新高考高中数学核心知识点全透视专题7.5三角恒等变换(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题7.5三角恒等变换(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了5三角恒等变换，简单的三角恒等变换，三角恒等式的证明方法等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.和与差的三角函数公式
(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
三、主干知识梳理
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
变形公式：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（三）常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
一、命题规律
1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.
2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
考点01 两角和与差的三角函数公式的应用
【典例1】（2023·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【典例3】（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4】(2023·全国高考真题（文））已知，则__________．
【方法技巧】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
考点02 二倍（半）角公式的运用
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国高考真题（理））已知a∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
考点03 三角函数恒等变换中“角、名、式”的变换
【典例7】（2023·浙江省桐庐中学高一月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））值是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】(2023届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.
【典例10】(2023·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【总结提升】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
3.三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
考点04 三角恒等变换应用
1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
3.函数性质的综合运用
（1）的递增区间是，递减区间是.
（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．
（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.
（4）的最小正周期都是.
【典例11】（2023·四川·成都外国语学校高一月考（文））将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例12】（2023·天津·静海一中高三月考）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，求的解析式.
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
3. 图象的变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．
4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.
考点05 三角函数模型的应用
【典例13】如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则有（ ）

A.B.C.D.
【典例14】某港口一天内的水深（米）是时间（，单位：时）的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数的图象.
（1）试根据数据和曲线，求出的解析式.
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【总结提升】
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
巩固提升
1.（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
2.（2023·阜新市第二高级中学高一期末）式子的值为( )
A．B．0C．1D．
3．（2023·四川南充�高二期末（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·高考真题）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
5．(2023·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国高考真题（文））已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
7.（2023·营口市第二高级中学高一期末）【多选题】化简下式，与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·江苏高考真题）已知，则的值是_____.
9．(2023·江苏高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
10.(2023·北京高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
专题7.5三角恒等变换（精讲精析篇）
一、核心素养
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.和与差的三角函数公式
(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
三、主干知识梳理
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
变形公式：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（三）常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
一、命题规律
1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.
2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
二、真题展示
1．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
2．（2023·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
考点01 两角和与差的三角函数公式的应用
【典例1】（2023·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【典例2】（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
答案：D
【解析】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【典例3】（2023·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
两式平方后作和，根据两角和差正弦公式可构造方程求得结果.
【详解】
由得：…①；
由得：…②；
①②得：，
.
故选：C.
【典例4】(2023·全国高考真题（文））已知，则__________．
答案：.
【解析】
，解方程得.
【方法技巧】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
考点02 二倍（半）角公式的运用
【典例5】（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
【典例6】（2023·全国高考真题（理））已知a∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
，．
，又，，又，，故选B．
【总结提升】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．
考点03 三角函数恒等变换中“角、名、式”的变换
【典例7】（2023·浙江省桐庐中学高一月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
由诱导公式可得的值，将展开，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，
整理可得：，
所以，
故选：B.
【典例8】（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以
所以.
故选：C.
【典例9】(2023届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.
答案：.
【解析】由，
得
化为
，
，
，
的最大值为，
故答案为.
【典例10】(2023·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【总结提升】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
3.三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
考点04 三角恒等变换应用
1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
3.函数性质的综合运用
（1）的递增区间是，递减区间是.
（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．
（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.
（4）的最小正周期都是.
【典例11】（2023·四川·成都外国语学校高一月考（文））将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：
先把函数化为的形式，利用图象变换规律，得到g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论.
【详解】
向左平移个单位，得到函数的图像，
由在上为增函数，则，所以，
故的最大值为2.
故选：B
【典例12】（2023·天津·静海一中高三月考）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，求的解析式.
答案：（1），（2），（3）
分析：
（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的周期性奇偶性，分别求出和，从而可求得的解析式
（2）令，则利用换元法可得，从而可求出其最大值，
（3）利用三角函数图象变换规律可求出函数解析式
【详解】
（1）
，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为
所以，得，
因为为奇函数，
所以，即，
因为，所以，
所以，
（2），
令，则，
因为对称轴为，
所以当时，取得最大值，
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
3. 图象的变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．
4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.
考点05 三角函数模型的应用
【典例13】如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离（单位：）与时间（单位：）满足关系式，则有（ ）

A.B.C.D.
答案：B
【解析】
∵水轮的半径为，水轮圆心距离水面，
∴，∴；
又水轮每分钟旋转圈，故转圈需要，
∴，∴，
故选：B.
【典例14】某港口一天内的水深（米）是时间（，单位：时）的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数的图象.
（1）试根据数据和曲线，求出的解析式.
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
答案：（1）；（2）该船在至或至能安全进港.不能超过小时.
【解析】
（1）从拟合的曲线可知，函数的一个周期为小时，因此.
又.
函数的解析式为.
（2）由题意，水深，即，，
，或.
该船在至或至能安全进港.
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过小时.
【总结提升】
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
巩固提升
1.（2023·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
答案：C
分析：
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
2.（2023·阜新市第二高级中学高一期末）式子的值为( )
A．B．0C．1D．
答案：D
【解析】
cs（）＝cscs，故选D．
3．（2023·四川南充�高二期末（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
由二倍角公式得，
故选：A
4．（2023·北京·高考真题）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
答案：D
分析：
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
5．(2023·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
6．(2023·全国高考真题（文））已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
答案：B
【解析】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
7.（2023·营口市第二高级中学高一期末）【多选题】化简下式，与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】
对于A：，由解得，即，解得，故A错误；
对于B：因为所以， 故B正确；
对于C：
对于D：
故选：BC
8．（2023·江苏高考真题）已知，则的值是_____.
答案：.
【解析】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
9．(2023·江苏高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
答案：（1）；（2）
【解析】
（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
10.(2023·北京高考真题（文））已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
答案：（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0