新高考高中数学核心知识点全透视专题15.3应用导数研究函数的性质(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.3应用导数研究函数的性质(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了3 应用导数研究函数的性质，设函数，．求函数的单调递增区间，已知函数等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1. 考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
2. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）导数与函数的单调性
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
（二）导数与函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
（三）导数与函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
二、真题展示
1．（2023·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国高考真题）函数的最小值为______.
考点01 判断或证明函数的单调性
【典例1】（2023·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【典例2】（2023·全国高二课时练习）设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数.
（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
【总结提升】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
考点02 求函数的单调区间
【典例3】（2023·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【总结提升】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
考点03 利用函数的单调性解不等式
【典例4】（2023·全国高二课时练习）函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________.
【典例5】（2023·全国高二单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．
【总结提升】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
考点04 利用函数的单调性比较大小
【典例6】【多选题】（2023·辽宁大连·高三期中）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例7】（2023·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
考点05 根据函数的单调性求参数
【典例8】（2023·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【典例9】(2023年高考北京)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【总结提升】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
考点06 利用导数研究函数的图象
【典例10】（2023·全国高一专题练习）函数的图象可能是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【典例11】(2023·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是
A．B．
C．D．
【规律方法】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
考点07 利用导数研究函数的极值
【典例12】（2023·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例13】(2023·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A．B．C．D．
【典例14】(2023年文北京卷）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
1.两点说明：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
3.由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
考点08 利用导数研究函数的最值
【典例15】（2023·北京市第一六一中学高三月考）已知函数，曲线在处的切线经过点.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）设，求在区间上的最大值和最小值.
【典例16】（2023·全国高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【规律方法】
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
考点09 函数极值与最值的综合问题
【典例17】（2023·福建省福州格致中学高三月考）已知函数，.
（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；
（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【典例18】（2023·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【总结提升】
求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
巩固提升
1．(2023·江苏高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
2．（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时( )
A．B．C．D．
4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
5.(2023·全国高考真题（文））函数的图像大致为
A．B．
C．D．
6.（2023·山东奎文�潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞,﹣3）B．（﹣3,0）C．（0,3）D．（3,+∞）
7.【多选题】（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．f(b)>f(a)B．f(d)>f(e)
C．f(a)>f(d)D．f(c)>f(e)
8.（2023·全国高三专题练习）设函数，．求函数的单调递增区间.
8．（2023·全国高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
9.(2023·北京高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
10.（2023年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
专题15.3 应用导数研究函数的性质（精讲精析篇）
一、核心素养
1. 考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
2. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
三、主干知识梳理
（一）导数与函数的单调性
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
（二）导数与函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
（三）导数与函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
二、真题展示
1．（2023·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
2．（2023·全国高考真题）函数的最小值为______.
答案：1
分析：
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
考点01 判断或证明函数的单调性
【典例1】（2023·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
答案：（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
【解析】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
【典例2】（2023·全国高二课时练习）设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数.
（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
答案：（1）x－2y－1＝0；（2）答案见解析.
分析：
（1）先求出的值，得出切点坐标，再求出的值，得到切线的斜率，从而得到切线方程.
（2）先求出，对二次函数的开口方向，判别式进行分类讨论即可.
【详解】
(1)由题意知a＝0时，，x∈(0，＋∞).
此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当af(e)
答案：ABD
分析：
根据导数与函数的单调性之间的关系可得出函数的单调区间，由单调性即可比较大小.
【详解】
由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(c，e)时，f′(x)f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).
故选：ABD
8.（2023·全国高三专题练习）设函数，．求函数的单调递增区间.
答案：答案见解析
分析：
求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间.
【详解】
函数的定义域为，，
所以，.
当时，由，可得，
当时，，当时，.
此时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，对任意的，，且不恒为零，
此时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，由，可得，
当时，，当时，.
此时，在上单调递减，在上单调递增.
综上可知，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是．
8．（2023·全国高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
答案：（1）详见解析；(2).
【解析】
（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
9.(2023·北京高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
答案：（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
10.（2023年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
答案：（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a