新高考高中数学核心知识点全透视专题16.2计数原理(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题16.2计数原理(专题训练卷)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了2 计数原理等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2名参加会议，不同的选取方法有（ ）
A．6种B．8种C．12种D．16种
2.（2023·福建福州·高三其他模拟（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（ ）
A．12种B．24种
C．72种D．216种
3．（2023·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
4．（2023·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（2023·北京市第十三中学高三期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）
A．1344B．672C．336D．168
7．（2023·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．4人
10．（2023·江苏苏州·高二月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
第一行 1 1
第二行 1 2 1
第三行 1 3 3 1
第四行 1 4 6 4 1
第五行 1 5 10 10 5 1
第六行 1 6 15 20 15 6 1
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“”猜想：
11．（2023·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
12．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为G，I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
三、填空题
13．（2023·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
14．（2023·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
15．（2023·福建省漳州第一中学高二月考）将字母a，A，b，B，c，C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．
16．(2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A，B，C，D四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有_______.
四、解答题
17．（2023·全国·高二课时练习）某乒乓球邀请赛，参加的有三个组，第一、第二组各有7个队，第三组有6个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共三个队分主客场进行决赛，最终决出冠亚军，该乒乓球邀请赛一共需要比赛多少场？
18．（2023·全国·高二课时练习）当是大于的正整数且时，求证：．
19．（2023·全国·高二课时练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2023·全国·高二课时练习）现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意从中抽取3件：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
21.（2023·山西高二期末）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.
22．（2023·全国·高二单元测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？





专题16.2 计数原理（专题训练卷）
一、单选题
1．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2名参加会议，不同的选取方法有（ ）
A．6种B．8种C．12种D．16种
答案：A
分析：
利用组合直接求解.
【详解】
按照组合的定义，从甲、乙、丙、丁 四个人中选取2名参加会议，有种.
故选：A
2.（2023·福建福州·高三其他模拟（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（ ）
A．12种B．24种
C．72种D．216种
答案：A
【解析】
先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．
故选：A．
3．（2023·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
答案：C
分析：
甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．
【详解】
由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；
余下3人有种排法．故共有种不同的情况．
故选：C.
4．（2023·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
答案：C
分析：
利用赋值法，令即可求解.
【详解】
解：因为=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，
令，则= a0+a1+a2+…+an=16，
所以，
故选：C.
5．（2023·北京市第十三中学高三期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
首先求出展开式的通项，再令，即可求出，再代入计算可得；
【详解】
解：二项式展开式的通项为
令，解得，所以，所以展开式中的系数为，
故选：A
6．（2023·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）
A．1344B．672C．336D．168
答案：B
分析：
先求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数等于5即可求解.
【详解】
因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128
所以，解得，
所以的展开式通项为：，
令可得，
所以该二项式展开式中含有项的系数为.
故选：B.
7．（2023·河北·唐山市第十中学高三期中）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.
【详解】
解：由已知条件可知为展开式中的系数，
则
.
故选：C.
8．（2023·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据题意由可知是第行的第个数减去下一行的第个数，等于下一行即第行的第个数，结合数图进行举例即可得解.
【详解】
根据题意可得，
即是第行的第个数减去下一行的第个数，
等于下一行即第行的第个数，
其中，
当时，为，
当时，为，等等.
由图知是与同一行的右边一个数，
所以是第行的第个数，故.
故选：C
二、多选题
9．（2023·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．4人
答案：BC
分析：
设女生有n人，则男生有8-n人，由求解.
【详解】
设女生有n人，则男生有8-n人，
由题意得：，
即，
解得或，
故选：BC
10．（2023·江苏苏州·高二月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
第一行 1 1
第二行 1 2 1
第三行 1 3 3 1
第四行 1 4 6 4 1
第五行 1 5 10 10 5 1
第六行 1 6 15 20 15 6 1
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“”猜想：
答案：ABC
分析：
结合杨辉三角、合情推理以及二项式有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：，A正确.
由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：，B正确.
由“第行所有数之和为”猜想：，C正确.
，所以D错误.
故选：ABC
11．（2023·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
答案：AD
分析：
写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】
A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；
B选项：，其中为整数，且，
当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令中的得：，所以或，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确
故选：AD
12．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝为G，I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
答案：AC
分析：
由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，根据的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.
【详解】
由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项正确，B错误；
先看树枝，有4种可能，若在，之间，
则有3种可能：①在，之间，有5种可能；
②在，之间，有4种可能；
③在，之间，有3种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）。
若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，
若在，之间，则有3种可能，
若在，之间，则有三种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）可能，
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·上海·闵行中学高三期中）展开式的常数项为20，则实数_____________．
答案：
分析：
由二项展开式通项公式写出常数项，从而可求得参数．
【详解】
展开式通项公式为，，，
所以，，
故答案为：．
14．（2023·全国·模拟预测）的展开式中，项的系数是___________.（用数字作答）
答案：65
分析：
先写出的展开式的通项，令与展开式的项相乘，与展开式的常数项相乘，相加即为项，计算系数即可
【详解】
由题意，的展开式的通项，
令，得，得；
令，得，得.
故的展开式中，项的系数为.
故答案为：65
15．（2023·福建省漳州第一中学高二月考）将字母a，A，b，B，c，C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．
答案：240
分析：
先讨论Aa相邻的情况，再求出Bb、Cc相邻的情况，加起来即可.
【详解】
首先讨论Aa相邻，剩下的4个字母排列有如下情况：
bcBC、cbCB、bCBc、CbcB、BcbC、cBCb、BCbc、CBcb共8种可能，
任取8种中的一种与Aa组合，共有种，
此时Aa相邻共有种；
同理，Bb相邻共有80种，Cc相邻共有80种，所以共有240种.
故答案为：240
16．(2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A，B，C，D四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A任务，则不同的安排方案数共有_______.
答案：
分析：
采用分类计数原理，排列组合进行计算可得.
【详解】
两名女记者不参加A任务，由题意分两类情况：
①1男参加A任务；②2男参加A任务,其余人员再排列;
即:①1男参加A任务，将3男选1排在A任务，再将剩下4人选两人打捆,
再排在其它3项任务，即种.
②2男参加A任务，将3男选2人排在A任务,再将剩下的人排在其它3项任务,
即种,
所以选出符合条件参加活动的人员共有: 108+18= 126种，
故答案为: 126种
四、解答题
17．（2023·全国·高二课时练习）某乒乓球邀请赛，参加的有三个组，第一、第二组各有7个队，第三组有6个队，首先各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共三个队分主客场进行决赛，最终决出冠亚军，该乒乓球邀请赛一共需要比赛多少场？
答案：63
分析：
首先先计算出各小组的单循环场数，再求出三个队分主客场进行决赛的场数，相加即可.
【详解】
根据题意，首先在3个小组进行单循环赛，
第一组有7个队，需进行场比赛，
第二组有7个队，需进行场比赛，
第三组有6个队，需进行场比赛，
则第一阶段需要进行场比赛；
然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，有场比赛，
所以该乒乓球邀请赛一共需要场.
18．（2023·全国·高二课时练习）当是大于的正整数且时，求证：．
答案：证明见解析.
分析：
利用二项式定理可得展开式，由可得结论.
【详解】
由二项式定理可知：，
，，.
19．（2023·全国·高二课时练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：
（1）
（2）
（3）
分析：
（1）分别令和，作差即可得到结果；
（2）令即可求得结果；
（3）由和所得式子作和即可推导得到结果.
（1）
令得：；令得：，
.
（2）
令得：.
（3）
由（1）（2）知：，
两式作和得：，.
20．（2023·全国·高二课时练习）现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意从中抽取3件：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
答案：
（1）120
（2）56
（3）64
分析：
（1）直接利用组合的定义可得；
（2）抽出的3件中恰有1件一等品是指1件一等品，2件二等品；
（3）抽出的3件中至少有1件一等品包含两种情况：一是1件一等品，2件二等品；二是2件一等品，1件二等品.
（1）
从10件产品中任意抽取3件，共有种不同抽法；
（2）
从10件产品中任意抽取3件恰有1件一等品，这件事可分两步完成：
第一步，从2件一等品中抽取1件一等品，共有种抽法；
第二步，从8件二等品中抽取2件二等品，共有种抽法，
根据乘法原理，不同的抽法种数为种.
（3）
从10件产品中任意抽取3件至少有1件一等品，这件事可分两类：
第一类，抽取的3件产品中有1件一等品的抽法有种；
第二类，抽取的3件产品中有2件一等品的抽法有种；
由加法原理得，不同的抽法共有种.
21.（2023·山西高二期末）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.
答案：(1) 120 (2) 72 (3) 85
【解析】
（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55＝120个五位数
（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，
根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；
（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，
再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：
1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，
2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，
3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，
4、43215，43251，43152，共3个
故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，
即43125是第85项．
22．（2023·全国·高二单元测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？
答案：7
分析：
根据分类加法计数原理求解即可．
【详解】
设购买笔支，笔记本本，
则，得，
将y的取值分为三类：
①当时，，因为x为整数，
所以x可取2，3，4，5，共4种方案．
②当时，，因为x为整数，
所以x可取2，3，共2种方案；
③当时，，因为x为整数，
所以x只能取2，只有1种方案．
由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）．