1.3 集合的基本运算（七种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 并集的概念及表示
知识点2 交集的概念及表示
注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合．
（2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
（3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
知识点3 并集、交集的运算性质
知识点4 补集的概念及表示
1．全集
（1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
（2）符号表示：全集通常记作.
2．补集的定义及性质
注意：（1）表示一个集合；
（2）是的子集，即；
（3）是中不属于的所有元素组成的集合．
题型一并集的运算
1．设，已知集合，，若，则__________．
【答案】2
【分析】根据并集的定义即可得到答案.
【详解】∵集合，，，
所以.
故答案为：.
2．定义且，若，则______
【答案】
【分析】根据题目定义，分别求得和，再利用并集运算即可得出结果.
【详解】根据集合且的定义可知，
当时，可得，；
所以
故答案为：
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选:D.
4．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个．
故选：B
5．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
6．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．64个
【答案】D
【分析】先求出集合，再求出集合，从而可求出其子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以，则的子集共有个，
故选：D
题型二交集的运算
7．已知集合则=________．
【答案】
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】由题意可得，解方程可得，故．
故答案为：
8．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接由交集的定义求解即可．
【详解】因为，，
所以，
故选：A．
9．集合，，若，则_____________．
【答案】
【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解.
【详解】若，则，，所以，所以．
故答案为：
10．下列命题中，真命题是______．（填序号）
①若集合，，则；
②若集合，，则；
③任何集合都有真子集；
④若，则至少有一个为空集．
【答案】①
【分析】利用函数的定义域与值域，判断包含关系判断①；求出集合的交集判断②，
真子集的定义判断③；交集的含义判断④.
【详解】，，则，所以①正确；
若集合，
，由解得或，
则，所以②不正确；
空集没有真子集，所以③不正确；
若，两个集合可以不是空集，
两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以④不正确.
故答案为:①
11．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】对于可得：
可得集合；
对于可得：
可得集合，所以，
则成立，不成立，，
所以A正确，B、C、D错误.
故选：A.
12．已知全集，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求全集，再结合集合的交集和并集分析求解.
【详解】由题意可得：，
因为，所以.
故选：A.
13．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集.
【详解】由题意集合表示点集，
解方程组，得或，
故，
故选：D
题型三集合的交、并运算性质
14．已知，集合，，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】由，，得，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
15．（多选）若集合，且，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据子集关系逐项进行判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，，
故选：ABD
16．已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以；
若，，则，
因为，所以，则；
故实数取值集合为.
故选：D.
17．已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围；
（2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围．
【详解】（1）因为，所以解得．
故的取值范围是．
（2）因为，所以，
则或，解得或．
故的取值范围是．
18．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
【答案】或
【分析】先由A∪B＝A，得到B⊆A.再含参讨论解出集合，进行讨论即可.
【详解】∵A∪B＝A，∴B⊆A.
∵A＝{－2}≠，∴B＝或B＝A.
当B＝时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B＝A时，此时a≠0，则，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
19．已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.
【详解】由，得，易知集合非空，
则，
解得．
故选：B.
20．已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是____________________．
（2）若，实数的取值范围是____________________．
（3）若，实数的取值范围是____________________．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是；
②因为，即，所以，所以若，则，
则实数a的取值范围是；
③若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：①；②；③.
题型四补集的运算
21．已知全集，则（ ）
A．{1}B．{3}C．{4}D．{1，3，4}
【答案】A
【分析】根据交并补的定义求解.
【详解】由题意得，所以；
故选：A.
22．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解方程得到，从而得到补集.
【详解】，故.
故选：A
23．设全集或，则＝（ ）
A．或B．或
C．D．{0，1，2，3，4，5，6}
【答案】D
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由于或，所以，
故选：D
24．已知集合，，则（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故或.
故选：B.
25．已知全集，.用列举法表示集合________.
【答案】
【分析】根据补集的定义运算可得.
【详解】因为全集，所以.
故答案为：.
26．已知全集，集合，则下列区间不是的子集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，得到，结合选项，即可求解.
【详解】因为且，
所以，结合选项，可得不是的子集.
故选：C．
题型五交、并、补的混合运算
27．已知集合，已知全集，集合，，求：．
【答案】
【分析】求出集合，求得，根据集合的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，
则,
故．
28．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集与补集的性质求解即可.
【详解】因为全集，所以.
故选：B
29．设全集，，，则集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据交集，并集和补集的运算即可求解.
【详解】因为全集，
由知，，；
由知，，，
则集合，
故选：C.
30．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求全集，再结合集合间的运算求解.
【详解】因为，则，所以．
故选：A.
31．设全集，，则）等于（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案.
【详解】由题意，则，
故，
故选：C
32．若全集，，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断．
【详解】因为全集，，，
因为，，，，
，，
则集合 ，
故A、B、C错误，D正确.
故选：D．
33．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
题型六利用Venn图求集合
34．（多选）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案.
【详解】图中阴影部分是的子集，不属于集合，属于集合的补集，即的子集，
满足要求的为，均表示阴影部分,BD不合要求.
故选：AC
35．如图,两个区域分别对应集合,其中.则阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出集合,将集合中元素还原到图形中,即可得到结果.
【详解】解:由题意知,,
阴影部分表示的集合为,
因为,
所以.
故选:D
36．如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选：C.
37．已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答.
【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意.
故选：A
38．已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，阴影部分集合为 ，由此能求出结果.
【详解】因为集合，集合，
所以，由图可知：阴影部分表示的集合为，
故选：.
39．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合中的元素，且该子集包含于集合的补集，用关系式表示出来即可．
【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是或.
故选：C.
题型七含参数的交、并、补运算
40．已知集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解．
(2)分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴的范围是．
（2）(i)若，则，即，此时满足；
(ii)若，则，
若，则或，解得或，
∴或；
综上，或．
41．已知非空集合，，分别结合下列条件求出实数的取值范围．（将结果填在相应的答题线上）
（1），______；
（2），______；
（3），______；
（4），______．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系或运算结果，分别列不等式求对应条件下的取值范围．
【详解】因为为非空集合，所以，
又，
由，可得，所以实数的取值范围为．
由，可得，所以，所以实数的取值范围为．
由可得，故实数的取值范围为．
因为或，，
所以，实数的取值范围为．
故答案为：；；；.
42．设集合，或，全集．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，可得，解之即可；
（2）由，可得，列出不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
所以a的取值范围是；
（2）解：，
因为，所以，
所以，解得，
所以b的取值范围是．
43．已知集合，若，求实数m的取值范围．
【答案】或
【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解.
【详解】因为，所以当时，；当时，，
因为，所以，
因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
44．已知集合，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合B的补集，结合条件可得实数a的取值范围.
【详解】，，，
又，且，
实数的取值范围是：．
故选：．
45．已知集合，.
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解.
【详解】（1）.
当时，.
所以.
（2）因为，所以.
因为，所以集合B可能为，，或.
当时，只需，解得：；
当或，则必有，所以或.
若，有，不符合题意；若，有，不符合题意；
当时，则1和2是的两根.
所以，无解.
故实数的取值范围为.
46．设集合或，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得，再结合集合及，运算即可得解.
【详解】由集合或，则，
又集合且，则，自然语言
符号语言
图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B")
自然语言
符号语言
图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B")
并集的运算性质
交集的运算性质
定义
文字语言
对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作
符号语言
图形语言
性质
（1）；
（2），
xy
-1
1
-1
-2
0
1
0
2
xy
-1
1
-1
0
2
1
-2
0