新高考高中数学核心知识点全透视专题15.1导数的概念及其几何意义(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.1导数的概念及其几何意义(专题训练卷)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了1 导数的概念及其几何意义等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·海拉尔第二中学高三月考（理））曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国高二单元测试）设函数，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
3．（2023·四川高三月考（文））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·北京市第一六一中学高三月考）已知函数图象上在点处的切线的斜率为，若，则函数在原点附近的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南高三月考（理））已知函数的图象在点处的切线过点，则实数的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
6．（2023·绵阳中学实验学校高三模拟预测）若曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为（ ）
A．(e, 1)B．(1, 0)C．(2, ln2)D．
7．（2023·四川巴中·高三月考（理））关于函数，有下列个结论：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为
④曲线的切线都不过点
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国高二单元测试）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24B．32C．64D．86
二、多选题
9．（2023·全国高二课时练习）(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关B．与h有关
C．与x0无关D．与h无关
10.（2023·全国高二课时练习）若直线是函数的图象的一条切线，则的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国高二课时练习）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国高二课时练习）(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为（ ）
A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0
C．3x－y＝0D．24x－y＋54＝0
三、填空题
13．（2023·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.
14．（2023·全国高二单元测试）已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为____．
15．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知函数的图象在点处的切线方程为，则不等式的解集是___________.
16．(2023·全国高三专题练习（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________.
四、解答题
17．（2023·全国高二课时练习）已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
18．（2023·江西抚州·高二期末（文））已知函数.
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线方程.
19．（2023·全国高二单元测试）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
20．（2023·全国高二单元测试）已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
21．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，
（1）求；
（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
22．（2023·全国高二单元测试）已知曲线C：与直线相切，
（1）求a的值；
（2）已知点及点，从点A观察点B，若观察的视线不被曲线C挡住，求实数b的取值范围．
专题15.1 导数的概念及其几何意义（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·海拉尔第二中学高三月考（理））曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据题意，结合导数的几何意义与求导公式，即可求解.
【详解】
由，得，故曲线在处的切线的斜率.
故选：D.
2．（2023·全国高二单元测试）设函数，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
答案：A
分析：
利用导数的定义可求的值.
【详解】
∵，且，
∴．
故选：A．
3．（2023·四川高三月考（文））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
利用导数的几何意求解即可
【详解】
由，得，
所以切线的斜率为，
因为，
所以所求的切线方程为，即，
故选：C
4.（2023·北京市第一六一中学高三月考）已知函数图象上在点处的切线的斜率为，若，则函数在原点附近的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：
先利用函数的奇偶性排除部分选项，然后再由又时，的正负求解.
【详解】
由题意知：，
因为，所以函数是奇函数，故排除B，C选项，
又时，，，故此时，故A正确，D错误.
故选：A.
5．（2023·河南高三月考（理））已知函数的图象在点处的切线过点，则实数的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
答案：A
分析：
利用导数的几何意义，求切线方程，再代入点，求实数的值.
【详解】
因为，所以，又，所以函数的图象在点处的切线方程为，把点代入，解得.
故选：A.
6．（2023·绵阳中学实验学校高三模拟预测）若曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为（ ）
A．(e, 1)B．(1, 0)C．(2, ln2)D．
答案：D
分析：
先求出曲线在点（1，－1）处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解.
【详解】
的导数为，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率为.
因为曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.
故选：D
7．（2023·四川巴中·高三月考（理））关于函数，有下列个结论：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为
④曲线的切线都不过点
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
①证得，即可判断；②结合零点存在性定理即可判断；③求导，求出导函数的值域即可判断；④结合导数的几何意义与斜率公式即可判断.
【详解】
由已知：，故①正确；
由，（或）知函数在内有零点，故②不正确；
由且当且仅当取等号知：的值域为，故③正确；
若曲线存在过点的切线，设切点为，则由导数的几何意义与斜率公式得：，化简得：，令，则，当时，，当时，，故，所以函数无零点，因此方程无实数解，假设不成立，故④正确.综上，正确结论共个.
故选：B.
8．（2023·全国高二单元测试）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24B．32C．64D．86
答案：C
分析：
根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.
【详解】
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为.
令，得；令，得.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴.
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国高二课时练习）(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关B．与h有关
C．与x0无关D．与h无关
答案：AD
分析：
由导数的定义进行判定.
【详解】
由导数的定义，得：，
即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
故选:AD.
10.（2023·全国高二课时练习）若直线是函数的图象的一条切线，则的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
分析：
求出每个选项中函数的值域，由此可得出合适的选项.
【详解】
直线的斜率.
对于A，，A选项不满足条件；
对于B，，函数的值域为，故有解，B选项满足条件；
对于C，，C选项不满足条件；
对于D，，有解，D选项满足条件.
故选：BD.
11．（2023·全国高二课时练习）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
分析：
由题设求得y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，根据导数的几何意义求切线斜率并写出切线方程，由直线间的距离公式求参数，即可知直线的方程.
【详解】
由题设，y′＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，
∴y′|x=0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l的方程为y＝2x＋b，则，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
故选：AB
12．（2023·全国高二课时练习）(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为（ ）
A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0
C．3x－y＝0D．24x－y＋54＝0
答案：AB
分析：
先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐标写出切线方程，再将点P的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.
【详解】
设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为
y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.
答案：
【解析】
，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即.
14．（2023·全国高二单元测试）已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为____．
答案：9
分析：
根据导数的几何意义，进行求解即可．
【详解】
y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，
∴f（2）＝2×2+3＝4+3＝7，
切线的斜率k＝2，即f′（2）＝2，
则f（2）+f′（2）＝7+2＝9，
故答案为：9
15．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知函数的图象在点处的切线方程为，则不等式的解集是___________.
答案：
分析：
求得，根据，求得，得到，结合对数函数的的性质，即可求得不等式的解集.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
可得，即，解得，所以，则
又因为，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16．(2023·全国高三专题练习（文））已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________.
答案：
分析：
求得，得到，得出切线方程，再求得，令，求得，进而得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，则，
所以函数在点处的切线，
又由，可得，
因直线与该曲线相切，令，可得，
当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；
当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·全国高二课时练习）已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
答案：，
分析：
根据，，则已知不等式可以转化为；通过解不等式，再结合的取值范围，即可确定的取值.
【详解】
解：∵，
∴，
由，得
即，但
∴
∴，.
18．（2023·江西抚州·高二期末（文））已知函数.
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线方程.
答案：（1）；（2）
分析：
（1）求出函数导数，将代入即可求得；
（2）求出在处的导数，即切线斜率，求出即可由点斜式求出.
【详解】
（1），
，
，解得，
（2），即切线斜率为，
，
所以切线方程为，即.
19．（2023·全国高二单元测试）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
答案：（1）；（2），.
分析：
(1)利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导；
(2)利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解.
【详解】
（1）由，
得；
（2）因为切点既在曲线上，又在切线上，
于是将代入切线方程，得，又，则，解得，
而切线的斜率为，即，又，则，解得，
所以，.
20．（2023·全国高二单元测试）已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
答案：（1）1；（2）证明见解析.
分析：
（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；
（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.
【详解】
（1）因为，，
所以，解得.
（2）函数的定义域是，
，
所以，
当，时，，，
可得.
21．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，
（1）求；
（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
答案：（1）3a＋1；（2）.
分析：
(1)先求导得，再分别计算与即可得解；
(2)根据给定条件可得切线斜率为0，利用方程在内有解即可计算作答.
【详解】
（1）依题意，f(x)=ax2+lnx的定义域为(0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求导得：，
于是得，而，
所以；
（2）因曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程在内有解，
于是得方程，即在内有解，则，
所以实数a的取值范围是.
22．（2023·全国高二单元测试）已知曲线C：与直线相切，
（1）求a的值；
（2）已知点及点，从点A观察点B，若观察的视线不被曲线C挡住，求实数b的取值范围．
答案：（1）；（2）．
分析：
（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，根据斜率相等求解即可；
（2）设过A与曲线相切的直线切点为,根据导数的几何意义求出切线斜率，再由两点求切线斜率，解方程求出切点坐标，得到切线方程即可.
【详解】
（1）设切点为，
∵当时，
，
∴．①
又点在曲线C与直线上，∴，②
由①②得．
（2）在曲线C：上取一点，
由（1）知，当时，．
当以D为切点的切线过点A时，令，解得，此时，，直线AD的方程为．
若观察的视线不被曲线C挡住，则点B在直线AD的右下方，
∴，即实数b的取值范围是．