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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题，共21页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23=1和C2:x25+y24=1，则C1和C2哪个图形更为扁平（ ）
A．C1B．C2
C．相同D．无法判断
2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且短半轴长为25的椭圆方程是（ ）
A．x225+y220=1B．y225+x220=1C．y245+x220=1D．y285+x280=1
4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
5．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在C上，且关于原点对称.若直线AP,AQ的斜率之积为−12，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为C上的动点，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．514B．154C．−134D．−154
7．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．32
8．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF1的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得PF1⋅PF2=0；
③椭圆C的离心率为32；
④P为椭圆x24+y2=1一点，Q为圆x2+y2=1上一点，则点P,Q的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x28+y22=1B．x22+y28=1C．x2174+y217=1D．x217+y2174=1
10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米B．椭圆的短轴长为M+RN+R千米
C．椭圆的焦距为M−N千米D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米
11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为x216+y212=1
B．PF2的最大值为4+3
C．当PF1=3时，PF2=5
D．椭圆x24+y2=1的形状比椭圆C的形状更接近于圆
12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为3−12B．该椭圆的离心率为2−3
C．该椭圆的焦距为32−63D．该椭圆的焦距为23−1
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，则k的值为 ．
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 ．
15．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且BF=2FM，则该椭圆的离心率是 ．
16．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 ．（填序号）
①椭圆C的离心率为35； ②存在点A使得AF1⊥AF2；
③若AF2+BF2=8，则AB=12； ④△AF1F2面积的最大值为12．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)x2+9y2=9；
(2)4x2+2y2=16．
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
(3)经过点P−23,1，Q3,−2两点；
(4)与椭圆x24+y23=1有相同离心率，且经过点2,−3.
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0、F22,0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xP的取值范围．
20．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为22，离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点F1，F2，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
专题3.4 椭圆的简单几何性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23=1和C2:x25+y24=1，则C1和C2哪个图形更为扁平（ ）
A．C1B．C2
C．相同D．无法判断
【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.
【解答过程】在椭圆C1:x24+y23=1中，a=2,b=3，∴c=a2−b2=4−3=1，∴e1=ca=12.
在椭圆C2:x25+y24=1中，a=5,b=2，∴c=a2−b2=5−4=1，∴e2=ca=15=55.
∵e1=12>15=e2， ∴椭圆C1:x24+y23=1的图形更为扁平一些.
故选：A.
2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得a,b,c以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1，
其焦点在x轴上，a1=2，b1=1，则c1=a12−b12=1，所以e1=c1a1=12=22．
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1，其焦点在y轴上，a2=1，b2=22，
则c2=a22−b22=22，所以e2=c2a2=221=22，
故选:D．
3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且短半轴长为25的椭圆方程是（ ）
A．x225+y220=1B．y225+x220=1C．y245+x220=1D．y285+x280=1
【解题思路】求出椭圆9x2+4y2=36的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【解答过程】椭圆9x2+4y2=36的标准方程为y29+x24=1，该椭圆的焦点坐标为0,±5，
设所求椭圆的长半轴长为a，则a=252+5=5，
故所求椭圆的标准方程为y225+x220=1.
故选：B.
4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得y4≤1，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.
【解答过程】解：因为曲线Γ:x29+y4=1，不是椭圆方程，
所以曲线Γ不是椭圆，故A正确；
因为曲线Γ:x29+y4=1，
所以y4≤1，所以y∈−1,1，故B错误；
曲线Γ:x29+y4=1与x轴正半轴的交点坐标为3,0，
若曲线Γ:x29+y4=1关于直线y=x对称，
则点0,3也在曲线Γ:x29+y4=1上，
又09+9=9≠1，所以点0,3不在曲线Γ:x29+y4=1上，
所以曲线Γ:x29+y4=1不关于直线y=x对称，故C错误；
对于D，曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的交点坐标为±3,0,0,±1，
则以±3,0,0,±1四点为顶点的四边形的面积为12×6×2=6，
所以曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.
故选：D.
5．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在C上，且关于原点对称.若直线AP,AQ的斜率之积为−12，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
【解题思路】设P(x0,y0),Q(−x0,−y0)，再根据直线AP,AQ的斜率之积为−12列式，结合椭圆的方程化简即可.
【解答过程】设P(x0,y0),Q(−x0,−y0)且x0≠±a，则k1k2=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=−12.
又x02a2+y02b2=1，故y02=b2(a2−x02)a2，故−b2a2=−12，所以e=1−(ba)2=22.
故选：B.
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为C上的动点，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．514B．154C．−134D．−154
【解题思路】由题可得椭圆C:x216+y215=1，进而可得B0,−352，利用向量数量积的坐标表示可得PA⋅PB =x02−2x0+y02−454，再结合条件及二次函数的性质即求.
【解答过程】由题可得22m+352215=1，
∴m=16，即椭圆C:x216+y215=1，
∴F1,0，直线AF方程为y=352x−1，
∴B0,−352，又A2,352，
设Px0,y0，则x0216+y0215=1，PA=2−x0,352−y0,PB=−x0,−352−y0，
∴PA⋅PB=2−x0−x0+352−y0−352−y0
=x02−2x0+y02−454
=x02−2x0+15−1516x02−454
=116x0−162−494，又−4≤x0≤4，
∴当x0=4时，PA⋅PB有最小值为−134.
故选：C.
7．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．32
【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断∴a=223=2R3，
【解答过程】
如图，l1,l2 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
∴AC=2R=22,R=11 ,
过C作CE//BD 交l1,l2于E,C,则CE=BD，
在△ACE 中，
CEsin90=ACsin60 ，∴CE=22×23=2a ，∴a=223=2R3 , b=22，
∴c=4R23−R2=33R，求出离心率.
那么椭圆中b=22 ，∴c=4R23−R2=33R ,
∴e=ca=3R32R3=12 .
故选：B.
8．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF1的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得PF1⋅PF2=0；
③椭圆C的离心率为32；
④P为椭圆x24+y2=1一点，Q为圆x2+y2=1上一点，则点P,Q的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求∠F1PF2的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断P,Q的距离范围，即可判断④.
【解答过程】由题设，椭圆参数为a=2,b=1,c=3，且F1(−3,0)、F2(3,0)，
①由椭圆定义知：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4，则△ABF1的周长为8，正确；
②当P在y轴上时，|PF1|=|PF2|=a=2，而|F1F2|=2c=23，此时cs∠F1PF2=4+4−128=−12，易知∠F1PF2为120°，故∠F1PF2∈[0,2π3]，存在点P使得PF1⋅PF2=0，正确；
③椭圆C的离心率为e=ca=32，正确；
④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为(±1,0)，所以|PQ|∈[0,a+1]=[0,3]，故P,Q的最大距离为3，正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x28+y22=1B．x22+y28=1C．x2174+y217=1D．x217+y2174=1
【解题思路】分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点(2,1)求解即可.
【解答过程】①当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由椭圆C的离心率为32，得a2=4b2，所以椭圆C的方程为x24b2+y2b2=1，
因为椭圆过点(2,1)，所以44b2+1b2=1，b2=2，a2=8，椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
②当椭圆C的焦点在y轴上时，设椭圆方程为y2m2+x2n2=1(m>n>0)，
由椭圆C的离心率为32，得m2=4n2，所以椭圆C的方程为y24n2+x2n2=1，
因为椭圆过点(2,1)，所以14n2+4n2=1，n2=174，m2=17，椭圆C的标准方程为x2174+y217=1.
故选：AC.
10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米B．椭圆的短轴长为M+RN+R千米
C．椭圆的焦距为M−N千米D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米
【解题思路】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组a+c=M+Ra−c=N+R，可求得a=M+N+2R2c=M−N2，由此求得椭圆的短轴，长轴以及焦距，从而可判断每个选项的正误;
【解答过程】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a+c=M+Ra−c=N+R
解得a=M+N+2R2c=M−N2 ,
所以b2=a2−c2=a−ca+c=N+RM+R，
故椭圆的短轴长为2N+RM+R千米，A正确，B错误；
2a=M+N+2R,2c=M−N，故C正确，D正确,
故选:ACD.
11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为x216+y212=1
B．PF2的最大值为4+3
C．当PF1=3时，PF2=5
D．椭圆x24+y2=1的形状比椭圆C的形状更接近于圆
【解题思路】根据离心率计算得到a=4，b=23，得到椭圆方程，计算PF2的最大值6，B错误，根据椭圆性质得到C正确，根据离心率的大小关系得到D错误，得到答案.
【解答过程】e=ca=12，c=2，故a=4，b=a2−c2=23，故椭圆C的方程为x216+y212=1，A正确；
PF2的最大值为4+3为a+c=6，B错误；
PF1+PF2=2a=8，故当PF1=3时，PF2=5，C正确；
椭圆x24+y2=1的离心率为32>12，故椭圆C的形状更接近于圆，D错误.
故选：AC.
12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为3−12B．该椭圆的离心率为2−3
C．该椭圆的焦距为32−63D．该椭圆的焦距为23−1
【解题思路】先求得BF1，结合椭圆的知识以及正弦定理求得a,c，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【解答过程】sin60°+45°=sin60°cs45°+cs60°sin45°=6+24，
如图，A,B分别是椭圆的左､右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为该圆的圆心.
因为BD=DF1=1,DF1⊥BC，所以BF1=2，
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a+c=2.
因为∠A=60∘,∠B=45∘,BC=2,AB=2a，
由正弦定理得2sin60∘=2asin60∘+45∘，
解得a=32+66，所以c=2−a=32−66，
所以ca=32−632+6=2−3,2c=32−63.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，则k的值为 31或49 ．
【解题思路】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求k.
【解答过程】因为椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，所以c＝3．
当椭圆的焦点在x轴上时，因为a2=40，b2=k，所以c=40−k=3，解得k＝31；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为a2=k，b2=40，所以c=k−40=3，解得k＝49．
综上所述，k的值为31或49．
故答案为：31或49.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 y216+x29=1 ．
【解题思路】求出椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【解答过程】椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点分别为(−3,0),(3,0),(0,4),(0,−4)，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1,(a>b>0)，
则{a2=16b2=9，
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为y216+x29=1，
故答案为：y216+x29=1.
15．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且BF=2FM，则该椭圆的离心率是 33 ．
【解题思路】设出M的坐标，由BF=2FM得BF=2FM，从而得到M32c,−b2，把点M的坐标代入椭圆的方程，求解即可．
【解答过程】设M的坐标为x,y，由题知F(c,0)
∴BF=(c,−b),FM=(x−c,y)
∵BF=2FM，∴BF=2FM
∴c=2(x−c)−b=2y，即x=32cy=−b2，∴M32c,−b2
把点M的坐标代入椭圆的方程得32c2a2+−b22b2=1
∴9c24a2+14=1，∴c2a2=13，∴e=ca=33．
故答案为：33．
16．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 ②④ ．（填序号）
①椭圆C的离心率为35； ②存在点A使得AF1⊥AF2；
③若AF2+BF2=8，则AB=12； ④△AF1F2面积的最大值为12．
【解题思路】对于①，根据方程求出a,b,c，再求离心率，对于②，设A=(3cst,5sint)，表示出F1A,F2A，然后求F1A⋅F2A=0，判断方程是否有解即可，对于③，利用椭圆的定义求解，对于④，利用椭圆的性质求解.
【解答过程】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为e=ca=45，故①错误．
对②，设A=(3cst,5sint)，得椭圆的参数方程为{x=3csty=5sint（t为参数），F1(0,4)，F2(0,−4)，所以F1A=(3cst,5sint−4)，F2A=(3cst,5sint+4)．若存在点A使AF1⊥AF2，则F1A⋅F2A=0，即9cs2t+25sin2t−16=0，得sint=±74有解，故存在点A使AF1⊥AF2，故②正确．
对③，因为|AB|=12>2a=10，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时△AF1F2的面积最大，所以(S△AF1F2)max=12×2×4×3=12，故④正确．
故答案为：②④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)x2+9y2=9；
(2)4x2+2y2=16．
【解题思路】把椭圆方程化为标准方程，结合a,b,c的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【解答过程】(1)
x2+9y2=9整理为：x29+y2=1，焦点在x轴上，则a=3，b=1，c=a2−b2=22，所以长轴长为2a=6，短轴长为2b=2，离心率ca=223，焦点为−22,0与22,0，顶点坐标为3,0，−3,0，0,1，0,−1
(2)
4x2+2y2=16，整理为：x24+y28=1，焦点在y轴上，则
a=22,b=2，c2=a2−b2=8−4=4，
所以c=2，长轴长为2a=42，短轴长为2b=4，离心率ca=222=22，焦点为0,2,0,−2，顶点坐标为0,22,0,−22,2,0,−2,0.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
(3)经过点P−23,1，Q3,−2两点；
(4)与椭圆x24+y23=1有相同离心率，且经过点2,−3.
【解题思路】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入A点坐标可得答案；
（2）根据a=2ca−c=3和b2=a2−c2可得答案；
（3）设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入P、Q坐标可得答案；
（4）椭圆x24+y23=1的离心率是a2=4,b2=3，所以c2=a2−b2=1，分焦点在x轴、焦点在y轴，利用e=12和过点2，−3可得答案.
【解答过程】（1）
若焦点在x轴上，设方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9a2=1得a=3，
∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程为x29+y2=1，
若焦点在y轴上，
设方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9b2=1得b=3，
又2a=3×2b，∴a=9，∴方程为x29+y281=1.
综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或x29+y281=1；
（2）
由已知，有a=2ca−c=3解得a=23c=3，b2=a2−c2=9，
若焦点在y轴上，则x29+y212=1，
若焦点在x轴上，x212+y29=1，
∴所求椭圆方程为x212+y29=1或x29+y212=1；
（3）
设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
则有12m+n=13m+4n=1，解得m=115n=15，
则所求椭圆方程为x215+y25=1；
（4）
椭圆x24+y23=1的离心率是a2=4,b2=3，所以c2=a2−b2=1，e=12，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是x2a2+y2b2=1a>b>0，
∴ca=12a2=b2+c24a2+3b2=1，解得a2=8b2=6，
∴所求椭圆方程为x28+y26=1；
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，
∴ca=12a2=b2+c23a2+4b2=1，解得a2=253b2=254，
∴椭圆的标准方程为x2254+y2253=1，
故所求椭圆标准方程为x28+y26=1或x2254+y2253=1.
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0、F22,0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xP的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知条件求得c,a,b，从而求得椭圆C的方程.
（2）由PA⋅PB<0，结合椭圆方程来求得xP的取值范围.
【解答过程】（1）
依题意，c=2,ca=23,a=3,b=a2−c2=5，
所以椭圆C的方程为x29+y25=1.
（2）
依题意，PA=−3−xP,−yP,PB=3−xP,−yP，
由于∠APB是钝角，所以PA⋅PB=xP2−9+yP2<0①，
由于PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，
所以0将②代入①得xP2−9+5−59xP2=49xP2−4<0,xP2<9，−3所以xP的取值范围是0,3.
20．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为22，离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.
【解题思路】（1）由题意可得2c=22，e=ca=2a=22，求出a，再由 b=a2−c2求出b，从而可求得椭圆方程，
（2）设Bx0,y0，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可
【解答过程】(1)
依题意，得2c=22⇒c=2，离心率e=ca=2a=22⇒a=2，
所以b=a2−c2=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
(2)
设Bx0,y0，则x024+y022=1，则有−2≤y0≤2
所以x02=41−y022=4−2y02，
由两点间的距离公式，得|AB|2=x02+y0−12=41−y022+y0−12
=−y02−2y0+5=−(y0+1)2+6，
因为−2≤y0≤2，
所以当y0=−1,x0=±2时，线段|AB|的长度最大，为6.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
【解题思路】（1）首先椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，根据题意得到2a=8，2c=4，再计算b的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到PA=5，PB=3，设Px,y，得到x+22+y2=25x−22+y2=9，再解方程组即可.
【解答过程】（1）
设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为2a=8，2c=4，
所以a=4，c=2，b=a2−c2=23，
于是椭圆C的方程为x216+y212=1．
（2）
易知A−2,0，B2,0．
因为PA:PB=5:3，PA+PB=8，
所以PA=5，PB=3．
设Px,y，则x+22+y2=25x−22+y2=9，解得x=2,y=±3,
所以点P的坐标为2,3或2,−3．
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点F1，F2，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
【解题思路】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可.
【解答过程】设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．
作出几何体的轴截面图，如图所示，
点M，N是P圆柱内两个内切球的球心，F1，F2是椭圆的两个焦点，其中O是O1O2与F1F2的交点，PQ⊥O1O2．
根据圆的切线的性质，可得MF2⊥AB，NF1⊥AB，
由题意，可知OO1=OO2=6，MF2=MO1=NO2=NF1=2，
所以OM=ON=4，
所以OF1=OF2=|OM|2−MF22=23，即c=23，
所以在△OMF2中，sin∠MOF2=24=12，则∠MOF2=30°，
所以∠AOQ=60°，
所以|OA|=|OQ|cs∠AOQ=212=4，即a＝4，
所以椭圆的离心率e=ca=234=32．
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23=1和C2:x25+y24=1，则C1和C2哪个图形更为扁平（ ）
A．C1B．C2
C．相同D．无法判断
2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且短半轴长为25的椭圆方程是（ ）
A．x225+y220=1B．y225+x220=1C．y245+x220=1D．y285+x280=1
4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
5．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在C上，且关于原点对称.若直线AP,AQ的斜率之积为−12，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为C上的动点，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．514B．154C．−134D．−154
7．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．32
8．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF1的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得PF1⋅PF2=0；
③椭圆C的离心率为32；
④P为椭圆x24+y2=1一点，Q为圆x2+y2=1上一点，则点P,Q的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x28+y22=1B．x22+y28=1C．x2174+y217=1D．x217+y2174=1
10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米B．椭圆的短轴长为M+RN+R千米
C．椭圆的焦距为M−N千米D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米
11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为x216+y212=1
B．PF2的最大值为4+3
C．当PF1=3时，PF2=5
D．椭圆x24+y2=1的形状比椭圆C的形状更接近于圆
12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为3−12B．该椭圆的离心率为2−3
C．该椭圆的焦距为32−63D．该椭圆的焦距为23−1
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，则k的值为 ．
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 ．
15．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且BF=2FM，则该椭圆的离心率是 ．
16．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 ．（填序号）
①椭圆C的离心率为35； ②存在点A使得AF1⊥AF2；
③若AF2+BF2=8，则AB=12； ④△AF1F2面积的最大值为12．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)x2+9y2=9；
(2)4x2+2y2=16．
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
(3)经过点P−23,1，Q3,−2两点；
(4)与椭圆x24+y23=1有相同离心率，且经过点2,−3.
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0、F22,0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xP的取值范围．
20．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为22，离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点F1，F2，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
专题3.4 椭圆的简单几何性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（上海市高二课时练习）离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆C1:x24+y23=1和C2:x25+y24=1，则C1和C2哪个图形更为扁平（ ）
A．C1B．C2
C．相同D．无法判断
【解题思路】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.
【解答过程】在椭圆C1:x24+y23=1中，a=2,b=3，∴c=a2−b2=4−3=1，∴e1=ca=12.
在椭圆C2:x25+y24=1中，a=5,b=2，∴c=a2−b2=5−4=1，∴e2=ca=15=55.
∵e1=12>15=e2， ∴椭圆C1:x24+y23=1的图形更为扁平一些.
故选：A.
2．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得a,b,c以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1，
其焦点在x轴上，a1=2，b1=1，则c1=a12−b12=1，所以e1=c1a1=12=22．
将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1，其焦点在y轴上，a2=1，b2=22，
则c2=a22−b22=22，所以e2=c2a2=221=22，
故选:D．
3．（3分）(2023·四川·高二期中（文））与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且短半轴长为25的椭圆方程是（ ）
A．x225+y220=1B．y225+x220=1C．y245+x220=1D．y285+x280=1
【解题思路】求出椭圆9x2+4y2=36的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.
【解答过程】椭圆9x2+4y2=36的标准方程为y29+x24=1，该椭圆的焦点坐标为0,±5，
设所求椭圆的长半轴长为a，则a=252+5=5，
故所求椭圆的标准方程为y225+x220=1.
故选：B.
4．（3分）(2023·上海·高二期末）下列关于曲线Γ:x29+y4=1的结论正确的是（ ）
A．曲线Γ是椭圆B．y的取值范围是[−3,3]
C．关于直线y=x对称D．曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6
【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得y4≤1，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.
【解答过程】解：因为曲线Γ:x29+y4=1，不是椭圆方程，
所以曲线Γ不是椭圆，故A正确；
因为曲线Γ:x29+y4=1，
所以y4≤1，所以y∈−1,1，故B错误；
曲线Γ:x29+y4=1与x轴正半轴的交点坐标为3,0，
若曲线Γ:x29+y4=1关于直线y=x对称，
则点0,3也在曲线Γ:x29+y4=1上，
又09+9=9≠1，所以点0,3不在曲线Γ:x29+y4=1上，
所以曲线Γ:x29+y4=1不关于直线y=x对称，故C错误；
对于D，曲线Γ:x29+y4=1与坐标轴的交点坐标为±3,0,0,±1，
则以±3,0,0,±1四点为顶点的四边形的面积为12×6×2=6，
所以曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.
故选：D.
5．（3分）(2023·全国·高三阶段练习（理））椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P,Q均在C上，且关于原点对称.若直线AP,AQ的斜率之积为−12，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
【解题思路】设P(x0,y0),Q(−x0,−y0)，再根据直线AP,AQ的斜率之积为−12列式，结合椭圆的方程化简即可.
【解答过程】设P(x0,y0),Q(−x0,−y0)且x0≠±a，则k1k2=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=−12.
又x02a2+y02b2=1，故y02=b2(a2−x02)a2，故−b2a2=−12，所以e=1−(ba)2=22.
故选：B.
6．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2m+y215=1的右焦点，点A2,352在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为C上的动点，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．514B．154C．−134D．−154
【解题思路】由题可得椭圆C:x216+y215=1，进而可得B0,−352，利用向量数量积的坐标表示可得PA⋅PB =x02−2x0+y02−454，再结合条件及二次函数的性质即求.
【解答过程】由题可得22m+352215=1，
∴m=16，即椭圆C:x216+y215=1，
∴F1,0，直线AF方程为y=352x−1，
∴B0,−352，又A2,352，
设Px0,y0，则x0216+y0215=1，PA=2−x0,352−y0,PB=−x0,−352−y0，
∴PA⋅PB=2−x0−x0+352−y0−352−y0
=x02−2x0+y02−454
=x02−2x0+15−1516x02−454
=116x0−162−494，又−4≤x0≤4，
∴当x0=4时，PA⋅PB有最小值为−134.
故选：C.
7．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）
A．13B．12C．22D．32
【解题思路】利用球的对称性，作出截面图，从而判断∴a=223=2R3，
【解答过程】
如图，l1,l2 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，
与底面交于点B,D，
∴AC=2R=22,R=11 ,
过C作CE//BD 交l1,l2于E,C,则CE=BD，
在△ACE 中，
CEsin90=ACsin60 ，∴CE=22×23=2a ，∴a=223=2R3 , b=22，
∴c=4R23−R2=33R，求出离心率.
那么椭圆中b=22 ，∴c=4R23−R2=33R ,
∴e=ca=3R32R3=12 .
故选：B.
8．（3分）(2023·内蒙古赤峰·三模（文））椭圆C:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF1的周长为8；
②椭圆C上存在点P，使得PF1⋅PF2=0；
③椭圆C的离心率为32；
④P为椭圆x24+y2=1一点，Q为圆x2+y2=1上一点，则点P,Q的最大距离为3.
则以下选项正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③④D．①②④
【解题思路】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求∠F1PF2的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断P,Q的距离范围，即可判断④.
【解答过程】由题设，椭圆参数为a=2,b=1,c=3，且F1(−3,0)、F2(3,0)，
①由椭圆定义知：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4，则△ABF1的周长为8，正确；
②当P在y轴上时，|PF1|=|PF2|=a=2，而|F1F2|=2c=23，此时cs∠F1PF2=4+4−128=−12，易知∠F1PF2为120°，故∠F1PF2∈[0,2π3]，存在点P使得PF1⋅PF2=0，正确；
③椭圆C的离心率为e=ca=32，正确；
④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为(±1,0)，所以|PQ|∈[0,a+1]=[0,3]，故P,Q的最大距离为3，正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆C的离心率为32，且过点(2,1)，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．x28+y22=1B．x22+y28=1C．x2174+y217=1D．x217+y2174=1
【解题思路】分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点(2,1)求解即可.
【解答过程】①当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由椭圆C的离心率为32，得a2=4b2，所以椭圆C的方程为x24b2+y2b2=1，
因为椭圆过点(2,1)，所以44b2+1b2=1，b2=2，a2=8，椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
②当椭圆C的焦点在y轴上时，设椭圆方程为y2m2+x2n2=1(m>n>0)，
由椭圆C的离心率为32，得m2=4n2，所以椭圆C的方程为y24n2+x2n2=1，
因为椭圆过点(2,1)，所以14n2+4n2=1，n2=174，m2=17，椭圆C的标准方程为x2174+y217=1.
故选：AC.
10．（4分）(2023·吉林·高二开学考试）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚，王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面N千米，远地点距地面M千米，地球半径为R千米，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为2N+RM+R千米B．椭圆的短轴长为M+RN+R千米
C．椭圆的焦距为M−N千米D．椭圆的长轴长为M+N+2R千米
【解题思路】根据远地点以及近地点的距离，列出方程组a+c=M+Ra−c=N+R，可求得a=M+N+2R2c=M−N2，由此求得椭圆的短轴，长轴以及焦距，从而可判断每个选项的正误;
【解答过程】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a+c=M+Ra−c=N+R
解得a=M+N+2R2c=M−N2 ,
所以b2=a2−c2=a−ca+c=N+RM+R，
故椭圆的短轴长为2N+RM+R千米，A正确，B错误；
2a=M+N+2R,2c=M−N，故C正确，D正确,
故选:ACD.
11．（4分）(2023·山东滨州·高二期末）已知椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0，F22,0，离心率为12，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为x216+y212=1
B．PF2的最大值为4+3
C．当PF1=3时，PF2=5
D．椭圆x24+y2=1的形状比椭圆C的形状更接近于圆
【解题思路】根据离心率计算得到a=4，b=23，得到椭圆方程，计算PF2的最大值6，B错误，根据椭圆性质得到C正确，根据离心率的大小关系得到D错误，得到答案.
【解答过程】e=ca=12，c=2，故a=4，b=a2−c2=23，故椭圆C的方程为x216+y212=1，A正确；
PF2的最大值为4+3为a+c=6，B错误；
PF1+PF2=2a=8，故当PF1=3时，PF2=5，C正确；
椭圆x24+y2=1的离心率为32>12，故椭圆C的形状更接近于圆，D错误.
故选：AC.
12．（4分）(2023·广东·高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为3−12B．该椭圆的离心率为2−3
C．该椭圆的焦距为32−63D．该椭圆的焦距为23−1
【解题思路】先求得BF1，结合椭圆的知识以及正弦定理求得a,c，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【解答过程】sin60°+45°=sin60°cs45°+cs60°sin45°=6+24，
如图，A,B分别是椭圆的左､右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为该圆的圆心.
因为BD=DF1=1,DF1⊥BC，所以BF1=2，
设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a+c=2.
因为∠A=60∘,∠B=45∘,BC=2,AB=2a，
由正弦定理得2sin60∘=2asin60∘+45∘，
解得a=32+66，所以c=2−a=32−66，
所以ca=32−632+6=2−3,2c=32−63.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）若椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，则k的值为 31或49 ．
【解题思路】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求k.
【解答过程】因为椭圆x240+y2k=1k>0的焦距为6，所以c＝3．
当椭圆的焦点在x轴上时，因为a2=40，b2=k，所以c=40−k=3，解得k＝31；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为a2=k，b2=40，所以c=k−40=3，解得k＝49．
综上所述，k的值为31或49．
故答案为：31或49.
14．（4分）(2023·全国·高二课时练习）以椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 y216+x29=1 ．
【解题思路】求出椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【解答过程】椭圆x225+y216=1的两个焦点和短轴的两个顶点分别为(−3,0),(3,0),(0,4),(0,−4)，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1,(a>b>0)，
则{a2=16b2=9，
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为y216+x29=1，
故答案为：y216+x29=1.
15．（4分）(2023·福建省高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为B0,b，右焦点为F，直线BF与椭圆的另一个交点为M，且BF=2FM，则该椭圆的离心率是 33 ．
【解题思路】设出M的坐标，由BF=2FM得BF=2FM，从而得到M32c,−b2，把点M的坐标代入椭圆的方程，求解即可．
【解答过程】设M的坐标为x,y，由题知F(c,0)
∴BF=(c,−b),FM=(x−c,y)
∵BF=2FM，∴BF=2FM
∴c=2(x−c)−b=2y，即x=32cy=−b2，∴M32c,−b2
把点M的坐标代入椭圆的方程得32c2a2+−b22b2=1
∴9c24a2+14=1，∴c2a2=13，∴e=ca=33．
故答案为：33．
16．（4分）(2023·全国·高二单元测试）若F1、F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 ②④ ．（填序号）
①椭圆C的离心率为35； ②存在点A使得AF1⊥AF2；
③若AF2+BF2=8，则AB=12； ④△AF1F2面积的最大值为12．
【解题思路】对于①，根据方程求出a,b,c，再求离心率，对于②，设A=(3cst,5sint)，表示出F1A,F2A，然后求F1A⋅F2A=0，判断方程是否有解即可，对于③，利用椭圆的定义求解，对于④，利用椭圆的性质求解.
【解答过程】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为e=ca=45，故①错误．
对②，设A=(3cst,5sint)，得椭圆的参数方程为{x=3csty=5sint（t为参数），F1(0,4)，F2(0,−4)，所以F1A=(3cst,5sint−4)，F2A=(3cst,5sint+4)．若存在点A使AF1⊥AF2，则F1A⋅F2A=0，即9cs2t+25sin2t−16=0，得sint=±74有解，故存在点A使AF1⊥AF2，故②正确．
对③，因为|AB|=12>2a=10，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时△AF1F2的面积最大，所以(S△AF1F2)max=12×2×4×3=12，故④正确．
故答案为：②④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）(2023·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)x2+9y2=9；
(2)4x2+2y2=16．
【解题思路】把椭圆方程化为标准方程，结合a,b,c的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【解答过程】(1)
x2+9y2=9整理为：x29+y2=1，焦点在x轴上，则a=3，b=1，c=a2−b2=22，所以长轴长为2a=6，短轴长为2b=2，离心率ca=223，焦点为−22,0与22,0，顶点坐标为3,0，−3,0，0,1，0,−1
(2)
4x2+2y2=16，整理为：x24+y28=1，焦点在y轴上，则
a=22,b=2，c2=a2−b2=8−4=4，
所以c=2，长轴长为2a=42，短轴长为2b=4，离心率ca=222=22，焦点为0,2,0,−2，顶点坐标为0,22,0,−22,2,0,−2,0.
18．（6分）（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
(3)经过点P−23,1，Q3,−2两点；
(4)与椭圆x24+y23=1有相同离心率，且经过点2,−3.
【解题思路】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入A点坐标可得答案；
（2）根据a=2ca−c=3和b2=a2−c2可得答案；
（3）设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入P、Q坐标可得答案；
（4）椭圆x24+y23=1的离心率是a2=4,b2=3，所以c2=a2−b2=1，分焦点在x轴、焦点在y轴，利用e=12和过点2，−3可得答案.
【解答过程】（1）
若焦点在x轴上，设方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9a2=1得a=3，
∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程为x29+y2=1，
若焦点在y轴上，
设方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9b2=1得b=3，
又2a=3×2b，∴a=9，∴方程为x29+y281=1.
综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或x29+y281=1；
（2）
由已知，有a=2ca−c=3解得a=23c=3，b2=a2−c2=9，
若焦点在y轴上，则x29+y212=1，
若焦点在x轴上，x212+y29=1，
∴所求椭圆方程为x212+y29=1或x29+y212=1；
（3）
设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
则有12m+n=13m+4n=1，解得m=115n=15，
则所求椭圆方程为x215+y25=1；
（4）
椭圆x24+y23=1的离心率是a2=4,b2=3，所以c2=a2−b2=1，e=12，
当焦点在x轴上时，
设所求椭圆的方程是x2a2+y2b2=1a>b>0，
∴ca=12a2=b2+c24a2+3b2=1，解得a2=8b2=6，
∴所求椭圆方程为x28+y26=1；
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，
∴ca=12a2=b2+c23a2+4b2=1，解得a2=253b2=254，
∴椭圆的标准方程为x2254+y2253=1，
故所求椭圆标准方程为x28+y26=1或x2254+y2253=1.
19．（8分）(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C的离心率为23，焦点F1−2,0、F22,0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A−3,0、B3,0，PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，且∠APB是钝角，求xP的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知条件求得c,a,b，从而求得椭圆C的方程.
（2）由PA⋅PB<0，结合椭圆方程来求得xP的取值范围.
【解答过程】（1）
依题意，c=2,ca=23,a=3,b=a2−c2=5，
所以椭圆C的方程为x29+y25=1.
（2）
依题意，PA=−3−xP,−yP,PB=3−xP,−yP，
由于∠APB是钝角，所以PA⋅PB=xP2−9+yP2<0①，
由于PxP,yP是椭圆C在第一象限部分上的一动点，
所以0
20．（8分）（2023·广东·高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为22，离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A0,1，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.
【解题思路】（1）由题意可得2c=22，e=ca=2a=22，求出a，再由 b=a2−c2求出b，从而可求得椭圆方程，
（2）设Bx0,y0，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可
【解答过程】(1)
依题意，得2c=22⇒c=2，离心率e=ca=2a=22⇒a=2，
所以b=a2−c2=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
(2)
设Bx0,y0，则x024+y022=1，则有−2≤y0≤2
所以x02=41−y022=4−2y02，
由两点间的距离公式，得|AB|2=x02+y0−12=41−y022+y0−12
=−y02−2y0+5=−(y0+1)2+6，
因为−2≤y0≤2，
所以当y0=−1,x0=±2时，线段|AB|的长度最大，为6.
21．（8分）(2023·全国·高二课时练习）某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆C的方程；
(2)某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
【解题思路】（1）首先椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，根据题意得到2a=8，2c=4，再计算b的值即可得到答案.
（2）根据已知条件得到PA=5，PB=3，设Px,y，得到x+22+y2=25x−22+y2=9，再解方程组即可.
【解答过程】（1）
设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为2a=8，2c=4，
所以a=4，c=2，b=a2−c2=23，
于是椭圆C的方程为x216+y212=1．
（2）
易知A−2,0，B2,0．
因为PA:PB=5:3，PA+PB=8，
所以PA=5，PB=3．
设Px,y，则x+22+y2=25x−22+y2=9，解得x=2,y=±3,
所以点P的坐标为2,3或2,−3．
22．（8分）(2023·全国·高三专题练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点F1，F2，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．
【解题思路】作出截面，根据平面与球相切的性质，结合直角三角形中各边的关系与勾股定理等，求解椭圆的基本量即可.
【解答过程】设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．
作出几何体的轴截面图，如图所示，
点M，N是P圆柱内两个内切球的球心，F1，F2是椭圆的两个焦点，其中O是O1O2与F1F2的交点，PQ⊥O1O2．
根据圆的切线的性质，可得MF2⊥AB，NF1⊥AB，
由题意，可知OO1=OO2=6，MF2=MO1=NO2=NF1=2，
所以OM=ON=4，
所以OF1=OF2=|OM|2−MF22=23，即c=23，
所以在△OMF2中，sin∠MOF2=24=12，则∠MOF2=30°，
所以∠AOQ=60°，
所以|OA|=|OQ|cs∠AOQ=212=4，即a＝4，
所以椭圆的离心率e=ca=234=32．
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