新高考高中数学核心知识点全透视专题14.6数列综合问题(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题14.6数列综合问题(专题训练卷)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了6 数列综合问题，004，则下列说法正确的是，已知数列满足，等比数列的各项均为正数，且，已知数列的前项和满足，已知正项数列满足等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·高三期中（文））在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+⋯+an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1D．
3．（2023·河南郑州·高二期中（理））设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南郑州·高二期中（文））在等比数列中，，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
5．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当时，，若Tn是数列{bn}的前n项和，bn＝，则当为整数时，λn＝（ ）
A．6B．12C．20D．24
6．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
7．（2023·全国高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
二、多选题
9．（2023·全国高二单元测试）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，计算结果取整数）
A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元
B．选择方式②，小张每月还款额为3800元
C．选择方式②，小张总利息为333840元
D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①
10．（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ）
A．常数数列为“和谐数列”
B．为“和谐数列”
C．为“和谐数列”
D．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2
11．(2023·全国高三专题练习）已知数列满足，，对于任意，，，不等式恒成立，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．D．4
12.（2023·全国高二学业考试）已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
13.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设等比数列{an}满足a1+a2＝1，a1a3＝3，则a4＝_______.
14．（2023·浙江丽水�高一期末）已知数列的前项和，则______.______.
15.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，_____.
16.（2023·河南高二月考（理））已知数列满足.且，若中恰有项大于，则的取值范围是__________．
四、解答题
17.（全国高考真题）等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
18.（2023·四川巴中·高三月考（理））已知数列的前项和满足：，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（2023·河南郑州·高二期中（理））已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（2023·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
21.（2023·河南洛阳·高三期中（文））已知正项数列满足：，，.
（1）证明：是等差数列并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22.（2023·全国高二课时练习） 2019年某政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2020年起，之后的若干年内，每年投资2千万元用于此项目.2019年该项目的净收入为万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%．记2019年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（含第年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元），当时，认为该项目赢利．
（1）求的表达式．
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
参考数据：，．
专题14.6 数列综合问题（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·高三期中（文））在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
由题设结合等比数列通项公式求得公比，进而求.
【详解】
由题设，，又，可得，
∴.
故选：A
2．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+⋯+an2＝（ ）
A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1D．
答案：D
分析：
根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解
【详解】
由等比数列的定义，
故
由于
故是以1为首项，4为公比的等比数列
a12+a22+⋯+an2＝
故选：D
3．（2023·河南郑州·高二期中（理））设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果
【详解】
设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，
所以.
故选：A
4．（2023·河南郑州·高二期中（文））在等比数列中，，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
答案：A
分析：
首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得，根据二次函数和指数函数的性质以及前面的，分析可得选项.
【详解】
设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，
则其通项公式为：，
所以，
令，所以当或5时，t有最大值，无最小值
结合前面的，当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数
故时，取得最大值，当时，取得最小值
所以有最大项，有最小项.
故选：A
5．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当时，，若Tn是数列{bn}的前n项和，bn＝，则当为整数时，λn＝（ ）
A．6B．12C．20D．24
答案：D
分析：
首先根据条件通过配凑系数求出数列的通项公式；然后再根据数列的通项公式求出数列的通项公式，从而可求出Tn，代入可求出，从而可判断选项.
【详解】
当时，由，得，又因为，
所以从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列，
所以时，，所以.
当时，；
当时，，
所以 ，
所以，
要使为整数，需是15的因数，所以，此时.
故选：D.
6．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
答案：B
分析：
由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.
【详解】
解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
7．（2023·全国高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.
【详解】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
8．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
答案：B
分析：
由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.
【详解】
解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国高二单元测试）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，计算结果取整数）
A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元
B．选择方式②，小张每月还款额为3800元
C．选择方式②，小张总利息为333840元
D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①
答案：ACD
分析：
等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，则，，等额本息还款方式中，设小张每月还款额为元，
则，
分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可
【详解】
对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为（元），故A正确.
对于B，设小张每月还款额为元，
则，
所以，
即，故B错误.
对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元），故C正确.
对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.
故选：ACD
10．（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ）
A．常数数列为“和谐数列”
B．为“和谐数列”
C．为“和谐数列”
D．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2
答案：BD
分析：
根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答.
【详解】
对于A，数列中，令(c为常数)，，当c