新高考高中数学核心知识点全透视专题17.4离散型随机变量分布列与数字特征(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题17.4离散型随机变量分布列与数字特征(专题训练卷)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了1B．0，随机变量ξ的分布列为等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·广东高二期末）若随机变量X的分布列为
则a的值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
2．（2023·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））设随机变量X的分布列如下表所示，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023·全国·高二单元测试）若离散型随机变量的分布列为
则a等于（ ）．
A．B．C．D．1
4．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
5．（2023·全国·高二单元测试）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（ ）
A．n＝3B．n＝4
C．n＝10D．n＝9
6．（2023·河南·辉县市第一高级中学高二月考（理））下图为随机变量的分布列，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
8.（2023·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列为：
其中，下列说法不正确的是( )
A．B．
C．D(ξ)随b的增大而减小D．D(ξ)有最大值
二、多选题
9．（2023·全国·高二课时练习）若随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．，
C．，D．，
11．（2023·全国·高二单元测试）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值最大
C．随着p的增大而增大D．当时，
12．(2023·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2023·山东高三专题练习）已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是______.
14.(2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
15．（2023·全国·高二单元测试）若X的分布列为
则___________.
16．（2023·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．
四、解答题
17．（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．
18.（2023·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
19. 小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.
(1)求小王这8天 “健步走”步数的平均数;
(2)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为,求的分布列.
20．（2023·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.
21．（2023·全国·高二课时练习）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．
22．（2023·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
X
1
2
3
P
0.2
a
X
1
2
3
4
P
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
0
1
2
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
0
1
2
P
－1
0
1
X
0
1
2
P
a
X
0
1
P
0.5
a
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.1
0.3
专题17.4 离散型随机变量分布列与数字特征（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·广东高二期末）若随机变量X的分布列为
则a的值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
答案：B
【解析】
由题意可得，，解得.
故选：B.
2．（2023·西藏·日喀则市南木林高级中学高二期末（理））设随机变量X的分布列如下表所示，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
答案：D
分析：
根据分布列的性质列式，计算即可.
【详解】
由分布列的性质知，.
故选：D
3．（2023·全国·高二单元测试）若离散型随机变量的分布列为
则a等于（ ）．
A．B．C．D．1
答案：B
分析：
根据随机变量及其分布的意义即可求解
【详解】
由题知：，解得或（舍去）.
故选：B
4．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
答案：A
分析：
利用或可求出结果.
【详解】
因为，
所以或.
故选：A
5．（2023·全国·高二单元测试）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（ ）
A．n＝3B．n＝4
C．n＝10D．n＝9
答案：C
分析：
根据随机变量及其分布的意义即可求解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故选：C
6．（2023·河南·辉县市第一高级中学高二月考（理））下图为随机变量的分布列，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
根据分布列可得的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，
由分布列可得的解为：，且，
故，
故选：B.
7．（2023·陕西高二期末（理））离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
答案：B
【解析】
由题可知：
故选：B
8.（2023·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列为：
其中，下列说法不正确的是( )
A．B．
C．D(ξ)随b的增大而减小D．D(ξ)有最大值
答案：C
【解析】
根据分布列的性质得，即，故正确；
根据期望公式得，故正确；
根据方差公式得，
因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高二课时练习）若随机变量满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
分析：
根据随机变量期望和方程的性质计算可得.
【详解】
随机变量满足，，则，，据此可得，.
故选：BD.
10．（2023·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．，
C．，D．，
答案：CD
【解析】
由概率的性质可得，解得，
，
，
，
,
故选：CD
11．（2023·全国·高二单元测试）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的值最大
C．随着p的增大而增大D．当时，
答案：AD
分析：
根据的范围可判断选项A正确；
给取特殊值验证选项B错误；
求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C；
根据方差公式求出，从而判断选项D.
【详解】
，所以A正确；
令，则，，所以B错误；
由题意得，
因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误；
当时，，
，所以D正确.
故选：AD.
12．(2023·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
分析：
分别就，2，3计算概率得出数学期望，憨厚逐一分析各选项即可得出结论．
【详解】
解：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，
当时，则，
，
，
∴，
，故A正确，C正确；
当时，，
，
，
∴，
，故B正确；
当时，，
，
，
∴，
∴，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2023·山东高三专题练习）已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是______.
答案：
【解析】
由已知得
，
∴，
，
．
故答案为：．
14.(2023·江苏·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______
答案：
分析：
利用分布列的性质求参数a，由题设知F(x)＝P(X≤1)，结合分布列可求概率值.
【详解】
由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1,2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝．
故答案为：
15．（2023·全国·高二单元测试）若X的分布列为
则___________.
答案：0.25
分析：
先求出，再利用方差公式求解即可，或利用两点分布的方差公式求解
【详解】
由题意知，则，
所以，
.
一题多解：由题意，知X服从参数为0.5的两点分布，
所以：.
故答案为：0.25
16．（2023·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．
答案：1 1
分析：
根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.
【详解】
解：的所有可能取值为0，1，2，3．
；
；
；
．
得，
所以，
所以．
故答案为：1；1
四、解答题
17．（2023·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．
答案：答案见解析．
分析：
的值分别为，1，求出概率后得分布列．
【详解】
抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，
或，，
分布列如下：
18.（2023·黑龙江实验中学（理））设离散型随机变量的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
答案：（1）见解析；（2）0.7
【解析】
由分布列的性质知：，解得
（1）由题意可知
，，
，
所以的分布列为：
（2）
19. 小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下.
(1)求小王这8天 “健步走”步数的平均数;
(2)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为,求的分布列.
答案：（1）17.25千步（2）见解析
【解析】
(1)小王这8天“健步走”步数的平均数为(千步).
(2)的各种取值可能为800,840,880,920.
，
则的分布列为：
20．（2023·河北承德第一中学高二月考）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同.
(1)从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；
(2)从袋中任取2个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差.
答案：(1)；(2)的分布列见解析，期望为，方差为.
分析：
(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)结合题意写出可能的取值，分别求出相应的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.
【详解】
(1)从袋中任取3个球，共有种情况，若从袋中任取3个球中，恰好取到2个黄球共有种，
故从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率为；
(2)由题意可知，可能取值为，0，1，2，
，，，
故的分布列如下表：
从而期望，
方差.
21．（2023·全国·高二课时练习）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．
答案：采用方案2，利用见详解.
分析：
分别求出三种分案的平均损失即可求解.
【详解】
用分别表示方案1,2,3的损失，
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，即，
采用方案2，遇到大洪水时，损失（元），
没有大洪水时，损失2000元，
即，
采用方案3，遇到大洪水时，损失60000元，
有小洪水时，损失10000元，
没有洪水时，损失元，
即，
于是（元）
.
.
采用方案2的平均损失最小，所以采用方案2.
22．（2023·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
答案：
（1）分布列见解析；
（2）应从情境开始第一关，理由见解析.
分析：
（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列；
（2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论.
（1）
由题意知：所有可能的取值为，，，
；；，
的分布列为：
（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，
；；，
；
，应从情境开始第一关.
X
1
2
3
P
0.2
a
X
1
2
3
4
P
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
0
1
2
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
0
1
2
P
－1
0
1
X
0
1
2
P
a
X
0
1
P
0.5
a
0
1
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.1
0.3
1
3
5
7
9
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
800
840
880
920
0
1
2