新高考高中数学核心知识点全透视专题15.4应用导数研究函数的性质(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题15.4应用导数研究函数的性质(专题训练卷)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了4 应用导数研究函数的性质，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·全国高考真题（理））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
2．（2023·广东东莞�高二期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏常熟�高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·海南高三月考）已知函数，则( )
A．是奇函数，且在上单调递减
B．是奇函数，且在上先递减再递增
C．是偶函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上先递减再递增
5．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数在内恰有个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·海南高三月考）若，则下列结论一定正确的是( )
A．B．C．D．
8.（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9.（2023·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增
D．函数在处切线的斜率小于零
10.（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（ ）
A．f(ln2)<2f(0)B．f(2)C．f(ln2)>2f(0)D．f(2)>e2f(0)
11．（2023·全国高二课时练习）（多选）对于函数，以下选项正确的是（ ）
A．有2个极大值B．有2个极小值C．1是极大值点D．1是极小值点
12.（2023·海南高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（ ）
A．的两极值点之和等于B．的两极值点之和等于
C．的两极值之和等于D．的两极值之和等于
三、填空题
13．（2023·全国高二课时练习）函数的增区间为________，减区间为________.
14．（2023·全国高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.
15．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1].若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________.
16．（2023·全国高二课时练习）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
17. （2023·全国高三专题练习）已知函数，，讨论函数的单调区间.
18．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值点以及极值；
（3）求函数的值域.
19.（2023·全国高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
20.(2023·北京高考真题（理））设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
21.(2023·北京高考真题（理））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
22．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
专题15.4 应用导数研究函数的性质（专题训练卷）
一、单选题
1．(2023·全国高考真题（理））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
2．（2023·广东东莞�高二期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
由已知，当时，当时，
所以增区间为．
故选：D．
3．（2023·江苏常熟�高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
，，
∵函数在区间内单调递增，
∴导函数恒成立，则恒成立，
故.
故选：A．
4.（2023·海南高三月考）已知函数，则( )
A．是奇函数，且在上单调递减
B．是奇函数，且在上先递减再递增
C．是偶函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上先递减再递增
答案：C
分析：
根据已知条件求出，进而求出的奇偶性，最后利用导函数求在上的单调性即可求解.
【详解】
由可得，，
故为偶函数，从而AB错误；
由，当时，，
故在上单调递减，所以C正确，D错误.
故选：C.
5．（2023·云南昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据题意构造函数，利用导数研究函数的单调性，根据单调性结合即可求解.
【详解】
设，则，
又，，所以，
所以在上单调递减，由可得，故A错；
由可得，即，故B错；
由可得，即，故C错；
因为，所以，得，故D正确.
故选：D
6．（2023·辽宁大连·高三期中）已知函数在内恰有个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
利用辅助角公式将函数化为，再根据函数在内恰有个极值点，可得，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个极值点，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7．（2023·海南高三月考）若，则下列结论一定正确的是( )
A．B．C．D．
答案：C
分析：
结合已知条件，首先对求导，进而求出的单调区间即可求解.
【详解】
由题意可得，的定义域为，，
当；，
故在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以与无法确定大小，且，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
8.（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.
【详解】
∵
∴
又 ，
∴ 函数为奇函数，
又，且仅时，
∴ 函数在R上为增函数，
∴ 函数为R上的增函数，
不等式可化为，
∴
∴
∴ 或，
∴ 实数的取值范围是，
故选：D.
二、多选题
9.（2023·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增
D．函数在处切线的斜率小于零
答案：BC
【解析】
由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，
故选：BC．
10.（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（ ）
A．f(ln2)<2f(0)B．f(2)C．f(ln2)>2f(0)D．f(2)>e2f(0)
答案：AB
分析：
根据给定条件构造函数，利用导数探讨函数的单调性即可判断作答.
【详解】
依题意，令，则，于是得在R上单调递减，
而ln2>0，2>0，则，，即，，
所以f(ln2)<2f(0)，f(2)故选：AB
11．（2023·全国高二课时练习）（多选）对于函数，以下选项正确的是（ ）
A．有2个极大值B．有2个极小值C．1是极大值点D．1是极小值点
答案：BC
分析：
求导，分析导函数在其零点附近的符号即可分析出极值情况.
【详解】
由题得
．
令，解得；令，解得
即，递增，，递减.
于是是极小值点，是极大值点，则有2个极小值，1是极大值点．
故选：BC.
12.（2023·海南高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（ ）
A．的两极值点之和等于B．的两极值点之和等于
C．的两极值之和等于D．的两极值之和等于
答案：AC
分析：
求，设的两根分别为和，由和求出单调区间和极值点，计算的值可判断AB；计算，结合立方和公式计算的值可判断CD，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，
因为，所以，
设的两根分别为和，
则，，
由可得：或，由可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以在时取得极大值，在时取得极小值，
所以，的两极值点之和等于2，故选项A正确，选项B不正确；
因为，
，
的两极值之和为
，故选项C正确，选项D不正确，
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·全国高二课时练习）函数的增区间为________，减区间为________.
答案：
分析：
利用导数与函数单调性的关系可求出原函数的增区间和减区间.
【详解】
因为，则，由可得，由可得.
所以，函数的增区间为，减区间为.
故答案为：；.
14．（2023·全国高二课时练习）已知函数在处取得极小值，则________，的极大值是_______.
答案：0
分析：
求出导函数，由求得值，然后确定的正负，得单调性和极值．
【详解】
解：由题意知，，解得，，，令，解得或，令，解得，则函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数的极大值为.
故答案为：0；．
15．（2023·全国高二课时练习）已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1].若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________.
答案：##
分析：
首先由条件可知，当时恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值问题.
【详解】
由已知条件得f′(x)＝2a＋.
∵f(x)在(0，1]上是增函数，
∴f′(x)≥0，即在x∈(0，1]上恒成立，即，
而g(x)＝在(0，1]上是增函数，
∴g(x)max＝g（1）＝.
∴.
当时，对x∈(0，1]有f′(x)≥0，且仅在x＝1时，f′(x)＝0.
∴时，f(x)在(0，1]上是增函数.
∴a的取值范围是.
故答案为：
16．（2023·全国高二课时练习）已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
答案：
分析：
由题意可转化为导函数在区间上有3个不同的实数根，通过分离常数，转化为求函数的最值问题求解.
【详解】
.因为在上有3个不同的极值点，
所以在上有3个不同的实根，
所以在上有2个不同的实根（且不等于1）.
由，得.令，则，
显然函数在单调递减，在单调递增.
又，因为，所以.
故答案为：
四、解答题
17. （2023·全国高三专题练习）已知函数，，讨论函数的单调区间.
答案：答案见解析
分析：
求得，求得函数的定义域为，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，
①当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减；
③当时，对任意的，且不恒为零，
此时，函数在上单调递增；
④当时，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减.
18．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值点以及极值；
（3）求函数的值域.
答案：(1)；
(2)极值点为，极小值为，极大值为；
(3)
分析：
(1)利用导数，求出，即可求出切线方程；
(2)令得，讨论函数的变化情况，从而得到函数的极值；
(3)由(2)知函数的单调性，确定函数的值域.
【详解】
由函数，知的定义域为R，得，
(1)曲线在处的切线斜率为，又，
所以曲线在处的切线方程为：；
(2)令，得，即函数的极值点为，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数在时取得极小值，在时取得极大值；
(3)由(2)知在和单调递减，在单调递增，
又时，；时，，所以函数的值域为.
19.（2023·全国高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.
分析：
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
20.(2023·北京高考真题（理））设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
答案：(1) 1 (2)（，）
【解析】
（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
21.(2023·北京高考真题（理））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
答案：(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
22．（2023·西城·北京十五中高三月考）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
答案：（1）1；（2）当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为.
分析：
（1）由题可知，利用导数即求；
（2）利用导数，对分类讨论即求.
【详解】
（1）∵曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，函数的导数为，
∴，
∴.
（2）∵，
①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，
则函数在区间上的最小值为.
④当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为.