高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程测试题，共20页。试卷主要包含了圆的定义，圆的标准方程，圆的一般方程，二元二次方程与圆的方程，点与圆的位置关系，与圆有关的对称问题，与圆有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。

1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
5．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
6．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
7．与圆有关的最值问题
(1)与圆的代数结构有关的最值问题
①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)与圆的几何性质有关的最值问题
①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；
②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最
小距离为d-r；
④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.
【题型1 圆的方程的求法】
【方法点拨】
(1)圆的标准方程的求法
①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​
②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲
线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.
(2)圆的一般方程的求法
待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；
②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.
【例1】(2023·江苏·高二课时练习）经过三个点A(0,0),B(23,0),C(0,−2)的圆的方程为（ ）
A．x−32+y+12=2B．x−32+y−12=2
C．x−32+y+12=4D．x−32+y−12=4
【变式1-1】(2023·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．x2+y2=2B．x2+y2=4
C．x−22+y−22=8D．x2+y2=2
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）与圆x2+y2−4x+6y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−4x+6y−8=0B．x2+y2−4x+6y+8=0
C．x2+y2+4x−6y−8=0D．x2+y2−4x−6y−4=0
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，C3,0，则△ABC外接圆方程是（ ）
A．x2+y2−3x−5y+6=0B．x2+y2−5x−3y+6=0
C．x2+y2−3x−5y−6=0D．x2+y2−5x−3y−6=0
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【方法点拨】
判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看
系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.
【例2】(2023·江苏·高二课时练习）设甲：实数a0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(2,0)，点M满足|MA||MB|=2，则点M的轨迹方程为（ ）
A．(x+4)2+y2=16B．(x−4)2+y2=16C．x2+(y+4)2=16D．x2+(y−4)2=16
【题型5 与圆有关的对称问题】
【方法点拨】
(1)圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(2)圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【例5】（2023·全国·高二课时练习）圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0, 0)对称的圆的方程为（ ）
A．(x−2)2+y2=5B．x2+(y−2)2=5
C．(x+2)2+(y+2)2=5D．x2+(y+2)2=5
【变式5-1】(2023·江苏·高二课时练习）若圆x2−2x+y2=0与圆C关于直线x+y=0对称，则圆C的方程为（ ）
A．x2+2x+y2=0B．x2+y2−2y=0C．x2+y2+2y=0D．x2−2x+y2=0
【变式5-2】（2023·全国·高二课时练习）圆(x−1)2+(y−2)2=1关于点(−2,3)对称的圆的标准方程为（ ）
A．(x+5)2+(y−4)2=1B．x−122+y−522=1
C．(x−5)2+(y+4)2=1D．x+122+y+522=1
【变式5-3】（2023·广东·高二阶段练习）若圆C1:(x−1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．y=−2x−3B．y=−2x+3
C．y=−12x−32D．y=−12x+32
【题型6 与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；
解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.
【例6】(2023·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆x2+y2=9上两动点，点P(1,1)，且PA⊥PB，则|AB|的最大值为（ ）
A．3−2B．3+2C．4−2D．4+2
【变式6-1】(2023·河南·高二阶段练习）若x，y满足x2+y2−2x+4y−20=0，则x2+y2的最小值是（ ）
A．5B．5−5C．30−105D．无法确定
【变式6-2】(2023·全国·高二课时练习）已知点m,n在过−2,0点且与直线2x−y=0垂直的直线上，则圆C：x−352+y+12=4上的点到点Mm,n的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．5D．35
【变式6-3】(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线y=kx+mk≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，AB=22，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点1,1的距离的最大值为（ ）
A．42B．32C．22D．2
专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
5．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
6．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
7．与圆有关的最值问题
(1)与圆的代数结构有关的最值问题
①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)与圆的几何性质有关的最值问题
①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；
②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最
小距离为d-r；
④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.
【题型1 圆的方程的求法】
【方法点拨】
(1)圆的标准方程的求法
①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​
②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲
线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.
(2)圆的一般方程的求法
待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；
②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.
【例1】(2023·江苏·高二课时练习）经过三个点A(0,0),B(23,0),C(0,−2)的圆的方程为（ ）
A．x−32+y+12=2B．x−32+y−12=2
C．x−32+y+12=4D．x−32+y−12=4
【解题思路】根据三点在坐标系的位置，确定出△ABC是直角三角形，其中BC是斜边，则有过三点的圆的半径为BC的一半，圆心坐标为BC的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【解答过程】由已知得，A(0,0),B(23,0),C(0,−2)分别在原点、x轴、y轴上，
∴ AB⊥AC，
∴经过三点圆的半径为r=12BC=1223−02+0+22=2，
圆心坐标为BC的中点23+02,0−22，即3,−1，
∴圆的标准方程为x−32+y+12=4.
故选：C.
【变式1-1】(2023·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．x2+y2=2B．x2+y2=4
C．x−22+y−22=8D．x2+y2=2
【解题思路】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【解答过程】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为x2+y2=4.
故选：B.
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）与圆x2+y2−4x+6y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−4x+6y−8=0B．x2+y2−4x+6y+8=0
C．x2+y2+4x−6y−8=0D．x2+y2−4x−6y−4=0
【解题思路】设所求圆的方程为x2+y2−4x+6y+m=0，利用点1,−1求得m，从而确定正确答案.
【解答过程】依题意，设所求圆的方程为x2+y2−4x+6y+m=0，
由于所求圆过点1,−1，所以1+1−4−6+m=0，
解得m=8，所以所求圆的方程为x2+y2−4x+6y+8=0．
故选：B.
【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）△ABC三个顶点的坐标分别是A1,1，B4,2，C3,0，则△ABC外接圆方程是（ ）
A．x2+y2−3x−5y+6=0B．x2+y2−5x−3y+6=0
C．x2+y2−3x−5y−6=0D．x2+y2−5x−3y−6=0
【解题思路】利用待定系数法进行求解即可.
【解答过程】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2−4F>0，
因为A1,1，B4,2，C3,0在这个圆上，
所以有12+12+D+E+F=042+22+4D+2E+F=032+02+3D+F=0⇒D=−5E=−3F=6，
故选：B.
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【方法点拨】
判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看
系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.
【例2】(2023·江苏·高二课时练习）设甲：实数a0，解得：a0，即m>2或m0，即m>−3
故实数m的取值范围为m>2或−30，解得a>2，
又x2+y2−2ax−3y+a2+a=0为圆，则−2a2+−32−4a2+a>0，
解得a