高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题，共22页。试卷主要包含了椭圆的范围，椭圆的对称性，椭圆的顶点与长轴、短轴，椭圆的离心率，椭圆的几何性质的挖掘等内容，欢迎下载使用。


1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范
围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，
即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x
轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
5．椭圆的几何性质的挖掘
(1)椭圆的通径：
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.
说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.
(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆的焦半径
a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.
b.焦半径公式：
已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，
当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.
【题型1 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【方法点拨】
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设
出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的
关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的
标准方程可能有两个.
【例1】(2023·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率e=12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x22+y2=1B．x24+y2=1C．x24+y23=1D．x216+y212=1
【变式1-1】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（ ）
A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（ ）
A．x2100+y264=1B．y2100+x264=1
C．x225+y216=1D．x216+y225=1
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点2,0的椭圆方程是（ ）
A．x24+y2=1B．x24+y2=1或x2+y24=1
C．x24+y216=1D．x24+y2=1或x24+y216=1
【题型2 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【方法点拨】
根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.
【例2】(2023·全国·高二课时练习）椭圆C:x216+y24=1的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ）．
A．8，4，(±23,0)B．8，4，(0,±23)C．4，2，(±23,0)D．4，2，(0,±23)
【变式2-1】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【变式2-2】（2023·重庆市高二阶段练习）椭圆x237+y212=1的焦距为（ ）
A．23B．5C．43D．10
【变式2-3】(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1k<9,k≠0，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等
【题型3 求椭圆的离心率或其取值范围】
【方法点拨】
求椭圆的离心率通常有如下两种方法：
①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；
②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出
a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).
【例3】(2023·江苏·高二阶段练习）已知椭圆C:x2m+y24=1的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A．55B．12或55C．12或32D．55或255
【变式3-1】(2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆C:x2a2+y24=1(a>2)上存在两点Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2到点Pa5,0的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．0,55B．55,1C．0,33D．33,1
【变式3-2】(2023·江西省高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若MN=F1F2，22MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．24B．12C．62−37D．32−37
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上存在点P，使得PF1=3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．0,14B．14,1C．12,1D．12,1
【题型4 根据椭圆的离心率求参数】
【方法点拨】
根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关
系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).
【例4】(2023·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2=1(a>0)的离心率为22，则a的值为（ ）
A．2B．12C．2或22D．2或12
【变式4-1】(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)的离心率为e=12，则k=（ ）
A．4B．4或−54C．−45D．4或−45
【变式4-2】（2023·甘肃·高二阶段练习（理））“m=8”是“椭圆x2m+y24=1的离心率为22”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】(2023·全国·高二课时练习）设e是椭圆x2k+y24=1的离心率，且e∈12,1，则实数k的取值范围是
A．0,3B．3,163
C．0,2D．0,3∪163,+∞
【题型5 椭圆中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例5】（2023·广西·高二阶段练习（文））若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则OP⋅FP的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x29+y2b2=1b>0上的动点P到右焦点距离的最小值为3−22，则b=（ ）
A．1B．2C．3D．6
【变式5-2】(2023·重庆八中模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1−PF2的最大值为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【变式5-3】(2023·河南洛阳·三模（理））已知点M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，则四边形MF1PF2的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．22
【题型6 椭圆的实际应用问题】
对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆
的性质进行求解，注意要满足实际情况.
【例6】（2023春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．154B．32C．265D．15
【变式6-1】（2023春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−58，则椭圆的离心率为（ ）
A．34B．58C．74D．64
【变式6-2】（2023·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高ℎ为6米，则隧道设计的拱宽l至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高ℎ和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：11≈3.3，椭圆的面积公式为S=πab，其中a，b分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长轴长约为3.0×108km，椭圆焦距与长轴长的比约为160．求地球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到0.001×108km）．
专题3.3 椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲
1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范
围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，
即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x
轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
5．椭圆的几何性质的挖掘
(1)椭圆的通径：
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.
说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.
(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆的焦半径
a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.
b.焦半径公式：
已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，
当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.
【题型1 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【方法点拨】
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设
出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的
关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的
标准方程可能有两个.
【例1】(2023·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率e=12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x22+y2=1B．x24+y2=1C．x24+y23=1D．x216+y212=1
【解题思路】由已知条件可得c与a的值，进而得b的值，然后得标准方程.
【解答过程】由于2c=2,所以c=1,
又因为e=ca=12，故a=2，
b2=a2−c2=3，所以椭圆的标准方程为：x24+y23=1.
故选：C.
【变式1-1】(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（ ）
A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=1
【解题思路】根据离心率及BA1⋅BA2=−1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
【解答过程】解：因为离心率e=ca=1−b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1−a,0,A2a,0，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(−a,−b),BA2=(a,−b)，因为BA1⋅BA2=−1
所以−a2+b2=−1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
【变式1-2】(2023·全国·高二课时练习）焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（ ）
A．x2100+y264=1B．y2100+x264=1
C．x225+y216=1D．x216+y225=1
【解题思路】根据长轴长算出a后，由离心率可得c的值，从而可得椭圆的标准方程.
【解答过程】因为长轴长为10，故长半轴长a=5，因为e=ca=35，所以半焦距c=3，
故b2=a2−c2=25−9=16，
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y225+x216=1，
故选：D.
【变式1-3】(2023·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点2,0的椭圆方程是（ ）
A．x24+y2=1B．x24+y2=1或x2+y24=1
C．x24+y216=1D．x24+y2=1或x24+y216=1
【解题思路】讨论焦点在x轴和y轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.
【解答过程】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由离心率为32，
∴b2=a2−c2=14a2
∵椭圆过点（2，0），∴22a2+02b2=1，∴a2=4 ，∴b2=1 ，
∴椭圆标准方程为x24+y2=1
当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：x24+y216=1
故选：D.
【题型2 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【方法点拨】
根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.
【例2】(2023·全国·高二课时练习）椭圆C:x216+y24=1的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ）．
A．8，4，(±23,0)B．8，4，(0,±23)C．4，2，(±23,0)D．4，2，(0,±23)
【解题思路】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.
【解答过程】在椭圆C:x216+y24=1中，a=4,b=2,c=a2−b2=23 ，
所以椭圆C:x216+y24=1的长轴长为2a=8 、短轴长为2b=4，焦点坐标为±23,0 ，
故选：A.
【变式2-1】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得a,b,c以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1，
其焦点在x轴上，a1=2，b1=1，则c1=a12−b12=1，所以e1=c1a1=12=22．
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1，其焦点在y轴上，a2=1，b2=22，
则c2=a22−b22=22，所以e2=c2a2=221=22，
故选:D．
【变式2-2】（2023·重庆市高二阶段练习）椭圆x237+y212=1的焦距为（ ）
A．23B．5C．43D．10
【解题思路】根据椭圆的方程求得a,b,c的值，即可求得焦距2c的值，得到答案.
【解答过程】由椭圆x237+y212=1，可得a2=37,b2=12，则c=a2−b2=5，
所以椭圆的焦距为2c=10.
故选：D.
【变式2-3】(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1k<9,k≠0，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等
【解题思路】分别求出椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0【解答过程】解：椭圆x225+y29=1，可知a=5，b=3，c=4，
∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是：45．
椭圆x225−k+y29−k=1k<9,k≠0中，
∵a1=25−k，b1=9−k，c1=4，
∴长轴长是225−k，短轴长是29−k；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是425−k．
∴椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1k<9,k≠0关系为有相等的焦距．
故选：B．
【题型3 求椭圆的离心率或其取值范围】
【方法点拨】
求椭圆的离心率通常有如下两种方法：
①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；
②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出
a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).
【例3】(2023·江苏·高二阶段练习）已知椭圆C:x2m+y24=1的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A．55B．12或55C．12或32D．55或255
【解题思路】对焦点所在位置进行分类讨论，利用a2=b2+c2、e=ca进行求解.
【解答过程】因为椭圆C:x2m+y24=1的焦距是2，所以c=1，
当椭圆焦点在x轴上，m=4+1=5，所以e=ca=15=55，
当椭圆焦点在y轴上，4=m+1，所以e=ca=12，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式3-1】(2023·安徽蚌埠·一模）若椭圆C:x2a2+y24=1(a>2)上存在两点Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2到点Pa5,0的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．0,55B．55,1C．0,33D．33,1
【解题思路】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.
【解答过程】记AB中点为Qm,n，则x1+x2=2m,y1+y2=2n，
由题意点Pa5,0在线段AB的中垂线上，
将Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2坐标代入椭圆方程得x12a2+y124=1,x22a2+y224=1
两式相减可得x12−x22a2+y12−y224=0，
所以−4a2=y12−y22x12−x2=y1−y2x1−x2×y1+y2x1+x2=kAB×nm，得kAB=−4ma2n，
所以AB的中垂线的方程为y−n=a2n4mx−m，令y=0得x0=a2−4a2m=a2−4a×ma=a5，
由题意，m2，故a2−4a>a5，所以a2>5,
所以e=ca=1−4a2>1−45=55
故选：B.
【变式3-2】(2023·江西省高二阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若MN=F1F2，22MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．24B．12C．62−37D．32−37
【解题思路】设MF2=x，则MF1=2a−x，利用勾股定理求出x=a−a2−2b2，再解方程3a−a2−2b2=2c即得解.
【解答过程】解：依题意作下图，由于MN=F1F2，并且线段MN，F1F2互相平分，
∴四边形MF1NF2是矩形，其中∠F1MF2=π2，NF1=MF2，
设MF2=x，则MF1=2a−x，
根据勾股定理，MF12+MF22=F1F22，2a−x2+x2=4c2，
整理得x2−2ax+2b2=0，
由于点M在第一象限，x=a−a2−2b2，
由22MF2=NF2，得MN=3MF2，即3a−a2−2b2=2c，
整理得7c2+6ac−9a2=0，即7e2+6e−9=0，解得e=62−37.
故选：C．
【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上存在点P，使得PF1=3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．0,14B．14,1C．12,1D．12,1
【解题思路】先由椭圆的定义结合已知求得PF1,PF2，再由PF1−PF2≤F1F2求得a,c的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【解答过程】由椭圆的定义得PF1+PF2=2a，又∵PF1=3PF2，∴PF1=32a，PF2=12a，
而PF1−PF2≤F1F2=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，
即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.
故选：D．
【题型4 根据椭圆的离心率求参数】
【方法点拨】
根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关
系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).
【例4】(2023·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2=1(a>0)的离心率为22，则a的值为（ ）
A．2B．12C．2或22D．2或12
【解题思路】分a2>1和a2<1，利用离心率的定义求解.
【解答过程】解：当a2>1，即a>1时，则a2−1a2=222，解得a=2；
当a2<1，即0综上：a的值为2或22，
故选：C.
【变式4-1】(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)的离心率为e=12，则k=（ ）
A．4B．4或−54C．−45D．4或−45
【解题思路】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
【解答过程】解：因为椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)的离心率为e=12，
当k+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得：a=k+8,b=3,∴c=a2−b2=k−1,∴e=k−1k+8=12，解得k=4，
当0∴k=4或k=−54.
故选：B．
【变式4-2】（2023·甘肃·高二阶段练习（理））“m=8”是“椭圆x2m+y24=1的离心率为22”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】椭圆x2m+y24=1离心率为22，可得：m>4时，1−4m=22，或0【解答过程】椭圆x2m+y24=1离心率为22，可得：
m>4时，1−4m=22，∴m=8；
0总之m=8或2．∴“m=8”是“椭圆x2m+y24=1离心率为22”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式4-3】(2023·全国·高二课时练习）设e是椭圆x2k+y24=1的离心率，且e∈12,1，则实数k的取值范围是
A．0,3B．3,163
C．0,2D．0,3∪163,+∞
【解题思路】利用椭圆的离心率公式进行求解即可.
【解答过程】当焦点在x轴时e=k−4k∈12,1，
∴k−4k∈14,1,∴k∈163,+∞，
当焦点在y轴时e=4−k2∈12,1∴k∈0,3，
所以实数k的取值范围是0,3∪163,+∞.
故选：D.
【题型5 椭圆中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例5】（2023·广西·高二阶段练习（文））若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则OP⋅FP的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】设点Px0,y0，可得出y02=3−34x02，且有−2≤x0≤2，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP⋅FP的最大值.
【解答过程】由椭圆方程得F−1,0，设P(x0,y0)，则OP⋅FP=x0,y0⋅x0+1,y0=x02+x0+y02，
∵P为椭圆x24+y23=1上一点，x024+y023=1，可得y02=3−34x02，且有−2≤x0≤2，
∴OP⋅FP=x02+x0+3−3x024=x024+x0+3=14x0+22+2．
因为−2≤x0≤2，当x0=2时，OP⋅FP取得最大值6.
故选：B.
【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x29+y2b2=1b>0上的动点P到右焦点距离的最小值为3−22，则b=（ ）
A．1B．2C．3D．6
【解题思路】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为a−c，即可求出c，再根据c2=a2−b2，即可得解；
【解答过程】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为a−c，
即 a−c=3−22，又a=3，所以c=22，
由c2=a2−b2，所以b=1；
故选：A.
【变式5-2】(2023·重庆八中模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1−PF2的最大值为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【解题思路】椭圆上的点P满足PF1−PF2≤F1F2，找到取等时点P位置即可求出最大值.
【解答过程】椭圆上的点P满足PF1−PF2≤F1F2，
当点P为F2F1的延长线与C的交点时，
PF1−PF2达到最大值，最大值为F1F2=23．
故选：B.
【变式5-3】(2023·河南洛阳·三模（理））已知点M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，则四边形MF1PF2的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．22
【解题思路】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，SMF1PF2=12MF1+MF2ℎ=2ℎ，ℎ为P到MF2的距离，又OE是△F1MF2的中位线，故2ℎ=F1F2⋅sin∠MF2F1，结合余弦定理，设MF2=t，即可表示出SMF1PF2，即可讨论最值.
【解答过程】
由图，a2=4, b2=3，c=a2−b2=1，故F1F2=2，MF1+MF2=4，又MP平分∠F1MF2，则P到MF1、MF2的距离相等，设为ℎ，则SMF1PF2=12MF1+MF2ℎ=2ℎ，
设MF2=t，则MF1=4−t，cs∠MF2F1=22+t2−4−t24t=2−3t，由OE是△F1MF2的中位线，易得2ℎ=F1F2⋅sin∠MF2F1=21−2−3t2，即SMF1PF2=21−2−3t2，由椭圆性质易知，存在点M为椭圆C上异于顶点的动点，使t=32，此时SMF1PF2最大，且为2，
故选：B.
【题型6 椭圆的实际应用问题】
对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆
的性质进行求解，注意要满足实际情况.
【例6】（2023春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．154B．32C．265D．15
【解题思路】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由题意求出a，b，c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答过程】解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），
由题意得2a=12−4b=2，
解得a＝4，b＝2，c=16−4=23，
∴该椭圆的离心率为e=ca=234=32．
故选：B．
【变式6-1】（2023春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−58，则椭圆的离心率为（ ）
A．34B．58C．74D．64
【解题思路】过P（x0，y0）且与椭圆x2a2+y2b2=1相切的直线方程为x0xa2+y0yb2=1，利用这一结论分别设出过C点和D点与椭圆相切的直线方程，
分别代入A，B坐标，求出C，D的坐标，进而表示出直线AC和直线BD的斜率，再代入kAC⋅kBD=−58求出a，b的关系式，进而求出离心率．
【解答过程】解：设内圈椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，外圈椭圆的方程为x2(ma)2+y2(mb)2=1，其中m＞1，
则A（﹣ma，0），B（0，mb），设C（xC，yC），D（xD，yD）．
过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为xCxa2+ycyb2=1，代入A点坐标，整理得xC=−am，
代入x2a2+y2b2=1且yC＜0，解得yC=−bm2−1m，所以kAC=yCxC+ma=−ba⋅1m2−1；
过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为xDxa2+yDyb2=1，代入B点坐标，整理得yD=bm，
代入x2a2+y2b2=1且xD＞0，解得xD=−amm2−1，所以kBD=yD−mbxD=ba⋅m2−1．
所以kAC⋅kBD=−b2a2=−58，e=1−b2a2=38=64．
故选：D．
【变式6-2】（2023·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高ℎ为6米，则隧道设计的拱宽l至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高ℎ和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：11≈3.3，椭圆的面积公式为S=πab，其中a，b分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，根据对称性b=6，将点(6,5)代入椭圆方程，即可求解；
（2）由点(6,5)在椭圆上或在椭圆内，得36a2+25b2≤1，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积S的最小值，根据体积公式，即可求解.
【解答过程】（1）建立直角坐标系xOy如图所示，
则点P6,5在椭圆x2a2+y2b2=1上，
将b=ℎ=6与点P6,5代入椭圆方程，得a=3611，
此时l=2a=7211≈21.8，
因此隧道设计的拱宽l至少是22米.

（2）由椭圆方程x2a2+y2b2=1，得36a2+25b2≤1，
因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab，即ab≥60，S=πab2≥30π，
由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π，
当V取得最小值时，有6a=5b且ab=60，得a=62，b=52，
此时l=2a=122≈16.97，ℎ=b≈7.07.
①若ℎ=b=8，此时l=2a=17，此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π，
②若ℎ=b=7，此时l=2a=18，此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π，
因为V1>V2，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.
【变式6-3】(2023·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长轴长约为3.0×108km，椭圆焦距与长轴长的比约为160．求地球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到0.001×108km）．
【解题思路】由题意求出a,c，再由椭圆的性质即可得出答案.
【解答过程】因为椭圆的长轴长为2a=3.0×108 km，所以a=32×108 km，
又因为椭圆焦距与长轴长的比约为160，所以2c2a=ca=160，
则c=160×32×108=140×108 km，
所以地球的轨道中心与太阳间的距离c=160×32×108=140×108=0.25×108 km，
所以近日点到太阳的距离为a−c=32−140×108=5940×108=1.475×108 km，
所以远日点到太阳的距离为a+c=32+140×108=6140×108=1.525×108 km.
故轨道中心与太阳间距离0.025×108km；近日点到太阳的距离1.475×108km；远日点到太阳的距离1.525×108km.