新高考高中数学核心知识点全透视专题6.1概率(必修)(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题6.1概率(必修)(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了1 概率，古典概型，了解事件的独立性，事件的独立性，3B．0等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．
2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．
4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的
区别.
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.
2.古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.了解事件的独立性.
三、主干知识梳理
1．事件的分类
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4．事件与集合间的对应关系
5．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为eq \a\vs4\al(1).
(3)不可能事件的概率为eq \a\vs4\al(0).
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq \a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．
(6) 对于事件A与事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)-- P(A∩B)
6．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
7．古典概型
(1)古典概型的特点
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
8.事件的独立性
(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．
(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
(3)若，则与相互独立．
二、真题展示
1.（2023·江苏高考真题）逻辑表达式等于（ ）
A．B．C．D．
2. （2023·全国高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
考点01 随机事件间的关系
【典例1】（2023·全国高一课时练习）在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．
其中的随机事件有（ ）
A．①③B．③④C．②④D．①②
【典例2】（2023·全国高一课时练习）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（ ）
A．不可能事件B．必然事件
C．对立事件D．互斥且不对立事件
【典例3】（2023·全国）有下列说法：
（1）某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．
（2）某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．
（3）抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．
（4）围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．1
【总结提升】
1.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2.列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．
3.判断互斥事件、对立事件的2种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
（2）集合法：
= 1 \* GB3 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
= 2 \* GB3 ②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
考点02 随机事件的频率与概率
【典例4】（2023·全国）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在，之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【典例5】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的是________.(填序号)
①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
【总结提升】
1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
2.随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．
(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．
考点03 互斥事件与对立事件的概率
【典例6】(2023年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【典例7】【多选题】（2023·山东莱西·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（ ）
A．两人都中靶的概率为0.72
B．恰好有一人中靶的概率为0.18
C．两人都脱靶的概率为0.14
D．恰好有一人脱靶的概率为0.26
【典例8】（2023·天津一中高一期末）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.
【典例9】（2023·全国高一课时练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：
(1)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【总结提升】
求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
考点04 古典概型
【典例10】（2023·山东高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【典例11】（2023年高考全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【规律方法】
(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；
①基本事件个数有限，但非等可能．
②基本事件个数无限，但等可能．
③基本事件个数无限，也不等可能．
【易错提醒】
确定基本事件空间可以采用“树图法”、“列表法”，要注意确定的基本事件不重不漏.
考点05 古典概型与统计相结合
【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【典例13】(2023年文北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【典例14】(2023·北京文，17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【典例15】（2023·天津高考真题（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
【典例16】（2023·湖北荆门外语学校）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最好的方式.全国大､中､小学生都开始了网上学习.为了了解某校学生网上学习的情况，从该校随机抽取了40位同学，记录了他们每周的学习时间，其频率分布直方图如下：
（1）求的值并估计该班学生每周学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）在该样本中每周学习时间不少于50小时的同学中随机的抽取两人，其中这两人来自不同的组的概率是多少？
1.（2023·全国）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
2．（2023·山东高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9
4.（2023·全国高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·山东高三其他）宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·贵州高二学业考试）若A，B为对立事件，则下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·眉山市东坡区永寿高级中学高二期中（文））从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
8．（2023·山东高二期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A．B．C．D．
9．（2023·河北高二月考）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.
10．（2023·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
确定
事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件
不可能
事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件
随机
事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
事件
集合
必然事件
全集
不可能事件
空集(∅)
事件B包含于事件A(B⊆A)
集合B包含于集合A(B⊆A)
事件B与事件A相等(B＝A)
集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A)
集合B与集合A的并集(B∪A)
事件B与事件A的交事件(B∩A)
集合B与集合A的交集(B∩A)
事件B与事件A互斥(B∩A＝∅)
集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝∅)
事件A的对立事件
集合A的补集(∁UA)
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩(分)
乙的成绩(分)
专题6.1 概率（必修）（精讲精析篇）
一、核心素养
1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．
2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．
4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的
区别.
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.
2.古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
3.了解事件的独立性.
三、主干知识梳理
1．事件的分类
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4．事件与集合间的对应关系
5．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为eq \a\vs4\al(1).
(3)不可能事件的概率为eq \a\vs4\al(0).
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq \a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．
(6) 对于事件A与事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)-- P(A∩B)
6．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
7．古典概型
(1)古典概型的特点
①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
8.事件的独立性
(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．
(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
(3)若，则与相互独立．
二、真题展示
1.（2023·江苏高考真题）逻辑表达式等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
从集合角度去理解逻辑表达式
【详解】
如图，类似于，则类似于
故选：D.
2. （2023·全国高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
答案：C
分析：
利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】
解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
考点01 随机事件间的关系
【典例1】（2023·全国高一课时练习）在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．
其中的随机事件有（ ）
A．①③B．③④C．②④D．①②
答案：A
分析：
按照随机事件、必然事件、不可能事件的定义一一判断.
【详解】
由于在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，
则①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”，这件事根本不可能发生，故是不可能事件．
③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”，是一定要发生的事件，故是必然事件
故选：A．
【典例2】（2023·全国高一课时练习）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（ ）
A．不可能事件B．必然事件
C．对立事件D．互斥且不对立事件
答案：D
分析：
利用互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】
黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，
但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，
事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．
故选：D．
【典例3】（2023·全国）有下列说法：
（1）某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．
（2）某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．
（3）抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．
（4）围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．1
答案：D
分析：
某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是一样，这枚骰子的质地可能是不均匀的；天气预报中下雨的概率是指要下雨的把握有多大；根据事件的随机性，围棋盒里棋子有放回抽样，不一定有一次会摸到黑子.
【详解】
由题意得：某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，这枚骰子的质地可能是不均匀的，故（1）不正确；
某地气象局预报，明天本地下雨概率为，是指要下雨的把握有多大，故（2）不正确；
抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．根据相互独立事件同时发生的概率知（3）正确；
围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，不一定有一次会摸到黑子．（4）不正确．
综上可知，有1个说法是正确的，
故选：D．
【总结提升】
1.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2.列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．
3.判断互斥事件、对立事件的2种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
（2）集合法：
= 1 \* GB3 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
= 2 \* GB3 ②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
考点02 随机事件的频率与概率
【典例4】（2023·全国）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在，之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案：C
分析：
由概率和频率的有关概念求出结果.
【详解】
：任何事件的概率总是在，之间，故错误；
：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故错误；
：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故正确；
：概率是客观的，在试验前能确定，故错误．
故选：C．
【典例5】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的是________.(填序号)
①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
答案：①④⑤．
分析：
①根据频率和概率的定义可以判断．②根据实验时频率和概率的关系判断．③利用频率和概率的关系判断．④根据频率和概率的关系判断⑤由频率和概率的关系判断．
【详解】
解：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小所以①正确；
②频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以他们并不是一个值，所以②错误；
③理论上的百分率是概率，所以③错误；
④频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，所以④正确；
⑤频率的数值是通过实验完成的，是概率的近似值，概率是频率的稳定值．所以⑤正确．
所以正确的说法是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【总结提升】
1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
2.随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．
(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．
考点03 互斥事件与对立事件的概率
【典例6】(2023年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
答案：B
【解析】
设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.
【典例7】【多选题】（2023·山东莱西·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（ ）
A．两人都中靶的概率为0.72
B．恰好有一人中靶的概率为0.18
C．两人都脱靶的概率为0.14
D．恰好有一人脱靶的概率为0.26
答案：AD
分析：
由积事件的概率判断A，由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C，由互斥事件的和判断D.
【详解】
记“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，则两两独立.
因为，，所以，.
对于选项A：“两人都中靶”，，故A正确；
对于选项B：“恰好有一人中靶”，，故B不正确；
对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是，故C错误；
对于选项D：“恰好有一人脱靶”，由B知，概率为0.26，故D正确.
故选：AD
【典例8】（2023·天津一中高一期末）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.
答案：
【解析】
依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，
所以.
故答案为：.
【典例9】（2023·全国高一课时练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：
(1)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】
(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)= .
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖和一等奖”为事件E,则P(E)=1-P(A)-P(B)=1-.
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
【总结提升】
求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
考点04 古典概型
【典例10】（2023·山东高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】
甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．
故选：D
【典例11】（2023年高考全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，
则从这5只中任取3只的所有取法有，，共10种．
其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．
【规律方法】
(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；
①基本事件个数有限，但非等可能．
②基本事件个数无限，但等可能．
③基本事件个数无限，也不等可能．
【易错提醒】
确定基本事件空间可以采用“树图法”、“列表法”，要注意确定的基本事件不重不漏.
考点05 古典概型与统计相结合
【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
答案：(1)分别抽取3人，2人，2人．
(2)①{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②P(M )＝.
【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M )＝eq \f(5,21).
【典例13】(2023年文北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
【解析】
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为.
（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.
由古典概型概率公式得.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
【典例14】(2023·北京文，17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
答案：
【解析】分析：(1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率；
(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数；
(3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例．
详解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq \f(5,100)＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq \f(1,2)＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60：40＝3：2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3：2.
【典例15】（2023·天津高考真题（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
答案：（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【解析】
（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
【典例16】（2023·湖北荆门外语学校）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最好的方式.全国大､中､小学生都开始了网上学习.为了了解某校学生网上学习的情况，从该校随机抽取了40位同学，记录了他们每周的学习时间，其频率分布直方图如下：
（1）求的值并估计该班学生每周学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）在该样本中每周学习时间不少于50小时的同学中随机的抽取两人，其中这两人来自不同的组的概率是多少？
答案：（1），平均数：；（2）.
分析：
（1）根据小矩形面积之和为1求出a，进而用每个小矩形面积乘以对应底边的中点值，最后求和得到平均数；
（2）先分别算出组与组中抽取的人数，进而列举出所有情况，最后由古典概型公式算出答案.
【详解】
（1）
解得：
平均数为：
=
（2）组：人，记为
组：人，记为
从6人中任取两人：
基本事件总数为15种
来自不同的组：
共8种
所以这两人来自不同组的概率.
1.（2023·全国）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
答案：A
分析：
因为概率是在大量重复试验后，事件发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案．
【详解】
事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
2．（2023·山东高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】
5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
3．（2023·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9
答案：C
【解析】
因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.
4.（2023·全国高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解
【详解】
记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，
而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．
因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝.
故选：D
5.（2023·山东高三其他）宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
从八卦中任取两卦基本事件的总数28种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
6．（2023·贵州高二学业考试）若A，B为对立事件，则下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，
再由概率的加法公式得.
故选：D.
7．（2023·眉山市东坡区永寿高级中学高二期中（文））从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
答案：C
【解析】
对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;
对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;
对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;
对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.
故选C.
8．（2023·山东高二期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
9．（2023·河北高二月考）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.
答案：（1）见解析；（2）选方案二
【解析】
(1)解法一：甲的平均成绩为；
乙的平均成绩为，
甲的成绩方差；
乙的成绩方差为；
由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.
解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得以上(含分)的概率，乙获得分以上(含分)的概率
因为故派甲参赛比较合适，
(2)道备选题中学生乙会的道分别记为，，，不会的道分别记为，.
方案一：学生乙从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，共5种，抽中会的备选题的结果有，，，共3种.
所以学生乙可参加复赛的概率.
方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有
，，，，，，，，，，共种，
抽中至少道会的备选题的结果有：
，，，，，，共种，
所以学生乙可参加复赛的概率
因为，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.
10．（2023·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
答案：(1)0.088;(2)0.086.
【解析】
从甲､乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A､B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
确定
事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件
不可能
事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件
随机
事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
事件
集合
必然事件
全集
不可能事件
空集(∅)
事件B包含于事件A(B⊆A)
集合B包含于集合A(B⊆A)
事件B与事件A相等(B＝A)
集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A)
集合B与集合A的并集(B∪A)
事件B与事件A的交事件(B∩A)
集合B与集合A的交集(B∩A)
事件B与事件A互斥(B∩A＝∅)
集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝∅)
事件A的对立事件
集合A的补集(∁UA)
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
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赡养老人
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第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩(分)
乙的成绩(分)