高中数学第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题

这是一份高中数学第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题，共15页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·河南省高二阶段练习）直线x+3y−2=0的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．5π6
2．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知经过两点Pa,2，Q−2,1的直线斜率为1，则a=（ ）
A．－3B．3C．1D．－1
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为α
B．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<π
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
4．（3分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k15．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知条件p：直线4x+y−4=0与直线a+1x+a2y−1=0垂直，条件q：a=−2，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（3分）(2023·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形
C．等腰梯形D．以上都不对
7．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知两条直线l1：mx−y+6=0，l2：y=x，当l1、l2的夹角在(0,π12)内变动时，则实数m的取值范围为（ ）
A．(0,1)B．(33,3)
C．(33,1)∪(1,3)D．(1,3)
8．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（理））已知A−1,2,B4,7，若过点C2,0的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．−∞,−23∪72,+∞B．−23,72
C．−32，27D．−∞,−23∪72,+∞
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是（ ）
A．k210．（4分）（2023·全国·高三专题练习）直线l过点P(1,3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(−1,−4)，B(2,−3)，则k可以取（ ）
A．－8B．－5C．3D．4
11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1：xsinα+y=0与l2：3x+y+c=0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
12．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知点O0,0，A0,b，Ba,a3．若△OAB为直角三角形，则可能有（ ）
A．b=a3B．b=a3+1a
C．∠AOB=90°D．b−a3+b−a3−1a=0
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为α，且45∘≤α≤150∘，则该直线的斜率的取值范围是 ．
14．（4分）(2023·上海市高三开学考试）已知直线l1:a−3x+1−ay−1=0,l2:a−1x+2a−3y+1=0，则当实数a= 时，l1∥l2.
15．（4分）(2023·河南省高二阶段练习）经过点P2,7作直线l，若直线l与连接A1,1，B4,5两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 ．
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知四边形MNPQ的顶点M1,1,N3,−1,P4,0,Q2,2，则四边形MNPQ的形状为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高三专题练习）求经过A(m,3)（其中m≥1）、B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围．
18．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线lii=1,2,3,4,5的斜率ki，并写出各条直线的斜率.
19．（8分）(2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点分别为A(5,−1)、B(1,1)、C(2,m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
20．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l：kx−y+1+2k=0k∈R，P3,−1，Q−3,3，若直线l与线段PQ恒有公共点，求k的取值范围.
21．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l1:(m+2)x+m2−3my+4=0和直线l2:2mx+2(m−3)y+m+2=0(m∈R).
(1)当m为何值时，直线l1和l2平行？
(2)当m为何值时，直线l1和l2重合？
22．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:ax+by+6=0和直线l2:a−1x+y+2=0，求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)直线l1过点−3,0，且直线l1和l2垂直；
(2)若直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为−3；
(3)若直线l1和l2重合.
专题2.2 直线的倾斜角与斜率-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）(2023·河南省高二阶段练习）直线x+3y−2=0的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．5π6
【解题思路】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【解答过程】设斜率为k，倾斜角为α，
∵y=−33x+233，∴k=−33=tanα，α=5π6．
故选：D．
2．（3分）(2023·全国·高二专题练习）已知经过两点Pa,2，Q−2,1的直线斜率为1，则a=（ ）
A．－3B．3C．1D．－1
【解题思路】由两点式计算斜率为1，即可求出a的值.
【解答过程】由题意知1−2−2−a=1，得a=−1．
故选：D.
3．（3分）(2023·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为α
B．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<π
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【解题思路】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.
【解答过程】对于A，若斜率为k=tan240∘=3，但倾斜角不是240∘，此时倾斜角为60∘，故A错，
对B，直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<π，当直线与x轴重合或者平行时，倾斜角为0，故B正确，
对于C，当直线垂直于x轴时，倾斜角为90∘，但此时直线没有斜率，故C错误，
对于D，当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正值，但倾斜角为钝角时，斜率为负值，故D错误，
故选：B.
4．（3分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..
【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0,k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0，
又因为倾斜角为0,π2时，倾斜角越大，斜率越大，即k3所以k1故选：B.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知条件p：直线4x+y−4=0与直线a+1x+a2y−1=0垂直，条件q：a=−2，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由两条直线垂直可求得a=−2，结合充要条件的定义即可求出答案.
【解答过程】直线4x+y−4=0与直线a+1x+a2y−1=0垂直，所以4a+1+a2=0，则a=−2，所以p是q的充要条件.
故选：A.
6．（3分）(2023·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形
C．等腰梯形D．以上都不对
【解题思路】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.
【解答过程】kAB=3−5−4−2=13=kCD=3−06−−3，kAD=3−0−4+3=−3,kCB=5−32−6=−12，则kAD≠kCB，
所以AB//CD,AD与BC不平行，
kAD⋅kAB=−1
因此AD⊥AB
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
7．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知两条直线l1：mx−y+6=0，l2：y=x，当l1、l2的夹角在(0,π12)内变动时，则实数m的取值范围为（ ）
A．(0,1)B．(33,3)
C．(33,1)∪(1,3)D．(1,3)
【解题思路】由l2的倾斜角为π4知l1倾斜角范围为(π6,π4)∪(π4,π3)，结合直线方程求m的范围.
【解答过程】由题设，l2的倾斜角为π4，故l1倾斜角范围为(π6,π4)∪(π4,π3)，
所以tanπ6≤m≤tanπ3且m≠tanπ4=1，即m∈ (33,1)∪(1,3).
故选：C.
8．（3分）(2023·江西省高一阶段练习（理））已知A−1,2,B4,7，若过点C2,0的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．−∞,−23∪72,+∞B．−23,72
C．−32，27D．−∞,−23∪72,+∞
【解题思路】数形结合，计算kAC,kBC，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围.
【解答过程】如图所示，过点C的直线与线段AB相交，
kAC=2−0−1−2=−23，kBC=7−04−2=72；
又因为该直线与x轴垂直时，斜率不存在，
所以过点C与线段AB相交的直线斜率取值范围为−∞,−23∪72,+∞.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）(2023·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是（ ）
A．k2【解题思路】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【解答过程】直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，
由倾斜角定义知0<α1<α4<π2，α3>π2，α2=0，∴α2<α1<α4<α3，故C正确；
由k=tanα，知k2=0，k3<0，0故选：BC.
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）直线l过点P(1,3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(−1,−4)，B(2,−3)，则k可以取（ ）
A．－8B．－5C．3D．4
【解题思路】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知k≥kPA,k≤kPB，再利用斜率公式求解kPA，kPB即可.
【解答过程】解：由于直线l过点P(1,3)且斜率为k，与连接两点A(−1,−4)，B(2,−3)的线段有公共点，则kPA=72，kPB=−6，由图可知，
k∈−∞,−6∪72,+∞时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
11．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l1：xsinα+y=0与l2：3x+y+c=0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
【解题思路】分别求出直线l1，l2的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解.
【解答过程】∵直线l1:xsinα+y=0的斜率为k1=−sinα，
直线l2:3x+y+c=0的斜率k2=−3，
∵−1≤sinα≤1，∴k1，k2不可能相等，
∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；
当sinα=−13时，k1k2=−1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；
∵直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，
∴直线l1与直线l2一定有交点P，
∴存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合，故D正确．
故选：BD．
12．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知点O0,0，A0,b，Ba,a3．若△OAB为直角三角形，则可能有（ ）
A．b=a3B．b=a3+1a
C．∠AOB=90°D．b−a3+b−a3−1a=0
【解题思路】若△OAB为直角三角形，则直角顶点有三种情况，以O, A, B分别为直角顶点，讨论找关系，得到AB选项正确，CD选项错误，最后得答案.
【解答过程】由题意知a≠0,b≠0，
若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意，故C错误；
若A为直角顶点，则b=a3，故A正确；
若B为直角顶点，根据斜率关系kOB⋅kAB=−1,可知a2⋅a3−ba=−1，
所以aa3−b=−1，即b=a3+1a，故B正确；
b=a3和b=a3+1a不可能同时成立，所以b−a3+b−a3−1a=0不可能成立，故D错误.
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为α，且45∘≤α≤150∘，则该直线的斜率的取值范围是 −∞,−33∪1,+∞ ．
【解题思路】由倾斜角和斜率的关系k=tanα进行求解.
【解答过程】因为直线的倾斜角为α，且45∘≤α≤150∘，
当45∘≤α<90∘时，k=tanα≥tan45∘=1；
当90∘<α≤150∘时，k=tanα≤tan150∘=−33；
即该直线的斜率的取值范围是−∞,−33∪1,+∞.
故答案为：−∞,−33∪1,+∞.
14．（4分）(2023·上海市高三开学考试）已知直线l1:a−3x+1−ay−1=0,l2:a−1x+2a−3y+1=0，则当实数a= 53 时，l1∥l2.
【解题思路】根据两直线平行的条件列方程求解a的值即可.
【解答过程】若l1∥l2，则a−32a−3=1−aa−1，解得a=53或a=2，
当a=2时，l1和l2重合，舍去，所以a=53.
故答案为：53.
15．（4分）(2023·河南省高二阶段练习）经过点P2,7作直线l，若直线l与连接A1,1，B4,5两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 −∞,−1∪6,+∞ ．
【解题思路】根据题意结合图像，求出kPA,kPB的斜率即可得到结果.
【解答过程】
kPA=7−12−1=6，kPB=7−52−4=−1，
在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大，
直线l与线段AB总有公共点，
所以k的取值范围为−∞,−1∪6,+∞．
故答案为: −∞,−1∪6,+∞.
16．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知四边形MNPQ的顶点M1,1,N3,−1,P4,0,Q2,2，则四边形MNPQ的形状为 矩形 .
【解题思路】分别求出直线MN,PQ,MQ,NP的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【解答过程】解：∵kMN=1−−11−3=−1,kPQ=2−02−4=−1，且P不在直线MN上，∴MN//PQ.
又∵kMQ=2−12−1=1,kNP=0−−14−3=1，且N不在直线上，∴MQ//NP，∴四边形MNPQ为平行四边形.又∵kMN⋅kMQ=−1,∴MN⊥MQ.
∴平行四边形MNPQ为矩形.
故答案为：矩形.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高三专题练习）求经过A(m,3)（其中m≥1）、B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围．
【解题思路】当m=1时，斜率不存在，当m>1时，利用斜率公式求解
【解答过程】由题意，当m=1时，倾斜角α=90°，
当m>1时，tanα=3−2m−1=1m−1>0，即倾斜角α为锐角；
综上得：0<α≤90°．
18．（6分）(2023·江苏·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线lii=1,2,3,4,5的斜率ki，并写出各条直线的斜率.
【解题思路】利用斜率公式可求得各直线的斜率，由此可得出这五条直线斜率的大小关系.
【解答过程】解：由已知可得k1=5−14−−2=23，k2=5−12−1=4，k3=6−0−4−0=−32，
k4=3−54−−1=−25，k5=0，
所以，k2>k1>k5>k4>k3.
19．（8分）(2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点分别为A(5,−1)、B(1,1)、C(2,m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
【解题思路】根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
【解答过程】①若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC⋅kAB=−1，即m+12−5×1+11−5=−1，解得m=−7；
②若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB⋅kBC=−1，即1+11−5×m−12−1=−1，
解得m=3；
③若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC⋅kBC=−1，即m+12−5×m−12−1=−1，
解得m=±2．
综上，m的值为−7，−2，2或3．
20．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l：kx−y+1+2k=0k∈R，P3,−1，Q−3,3，若直线l与线段PQ恒有公共点，求k的取值范围.
【解题思路】先判断直线l所过定点，再数形结合求k的取值范围
【解答过程】kx−y+1+2k=0⇒y−1=kx+2
故直线过定点T−2,1
如下图所示：
kTP=1−−1−2−3=−25，kTQ=1−3−2−−3=−2
若直线l与线段恒有公共点，则k≤kTQ或k≥kTP
即k∈−∞,−2∪−25,+∞.
21．（8分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l1:(m+2)x+m2−3my+4=0和直线l2:2mx+2(m−3)y+m+2=0(m∈R).
(1)当m为何值时，直线l1和l2平行？
(2)当m为何值时，直线l1和l2重合？
【解题思路】（1）由直线平行的公式列方程组求解.
（2）由直线重合的公式列方程组求解.
【解答过程】（1）
由题意，2m−3(m+2)−2mm2−3m=0m+22−4×2m≠0，
得m−3(m−2)m+1=0m−22≠0，解得m=3或m=−1
当m=3或m=−1时，直线l1和l2平行.
（2）
由题意，2m−3(m+2)−2mm2−3m=0m+22−4×2m=0，
得m−3(m−2)m+1=0m−22=0，解得m=2，
当m=2时，直线l1和l2重合.
22．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l1:ax+by+6=0和直线l2:a−1x+y+2=0，求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)直线l1过点−3,0，且直线l1和l2垂直；
(2)若直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为−3；
(3)若直线l1和l2重合.
【解题思路】（1）根据直线垂直可知斜率相乘等于−1 ，进而可求.（2）根据平行直线斜率相等可求. （3）两直线重合，斜率和在y轴上的截距均相等，进而可求.
【解答过程】（1）由于直线l1和l2垂直，故a⋅a−1+b⋅1=0，
又直线l1过点−3,0，故−3a+6=0，
联立两式，解得a=2,b=−2.
故有a=2,b=−2.
（2）由于直线l1和l2平行，故a⋅1=a−1⋅bb⋅2≠6×1，
直线l1在y轴上的截距为−3，则b≠0−6b=−3，
联立解得a=2,b=2.
故有a=2,b=2.
（3）若直线l1和l2重合，故a⋅1=a−1⋅bb⋅2=6×1，解得a=32,b=3.
故有a=32,b=3.