数学选择性必修 第一册3.2 双曲线当堂检测题

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线当堂检测题，共21页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，双曲线的离心率，双曲线中的最值问题等内容，欢迎下载使用。

1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
5．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 曲线方程与双曲线】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】(2023·四川南充·三模（理））设θ∈0,2π，则“方程x23+y24sinθ=1表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．θ∈0,πB．θ∈2π3,2π
C．θ∈π,3π2D．θ∈π2,3π2
【变式1-1】（2023·山东·高三开学考试）命题p：“30,b>0的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，F1F2=2OP，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为（ ）
A．x22−y22=1B．x24−y24=1C．x26−y26=1D．x28−y28=1
【题型4 双曲线的渐近线方程】
【方法点拨】
根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用
渐近线方程的公式求解.
【例4】(2023·江西·高三开学考试（文））双曲线y2a2−x2=1的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A．x±4y=0B．4x±y=0
C．x±2y=0D．2x±y=0
【变式4-1】(2023·河南·高三阶段练习（文））若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±12xB．y=±3xC．y=±5xD．y=±2x
【变式4-2】(2023·海南高三阶段练习）若双曲线x2a2−y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±3xC．y=±13xD．y=±33x
【变式4-3】(2023·河南安阳·模拟预测（文））若直线y=12x−1与双曲线C:ax2−y2=1的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A．14B．4C．12D．2
【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【方法点拨】
求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：
①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；
②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.
【例5】(2023·浙江·高二期中）已知双曲线x2a2−y2b2=1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足FQ=QP，则双曲线的离心率为（ ）
A．5−1B．3C．2D．2
【变式5-1】(2023·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（ ）
A．6B．5C．62D．52
【变式5-2】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【变式5-3】(2023·全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0的公共焦点，曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90∘，若椭圆的离心率e1∈63,1，则双曲线的离心率e2的范围是（ ）
A．1,2B．1,3C．3,+∞D．2,+∞
【题型6 双曲线中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线3x−y=0，C的右顶点坐标为1,0，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为3,5，则MA+MF的最小值为（ ）
A．26−1B．26C．26+1D．26+2
【变式6-1】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0, b>0的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10−3，则双曲线上的点到点A5, 0的最小距离为（ ）
A．1B．62C．2D．6
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点F1(−5,0)，F2(5,0)．设点P满足|PF1|−|PF2|=6，且|MF1|=2，|NF2|=1，则|PM|−|PN|的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线x28−y24=1上的动点，F1，F2为该双曲线的左右焦点，O为坐标原点，则|PF1|+|PF2||OP|的最大值为（ ）
A．22B．2C．2D．6
专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
5．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 曲线方程与双曲线】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】(2023·四川南充·三模（理））设θ∈0,2π，则“方程x23+y24sinθ=1表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．θ∈0,πB．θ∈2π3,2π
C．θ∈π,3π2D．θ∈π2,3π2
【解题思路】求出方程x23+y24sinθ=1表示双曲线的必要不充分条件θ的范围可得答案.
【解答过程】由θ∈0,2π，方程x23+y24sinθ=1表示双曲线，
则sinθ0 的焦点c,0 到渐近线：y=bax ，即bx−ay=0 的距离为：d=bca2+b2=bcc= b=3，而c=2，
从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.
故选：B.
【变式4-3】(2023·河南安阳·模拟预测（文））若直线y=12x−1与双曲线C:ax2−y2=1的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A．14B．4C．12D．2
【解题思路】利用两直线垂直时斜率的关系及其双曲线的渐近线方程即可求解.
【解答过程】由已知得：
双曲线的方程为x21a−y2=1，其渐近方程为 y=±ax，
∵直线y=12x−1与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为−2，
∴ a=2 ，
∴ a=4，
故选：B.
【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【方法点拨】
求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：
①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；
②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.
【例5】(2023·浙江·高二期中）已知双曲线x2a2−y2b2=1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足FQ=QP，则双曲线的离心率为（ ）
A．5−1B．3C．2D．2
【解题思路】设P在渐近线y=−bax上，直线FP的方程为y=ab(x+c)，联立求得P−a2c,abc，由FQ=QP，求得Q−a22c−c2,ab2c，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【解答过程】设P在渐近线y=−bax上，直线FP的方程为y=ab(x+c)，
由y=−baxy=ab(x+c)，得x=−a2cy=abc,即P−a2c,abc，
由FQ=QP，得Q为FP的中点，又因为F−c,0
所以Q−a22c−c2,ab2c，
因为Q在双曲线上，所以(c2+a2)24a2c2−a24c2=1,化简得：c2=2a2,
e=ca=2.
故选：C.
【变式5-1】(2023·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（ ）
A．6B．5C．62D．52
【解题思路】由题意设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则其渐近线方程为y=±bax，将(4,2)代入y=bax中可求出ba，从而由e=ca=1+ba2可求出离心率.
【解答过程】由题意设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则其渐近线方程为y=±bax，
因为双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，
所以2=4ba，所以ba=12，
所以离心率e=ca=1+ba2=1+122=52，
故选：D.
【变式5-2】(2023·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【解题思路】根据渐近线方程得ba=22，再根据关系式c2=a2+b2，求双曲线的离心率.
【解答过程】由条件可知ba=22，
所以离心率ca=1+b2a2=3.
故选：A.
【变式5-3】(2023·全国·高二专题练习）设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0的公共焦点，曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90∘，若椭圆的离心率e1∈63,1，则双曲线的离心率e2的范围是（ ）
A．1,2B．1,3C．3,+∞D．2,+∞
【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出MF1,MF2，由勾股定理即可得到e1,e2的关系，从而解出．
【解答过程】由题意可得，MF1+MF2=2a1，MF1−MF2=2a2，
解得：MF1=a1+a2，MF2=a1−a2，
因为∠F1MF2=90∘，
所以MF12+MF22=4c2，
即a12+a22=2c2，
亦即1e12+1e22=2，
所以e2=12−1e12∈1,2．
故选：A．
【题型6 双曲线中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线3x−y=0，C的右顶点坐标为1,0，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为3,5，则MA+MF的最小值为（ ）
A．26−1B．26C．26+1D．26+2
【解题思路】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当A、M、F三点共线时MA+MF取得最小值AF，利用两点坐标求距离公式计算即可.
【解答过程】设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)，则a=1ba=3，所以a=1b=3，
双曲线方程为x2−y23=1，由32−y23=1，得y=±26，5>26，
因此A(3,5)在双曲线外部（不含焦点的部分），
又c=1+3=2，所以F(2,0)，
在△AMF中，由三边之间的关系可知当M是线段AF与双曲线的交点，
即A、M、F三点共线时，MA+MF取得最小值，
且最小值为AF=(3−2)2+(5−0)2=26，
故选：B.
【变式6-1】(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0, b>0的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10−3，则双曲线上的点到点A5, 0的最小距离为（ ）
A．1B．62C．2D．6
【解题思路】利用已知条件求得a、c的值，可得出b的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得双曲线上的点到点A5, 0的最小距离.
【解答过程】由已知可得ca=103，c−a=10−3，可得c=10，a=3，b2=c2−a2=1，
所以，双曲线的方程为x29−y2=1，
设Px,y是双曲线x29−y2=1上的点，则y2=x29−1，且x≤−3或x≥3，
则AP=x−52+y2=10x29−10x+24=10x29−x+24=10x3−322+32，
所以当x=92时，APmin=32=62.
故选：B.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点F1(−5,0)，F2(5,0)．设点P满足|PF1|−|PF2|=6，且|MF1|=2，|NF2|=1，则|PM|−|PN|的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解题思路】由题意可知双曲线的实轴长为6，焦距为10，从而可得双曲线的方程为x29−y216=1，再由|MF1|=2可知M在圆F1:(x+5)2+y2=4上，由|NF2|=1可知N在圆F2:(x−5)2+y2=1上，画出图形，由图可知|PM|≤|PF1|+2，|PN|≥|PF2|−1，再结合双曲线的定义可得答案
【解答过程】解：因为|PF1|−|PF2|=6