新高考高中数学核心知识点全透视专题4.1指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.1指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了1 指数与指数函数，已知函数，有限制条件的根式化简的步骤等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
三、主干知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
【特别说明】：
(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．
(2)(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
eq \r(n,a)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n为偶数，a为非负实数,n为奇数，a为任意实数，且\r(n,a)符号与a的符号一致))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
二、真题展示
1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·湖南高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
考点01 根式的化简与求值
【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）49的平方根为7； （2）＝a(a≥0)；
（3）； （4） ．
A．1B．2
C．3D．4
【典例2】化简下列各式：
(1)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)(－31
01；
当x>0时，恒有0a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
二、真题展示
1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
2.（2023·湖南高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）答案见解析；（2）
分析：
（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；
（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.
【详解】
（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
考点01 根式的化简与求值
【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）49的平方根为7； （2）＝a(a≥0)；
（3）； （4） ．
A．1B．2
C．3D．4
答案：A
分析：
（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为；（4）符号错误
【详解】
49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；，（3）错；，(4)错，正确个数为1个，
故选：A
【典例2】化简下列各式：
(1)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)(－3