的取值范围是 .故选:B.24．(2023·福建宁德·高二期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（    ）A． B．C． D．【解析】 焦点在x上 焦点坐标为 由双曲线的对称性可得 又 又 又而当时，整理得 又 又的渐近线方程为 又 k的取值范围为 故选：C题型六 圆锥曲线中的弦长问题25．(2023·新疆·乌市八中高二期末（理））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（    ）A． B．2 C． D．【解析】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3，所以，得，因为，所以，所以，得，所以的值为，故选：C26．(2023·广西钦州·高二期末（文））已知点，在双曲线上，线段的中点，则（    ）A． B． C． D．【解析】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则故选：D27．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【解析】（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，圆的方程为，设，当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，由直线与曲线相切可得，所以，联立方程组，可得，所以，，所以， 解得或，所以直线或.题型七 圆锥曲线中的中点弦问题28．(2023·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ）A．4 B．2 C．1 D．【解析】设，，∵是AB的中点，∴，由，相减得，所以直线的斜率，故选：B．29．(2023·广西·宾阳中学高二期末（文））若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（    ）A． B．C． D．【解析】显然点在椭圆内，设点，依题意，，两式相减得：，而弦恰好被点平分，即，则直线AB的斜率，直线AB：，即，所以所在的直线方程为.故选：D30．(2023·内蒙古包头·高二期末（文））已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（    ）A． B． C． D．【解析】不妨设，，从而，，由两式相减可得，，又因为线段AB的中点为，从而，，故，即直线AB的斜率为，直线AB的方程为：，即，将代入可得，，从而，，故.故选：C.31．(2023·浙江宁波·高二期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ）A． B．C． D．【解析】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B题型八 圆锥曲线中的面积问题32．(2023·山东泰安·高二期末）已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（    ）A．24 B．36 C．48 D．60【解析】由题意知，.根据椭圆定义可知，是直角三角形，.故选：A.33．(2023·四川凉山·高二期末（理））已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（    ）A． B． C．2 D．4【解析】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：则有：根据椭圆的特点，可知：可得：当时，取最大值此时，点在椭圆的短轴上，则有：故选：B34．(2023·宁夏·平罗中学高二期末（文））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ）A． B．C． D．【解析】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由椭圆的定义可得，所以，因为，即，所以，所以四边形的面积为．故选：B35．(2023·吉林·长春外国语学校高二期末）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，双曲线方程为，即．（2）由（1）知：，，即直线的方程为．设，，联立，得，满足且，，由弦长公式得，点到直线的距离．所以．36．(2023·贵州铜仁·高二期末（文））已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．【解析】（1）由题意抛物线过点，所以设抛物线方程为：或，带入点M得，或，抛物线方程为：或．（2）由抛物线焦点在x轴上，抛物线方程为，设，因为直线与的倾斜角互补，所以，得，即，整理得，所以则设直线，即，点M到直线的距离为：，，所以，令，由，得，所以．因为是偶函数，所以只需讨论的情况．当时，令，则，所以在上单调递增，所以的最大值为，即的最大值为．综上可知，的面积的最大值为6．题型九 圆锥曲线中的最值问题37．(2023·江苏苏州·高二期末）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）A． B． C． D．【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则所以 所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A38．(2023·陕西安康·高二期末（理））已知椭圆C：过点，且离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求面积的最大值．【解析】（1）∵，∴,又椭圆C：过点，∴，∴，,故所求椭圆方程为;（2）设l的方程为，，,联立得,由，解得,由韦达定理，得，,则．点P到直线l的距离,∴,当且仅当，即时等号成立,∴面积的最大值为2.39．(2023·河南南阳·高二期末（理））已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.(1)求抛物线的方程；(2)求点的纵坐标的最小值.【解析】（1）由题意可知：，所以抛物线的方程为：；由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.设，，.则：，联立方程：得：.所以，.又知：，得,∴当且仅当，即时取等号，则点的纵坐标的最小值为.40．(2023·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求的方程；(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．【解析】（1）由题意得，，解得，所以的方程为.（2）圆的圆心为，半径圆.①当直线的斜率不存在时，方程为或，于是有或解得，所以.                 ②当直线的斜率为时，方程为或，于是有或解得，所以.                    ③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，因为直线与圆相切，所以，得建立方程组，消并化简得，.设,,则,， 所以=而，当且仅当，即时，等号成立.所以 ，所以. 综上所述，的取值范围是.41．(2023·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.(1)求C的方程；(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.【解析】（1）由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为.（2）由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因为，，所以.由，得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.题型十 圆锥曲线中的向量问题42．(2023·广西贵港·高二期末（文））已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.【解析】(1)解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，所以，因为直线与椭圆相交于和两点，且，所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，联立方程组，解得，所以椭圆的方程为；(2)解：设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，消去得，则，又，所以，且，即，则，因为，所以，整理得，则，且恒成立，所以，又，且，所以，即；当直线的斜率不存在时，，又，解得，所以综上，的取值范围为.43．(2023·重庆九龙坡·高二期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.【解析】(1)由题意可知：，解得： 椭圆的标准方程为：．(2)①当直线斜率不存在，方程为，则，. ②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立  得：.由得：. 设，，则，，又，，，则， ，所以，所以 ，解得：,又，综上所述：的取值范围为.44．(2023·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．【解析】(1)，解得，故双曲线方程为(2)，故设直线方程为则，由得：故，点在双曲线上，则，解得直线l的斜率为题型十一 圆锥曲线中的定点问题45．(2023·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．【解析】（1）设C上任意一点P的坐标为，则有：，当时，有；当时，有，所以C的方程为或；（2）由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，联立方程，整理得，所以，且，又由，即， 由,解得，故直线的方程为，所以直线恒过定点.46．(2023·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题知，，其中一条渐近线为，即，所以，解得所以(2)设，将代入整理得：则由得因为所以，得，即所以直线的方程为所以当，且时，直线过定点；所以当，且时，直线过定点.47．(2023·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设点，则，当时，OP取得最小值为，                             ．，则当时，FP取得最大值﹐解得，则椭圆方程为．（2）设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，故可设过点Q的椭圆的切线方程为，联立方程组，消元可得由可得，又直线过点，则﹐于是化简可得，由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积               则，即点Q在圆上，                          由解得，故存在点满足题意，题型十二 圆锥曲线中的定值问题48．(2023·福建·莆田第二十五中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.【解析】(1)将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，将联立得，，由韦达定理得：，，，当直线AB的斜率不存在时，由直线过点, 则，，，，综上所述可知，为定值为.49．(2023·广东湛江·高二期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程；(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.【解析】（1）当P为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.（2）由（1）知，,设直线，,，联立整理得，由得，，,，故为定值4.50．(2023·江苏省镇江第一中学高二期末）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．【解析】（1）由题可知，解得，则：；（2）由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，则，则．联立得，，则，即．双曲线两条渐近线方程为，联立得，，联立得，，，故的面积为定值．题型十三 圆锥曲线中的定直线问题51．(2023·北京八中高二期末）如图，已知椭圆的短轴端点为、，且，椭圆C的离心率，点，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与，均不重合），连接，，交于点T．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)解：由题意可得，解得，所以所求椭圆的方程为.(2)解：由题意，因为直线过点，可设直线的方程为，，联立方程组，整理得，可得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得，设，因为在同一条直线上，则， ①又由在同一条直线上，则，②由①+②3所以，整理得，解得，所以点在直线，即当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动.(3)解：由（2）知，点在直线上运动，即，设直线的方程为，且，又由且，可得，即，联立方程组，整理得，可得，代入可得，解得，即，此时直线的斜率不存在，不合题意，所以不存在直线l，使得成立.52．(2023·安徽蚌埠·高二期末）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.【解析】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.53．(2023·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知椭圆C：的长轴长为，，是C的左､右焦点，R为直线l：上一点，是底角为30°的等腰三角形，直线l与x轴交于点T，过点T作直线交C于点A，B.(1)求C的方程；(2)设D，E是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线AD与BE的交点是否在一条定直线上？若在，求出这条定直线的方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)因为椭圆C：的长轴长为，所以.又是底角为30°的等腰三角形，所以，，所以.所以，即，解得.所以，所以椭圆C的方程为.(2)由（1）知直线l的方程为，T（6，0）.设D（6，t），，，，①当过点T的直线AB的斜率不等于0时，设直线AB的方程为，联立方程组消去x并整理得，所以，即，，，则.又由直线AD的方程是，直线BE的方程是，联立两直线的方程，并消去y得，，，，所以，所以AD与BE的交点恒在定直线上.②当过点T的直线AB的斜率等于0时.A，B是椭圆C的左､右两个顶点，不妨设，，则直线AD的方程是，直线BE的方程是，联立两直线的方程，并消去y得，所以此时AD与BE的交点也在定直线上.综上所述，直线AD与BE的交点恒在定直线上.题型十四 圆锥曲线中的探索性问题54．(2023·四川达州·高二期末（理））已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，，，，由椭圆定义知，即，又，所以椭圆的标准方程为.(2)存在满足题意的直线.由题知直线的斜率存在，设的方程为，，，联立，整理得，其中，，∵，∴，即，化简得：，即，解得，或.当时，直线经过点，不满足题意，故舍去.所以存在直线满足题意，其方程为.55．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．求椭圆C的方程；若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．【解析】由题意可知,,则;所以椭圆C的方程为:;由题意可知,,设,则,;所以的取值范围是;假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;则设直线的方程为：；消化简得:;,则;；设，则CD的中点为；,；，则;，即;即,无解;故满足条件的直线不存在.56．(2023·河南郑州·高二期末（理））已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：，解得：，椭圆的方程为；(2)由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，由得：，则；，，，，，解得：，，满足条件的直线存在，方程为和.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq \f(c,a)(00)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)离心率e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)x类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下