沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点01一次函数(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试核心考点01一次函数(原卷版+解析)，共94页。试卷主要包含了一次函数的概念，一次函数的图像，一次函数的性质，对直线位置的影响，一次函数的应用，4x﹣18；，5，300），等内容，欢迎下载使用。
考点一：一次函数的图像与性质
考点二：一次函数图象的位置与系数的关系
考点三：用待定系数法求一次函数解析式
考点四：求直线与坐标轴围成的图形的面积
考点五：一次函数与方程（组）之间的关系
考点六：一次函数与不等式（组）之间的关系
考点七：一次函数图象的平移、旋转、对称
考点八：一次函数的实际应用
考点九：一次函数与几何、代数的综合问题
考点十：两直线垂直在函数中的应用
考点十一：两直线平行在函数中的应用
考点考向
1.一次函数的概念
2.一次函数的图像
3.一次函数（）的性质
①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；
②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；
4.对直线位置的影响
5.一次函数的应用
（1）根据实际问题建立一次函数解析的方法
①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域.
（2）利用一次函数解决决策问题
①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策.
考点精讲
考点一：一次函数的图像与性质
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•嘉定区期中）点A（﹣3，a），点B（﹣1，b）都在直线y＝x+k上，则a，b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法确定
2．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
3．（2022春•浦东新区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜﹣1时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜0D．x＞0
二．填空题（共3小题）
4．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在一次函数y＝﹣x+3中，当x＞1时，则y的取值范围是 ．
6．（2022春•嘉定区期中）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当x 时，函数图象在x轴的上方．
三．解答题（共1小题）
7．（2022春•杨浦区校级期中）小明骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与实际时间x（时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：
（1）小明到离家最远的地方需要 小时；此时离家 千米；
（2）小明第一次休息了 小时；
（3）小明在外出过程中，何时离家25千米？（请直接写出答案）．
考点二：一次函数图象的位置与系数的关系
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•普陀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+3经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
2．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2022春•徐汇区校级期中）函数y＝x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2022春•长宁区校级期中）一次函数y＝﹣5x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．填空题（共3小题）
5．（2022春•嘉定区期中）一次函数y＝（4﹣k）x+3，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
6．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数y＝（2m+1）x﹣1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是 ．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ．
考点三：用待定系数法求一次函数解析式
一．解答题（共2小题）
1．（2022春•长宁区校级期中）已知一次函数的图象经过点A（2，﹣4）、B（1，2），求这个一次函数的解析式．
2．（2020春•闵行区期末）如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x．
（1）求直线l1的表达式，并写出点B的坐标；
（2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，使得△ABC的面积为6，求直线l2的表达式．
考点四：求直线与坐标轴围成的图形的面积
一．填空题（共1小题）
1．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
二．解答题（共1小题）
2．（2022春•静安区期中）已知一次函数的图象经过点M（﹣3，2），且平行于直线y＝4x﹣1．
（1）求这个函数图象的解析式；
（2）所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
考点五：一次函数与方程（组）之间的关系
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的有（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＞﹣2时，y＜0
C．k＞0，b＜0
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
2．（2022春•杨浦区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
C．当x＞﹣2时，y＜0
D．k＞0，b＜0
二．填空题（共3小题）
3．（2021春•浦东新区月考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解是 ．
4．（2021春•上海期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象，则方程组的解为 ．
5．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数y＝x+a与y＝﹣2x+b的交点坐标为（﹣2，1），则方程组的解为 ．
三．解答题（共1小题）
6．（2021春•长宁区校级期中）已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解．
（1）求出m、n的值．
（2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积．
考点六：一次函数与不等式（组）之间的关系
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
2．（2022春•虹口区期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜1D．x＞1
3．（2022春•黄浦区校级期中）如图，函数y1＝mx和y2＝2x﹣4的图象相交于点A（1，﹣2），则关于x的不等式mx＞2x﹣4的解集是（ ）
A．y＞﹣2B．x＜1C．y＜﹣2D．x＞1
二．填空题（共8小题）
4．（2022秋•奉贤区月考）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为 ．
5．（2022春•徐汇区期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（3，0）和．（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
6．（2022春•杨浦区校级期中）将直线y＝kx（k＜0）向左平移2个单位得到直线y＝kx+b，则不等式kx+b＞0的解集为 ．
7．（2022春•静安区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么不等式kx+b＞0的解集是 ．
8．（2022春•青秀区校级期末）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k2x＜k1x+b的不等式的解为 ．
9．（2022春•杨浦区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0解集是 ．
10．（2022春•杨浦区校级月考）如果直线y＝kx+b（k＞0）是由正比例函数y＝kx的图象向左平移1个单位得到，那么不等式kx+b＞0的解集是 ．
11．（2022春•杨浦区校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是 ．
考点七：一次函数图象的平移、旋转、对称
一．选择题（共1小题）
1．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共11小题）
2．（2022春•闵行区校级期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是 ．
3．（2022春•奉贤区校级期末）如果将函数y＝2x﹣2的图象平移，且经过（0，3），那么所得图象的函数解析式是 ．
4．（2022•普陀区二模）将直线y＝﹣2x+1沿着y轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是 ．
5．（2022•长宁区二模）将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为 ．
6．（2022春•长宁区校级期中）如果将直线y＝﹣2x向右平移3个单位，那么所得直线与坐标轴所围成的三角形面积等于 ．
7．（2022•浦东新区校级模拟）如果将直线y＝2x平移，使其经过点（0，﹣6），那么平移后的直线表达式是 ．
8．（2022春•奉贤区校级月考）已知经过点（1，﹣2）的直线y＝kx+b是由y＝3x+1向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是 ．
9．（2021秋•静安区期末）把直线y＝x+1向右平移 个单位可得到直线y＝x﹣2．
10．（2022春•普陀区校级期中）直线y＝﹣x+b向下平移2个单位，平移后的直线经过点（3，﹣4），则b的值为 ．
11．（2020•普陀区二模）将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是 ．
12．（2022春•杨浦区校级期中）如图，该图象是一个正比例函数的图象，把该图象向右平移两个单位长度，得到的函数图象的解析式为 ．
三．解答题（共2小题）
13．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB．
（1）求点C的坐标；
（2）求CD所在直线的函数解析式．
14．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点八：一次函数的实际应用
一．解答题（共6小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙两地相距200km，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线OCD表示轿车离甲地的距离y（km）与x（h）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题．
（1）当0≤x≤1.6时，轿车行驶速度为 千米/小时；
（2）轿车到达乙地后，货车距乙地 千米；
（3）直接写出线段CD对应的函数表达式及定义域 ；
（4）出发后经过 小时轿车可以追上货车．
2．（2022春•杨浦区校级期中）上海浦东某瓜果合作社有一批黄金瓜需要装入某一规格的纸箱投入市场．这种特定的纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买这种纸箱，每个纸箱价格为4元；
方案二：由瓜果合作社租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元；
（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和瓜果合作社自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；
（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．
3．（2022春•长宁区校级期中）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系．
（1）当通话时间少于120分钟，那么A方案比B方案便宜 元；
（2）当通信费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间 （填“多”或“少”）；
（3）王先生粗算自己的每月的移动通信时间在220分钟以上，那么他选择电信公司的 方案能便宜 元．
4．（2022春•黄浦区校级期中）A团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，B专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设A团队走的路程为yA（千米），B专家走的路程为yB（千米），他们前进的时间（从B出发开始计时）为x（小时），yA、yB与x之间的部分函数图象如图所示．
（1）在B专家出发时，A团队已经行进了 千米；B专家的速度是每小时 千米．
（2）当0≤x≤5时，求yA关于x的函数解析式；
（3）如果5个小时后，B专家保持之前的速度继续前进，A团队提高速度去追赶B，提速后的速度是每小时70千米，请问A团队能否在B专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
5．（2021春•黄浦区校级期中）甲、乙两车分别从A地将一批货物运送到B地，乙车再返回A地．如图表示两车离A地的路程y（千米）随时间x（时）变化的图象．已知甲车出发1小时后，乙车出发，且乙车到达B地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图象所提供的信息回答：
（1）写出甲车离开A地将一批货物送到B地对应图象的函数解析式： ．
（2）甲车出发 小时后被乙车追上．
（3）甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为 千米．
6．（2021春•徐汇区校级期中）如图，一辆快车从甲地驶向乙地，一辆慢车从乙地驶向甲地，设先出发的车辆行驶时间为x（小时），两车之间的距离为y（km），如下的函数图象表示y与x之间的函数关系．
（1）慢车速度为 km/h，快车速度为 km/h．
（2）快车出发多少时间后，两车之间的距离为300km．
考点九：一次函数与几何、代数的综合问题
一．解答题（共5小题）
1．（2022春•上海期中）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）设点C为线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴、CE⊥y轴，垂足分别为D、E，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标．
2．（2022春•闵行区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，求出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022春•杨浦区校级期中）如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转90°，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）联结B、D．若BD∥AC，求点D的坐标；
（3）联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．
4．（2022春•静安区期中）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
（1）求直线BD的表达式．
（2）在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．
（3）直线BD上是否存在点F，使△AFC为以AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
5．（2022春•青浦区校级期末）如图，已知点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴负半轴上，S△ABC＝6，点P为直线BC上一点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点Q为平面内任一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是正方形，求点Q的坐标；
（3）当直线AP与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，直接写出点P的坐标．
考点十：两直线平行在函数中的应用
一．填空题（共2小题）
1．（2020春•浦东新区期末）若直线y＝kx+b平行直线y＝5x+3，且过点（2，﹣1），则b＝ ．
2．（2021春•杨浦区校级期末）一次函数的图象经过点（0，3），且与直线y＝﹣2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
二．解答题（共2小题）
3．（2022春•静安区期中）已知一次函数的图象经过点M（﹣3，2），且平行于直线y＝4x﹣1．
（1）求这个函数图象的解析式；
（2）所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
4．（2020春•闵行区期末）如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x．
（1）求直线l1的表达式，并写出点B的坐标；
（2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，使得△ABC的面积为6，求直线l2的表达式．
巩固提升
一、单选题
1．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
2．（2022秋·上海徐汇·八年级校考期中）以下函数中，属于一次函数的是( )
A．B．、是常数
C．D．
二、填空题
3．（2022秋·上海嘉定·八年级校考期中）设关于的一次函数与，则称函数其中，为此两个函数的生成函数．写出一个和的生成函数：______．
4．（2022秋·上海长宁·八年级校考期中）已知一次函数的图像与的图像平行，且经过点，则这个一次函数的解析式为______．
5．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为______．
6．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
7．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知一次函数的图象过点，且与直线平行，则函数的解析式是______．
8．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）一次函数的图象在轴上的截距是______．
10．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）将直线沿轴方向向上平移3个单位，得新直线表达式是______．
11．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）把一次函数的图像向下平移______个单位，平移后的图像经过点．
三、解答题
12．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）已知梯形的四个顶点为，对于直线回答下列问题：
(1)若以表示该直线截梯形的包含点的那部分的面积，当该直线与边相交时，是多少（用表示）？与边相交时呢？
(2)为何值时，该直线把梯形二等分．
13．（2022春·上海·八年级校考期中）已知函数和的图㑰有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，求这两个函数图像的交点坐标．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）在直角三角形中，，，，，于，在上取一点（不与、重合），设三角形的面积是，的长为，求和的函数关系式，并写出函数的定义域．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．
（1）列车共运行了___分钟
（2）列车开动后，第3分钟的速度是___千米/小时．
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了___分钟．
（4）列车从___分钟开始减速．
16．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求：
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)求当时的函数值．
17．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）已知一次函数．
(1)若函数图象在y轴上的截距为，求m的值；
(2)若函数图象平行于直线，求m的值；
(3)该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
18．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）已知反比例函数（为常数，）．
(1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值；
(2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点；
(3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标．
(4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知正方形的边长是3厘米，动点从点出发，沿、、方向运动至点停止．设点运动的路程为厘米，的面积为平方厘米．
(1)当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域；
(2)当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域；
(3)当取何值时，的面积为1.5平方厘米？
20．（2022春·上海·八年级上海交大附中校考期中）如图，长方形边．
(1)直线，交边于点，求的取值范围：
(2)直线，将长方形的面积分成两部分，靠近轴的一部分记作，试写出关于的解析式；
(3)直线，是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为？若能，求出的值；若不能，说明理由．
21．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题．
(1)当时，轿车行驶速度为______千米小时；
(2)轿车到达乙地后，货车距乙地______千米；
(3)直接写出线段对应的函数表达式及定义域______；
(4)出发后经过______小时轿车可以追上货车．
22．（2022春·上海嘉定·八年级统考期末）如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
(3)连接，若是直角三角形，直接写出的长．
经过第一、二、三象限
经过第一、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、二、四象限
经过第二、四象限
经过第二、三、四象限
核心考点01 一次函数
目录
考点一：一次函数的图像与性质
考点二：一次函数图象的位置与系数的关系
考点三：用待定系数法求一次函数解析式
考点四：求直线与坐标轴围成的图形的面积
考点五：一次函数与方程（组）之间的关系
考点六：一次函数与不等式（组）之间的关系
考点七：一次函数图象的平移、旋转、对称
考点八：一次函数的实际应用
考点九：一次函数与几何、代数的综合问题
考点十：两直线垂直在函数中的应用
考点十一：两直线平行在函数中的应用
考点考向
1.一次函数的概念
2.一次函数的图像
3.一次函数（）的性质
①当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；
②当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；
4.对直线位置的影响
5.一次函数的应用
（1）根据实际问题建立一次函数解析的方法
①找等量关系；②把已知的条件代入，变化的两个量用变量x、y来表示；③求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域.
（2）利用一次函数解决决策问题
①先根据题意建立函数解析式；②再根据解析式画函数的图像；③根据图像作出决策.
考点精讲
考点一：一次函数的图像与性质
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•嘉定区期中）点A（﹣3，a），点B（﹣1，b）都在直线y＝x+k上，则a，b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法确定
【分析】由k＝＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1可得出a＜b．
【解答】解：∵k＝＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣3，a），点B（﹣1，b）都在直线y＝x+k上，且﹣3＜﹣1，
∴a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
2．（2022春•黄浦区校级期中）下列函数是一次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝﹣x
C．y＝x2+2D．y＝kx+b （k，b是常数）
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），即可判断．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝﹣x是一次函数，故B符合题意；
C、y＝x2+2是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝kx+b （k，b是常数，k≠0）是一次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3．（2022春•浦东新区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜﹣1时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜0D．x＞0
【分析】根据图象的性质，当y＜﹣1即图象在y轴右方，x＞0．
【解答】解：根据图象和数据可知，当y＜﹣1即图象在y轴右方，x＞0．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，关键把握准：y＞﹣1，图象在y轴左方，y＜﹣1，图象在y轴右方，y＝﹣1，看图象与y轴交点．
二．填空题（共3小题）
4．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【分析】利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k+1＜0，
解答：k＜﹣1．
∴k的取值范围是k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．（2022春•浦东新区校级期中）在一次函数y＝﹣x+3中，当x＞1时，则y的取值范围是 y＜2 ．
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝1时y＝2，进而可得出当x＞1时y＜2．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴当x＞1时，y＜2．
故答案为：y＜2．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．（2022春•嘉定区期中）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当x ＞﹣2 时，函数图象在x轴的上方．
【分析】观察函数的图象即可得出答案．
【解答】解：当x＞﹣2时，函数图象在x轴的上方，
故答案为：＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象，考查数形结合的思想，观察函数图象在x轴的上方部分所对应的x的范围是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
7．（2022春•杨浦区校级期中）小明骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与实际时间x（时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：
（1）小明到离家最远的地方需要 3 小时；此时离家 30 千米；
（2）小明第一次休息了 小时；
（3）小明在外出过程中，何时离家25千米？（请直接写出答案）．
【分析】（1）根据折线统计图可知，小明到达离家最远的地方距离他家是30千米，到达最远的时间是12：00﹣9：00＝3小时；
（2）统计图中，折线持平的就是小明休息的时间，由图可见可用11：00﹣10：30进行计算即可得到小明第一次休息的时间；
（3）根据图象列出直线的解析式，代入解答即可．
【解答】解：（1）小明到达距离家最远的地方的时间是12：00﹣9：00＝3小时，此时他离家有30千米；
故答案为：3；30；
（2）11：00﹣10：30＝30分钟＝小时，
故答案为：；
（3）设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把（11，15）和（12，30）代入可得：
，
解得：，
所以解析式为：y＝15x﹣150．
把y＝25代入解析式得：x＝10，
设直线EF的解析式为：y＝ax+c，把（13，30）和（15，0）代入可得：
，
解得：，
所以解析式为：y＝﹣15x+225．
把y＝25代入解析式得：x＝13，
所以当10时或13时，小明距家25km．
【点评】此题主要考查的是函数图象的问题，关键是根据从折线统计图中获取信息，然后再根据信息进行分析、解释即可．
考点二：一次函数图象的位置与系数的关系
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•普陀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+3经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质，当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴．由题意可知直线y＝﹣2x+3中，k＝﹣2，b＝3，即可推出其图象经过一、二、四象限．
【解答】解：由题意可知直线y＝﹣2x+3中，k＝﹣2，b＝3，
∴其图象经过一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，需要理解掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）中k、b的意义．
2．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质，当k＞0时，图象经过第一、三象限解答．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴函数经过第一、三象限，
∵b＝﹣3＜0，
∴函数与y轴负半轴相交，
∴图象不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，需要熟练掌握．
3．（2022春•徐汇区校级期中）函数y＝x﹣3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的系数，利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数y＝x﹣3的图象经过第一、三、四象限，进而可得出函数y＝x﹣3的图象不经过第二象限．
【解答】解：∵k＝＞0，﹣3＜0，
∴函数y＝x﹣3的图象经过第一、三、四象限，
∴函数y＝x﹣3的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
4．（2022春•长宁区校级期中）一次函数y＝﹣5x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由直线的解析式得到k＜0，b＞0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
【解答】解：∵y＝﹣5x+1，
∴k＝﹣5＜0，b＞0，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．
二．填空题（共3小题）
5．（2022春•嘉定区期中）一次函数y＝（4﹣k）x+3，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞4 ．
【分析】根据已知条件“一次函数y＝（4﹣k）x+3中y随x的增大而减小”知，4﹣k＜0，然后解关于k的不等式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（4﹣k）x+3中y随x的增大而减小，
∴4﹣k＜0，
解得k＞4．
故答案是：k＞4．
【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．
6．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数y＝（2m+1）x﹣1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是 ．
【分析】根据一次函数的增减性列出不等式2m+1＜0，通过解该不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：由题意得，2m+1＜0，
解得，m＜﹣．
故答案为：m＜﹣．
【点评】本题考查了一次函数的性质．在直线y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
7．（2022春•杨浦区校级期中）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 0＜k≤1 ．
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
【解答】解：一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，
则可能是经过一、三象限或一、三、四象限，
经过一、三象限时，k＞0且k﹣1＝0，此时k＝1，
经过一、三、四象限时，k＞0且k﹣1＜0．此时0＜k＜1
综上所述，k的取值范围是：0＜k≤1．
故答案为：0＜k≤1．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
考点三：用待定系数法求一次函数解析式
一．解答题（共2小题）
1．（2022春•长宁区校级期中）已知一次函数的图象经过点A（2，﹣4）、B（1，2），求这个一次函数的解析式．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．把A（2，﹣4），B（1，2）分别代入该解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b．
把A（2，﹣4），B（1，2）分别代入y＝kx+b（k≠0）中得：
，
解得，
故所求一次函数解析式为y＝﹣6x+8．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．
2．（2020春•闵行区期末）如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x．
（1）求直线l1的表达式，并写出点B的坐标；
（2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，使得△ABC的面积为6，求直线l2的表达式．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征易得b＝﹣2，根据两直线平行的问题易得k＝2，从而可确定直线l的解析式，进而可得点B的坐标；
（2）设C点坐标为（0，t），然后根据三角形面积公式得到×2•|t+2|＝6，再解绝对值方程求出t的值可得到C点坐标，由B、C的坐标，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b经过点A（0，﹣2），
∴b＝﹣2，
∵直线y＝kx+b平行于直线y＝2x，
∴k＝2，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣2；
∵y＝2x﹣2经过点B（2，m），
∴m＝2，
∴点B的坐标为（2，2）；
（2）如图，
设C点坐标为（0，t），
∵△ABC的面积为6，
∴×2•|t+2|＝6，
解得t＝4或t＝﹣8．
∵直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，
∴C（0，4），
设直线l2的解析式为y＝px+q，
把B（2，2）、C（0，4），代入得：
，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
考点四：求直线与坐标轴围成的图形的面积
一．填空题（共1小题）
1．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 225 ．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，求出一次函数解析式；根据函数解析式计算出当x＝0时y的值，当y＝0时，x的值，进而得到与两坐标轴的交点坐标，然后求三角形的面积即可．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将A（﹣20，5）、B（10，20）代入得：
，
解得：k＝，b＝15，
则一次函数解析式为y＝x+15．
当x＝0时，y＝15，
当y＝0时，x+15＝0，
解得x＝﹣30，
∴与坐标轴的交点坐标为（0，15）（﹣30，0），
此函数与坐标轴围成的三角形面积：×15×30＝225．
故答案为：225．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式．
二．解答题（共1小题）
2．（2022春•静安区期中）已知一次函数的图象经过点M（﹣3，2），且平行于直线y＝4x﹣1．
（1）求这个函数图象的解析式；
（2）所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据平行直线的解析式的k值相等求出k值，然后把点的坐标代入函数表达式进行计算即可得解；
（2）求出与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx+b．
∵直线y＝kx+b与直线y＝4x﹣1平行，
∴k＝4，
∵直线y＝kx+b经过点M（﹣3，2），又k＝4，
∴4×（﹣3）+b＝2，
解得，b＝14，
所以这个函数的解析式为y＝4x+14；
（2）设直线y＝4x+14分别与x轴、y轴交于A、B点，
令x＝0，则y＝14，B（0，14）；
令y＝0，4x+14＝0，
解得x＝﹣，A（﹣，0）
所以S△ABO＝•OA•OB＝××14＝．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等得到k＝4是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法．
考点五：一次函数与方程（组）之间的关系
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的有（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当x＞﹣2时，y＜0
C．k＞0，b＜0
D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：根据图象可知，y随着x增大而增大，
故A选项不符合题意；
当x＞﹣2时，y＞0，
故B选项不符合题意；
根据图象可知k＞0，b＞0，
故C选项不符合题意；
∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴y＝0时，即kx+b＝0时，x＝﹣2，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
2．（2022春•杨浦区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
C．当x＞﹣2时，y＜0
D．k＞0，b＜0
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A，D错误；
又∵图象与x轴交于（﹣2，0），
∴kx+b＝0的解为x＝﹣2，故B正确；
当x＞﹣2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
二．填空题（共3小题）
3．（2021春•浦东新区月考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解是 ．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．（2021春•上海期中）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象，则方程组的解为 ．
【分析】一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点（﹣2，﹣1），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．
5．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数y＝x+a与y＝﹣2x+b的交点坐标为（﹣2，1），则方程组的解为 ．
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接写出答案．
【解答】解：方程组可变为：，
∵函数y＝x+a与y＝﹣2x+b的交点坐标为（﹣2，1），
∴方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
三．解答题（共1小题）
6．（2021春•长宁区校级期中）已知关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解．
（1）求出m、n的值．
（2）求一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）把方程整理后得出（m﹣3）x＝n+2，根据关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解得出m﹣3＝0且n+2＝0，再求出m、n即可；
（2）先求出直线y＝3x﹣2与两坐标轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）mx﹣2＝3x+n，
mx﹣3x＝n+2，
（m﹣3）x＝n+2，
∵关于x的方程mx﹣2＝3x+n有无数个解，
∴m﹣3＝0且n+2＝0，
解得：m＝3，n＝﹣2；
（2）∵y＝mx+n，m＝3，n＝﹣2，
∴y＝3x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，3x﹣2＝0，
解得：x＝，
所以一次函数y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积是|﹣2|×＝．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，三角形的面积和方程的解等知识点，能求出m﹣3＝0和n+2＝0是解此题的关键．
考点六：一次函数与不等式（组）之间的关系
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
【分析】根据图象和A的坐标得出即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是A（0，2），
∴不等式kx+b≥2的解集是x≤0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案．
2．（2022春•虹口区期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜1D．x＞1
【分析】根据图象可以得到该函数与x轴的交点和y随x的增大如何变幻，然后即可写出不等式kx+b＜0的解集．
【解答】解：由图象可得，
一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为（﹣2，0），y随x的增大而增大，
∴不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
3．（2022春•黄浦区校级期中）如图，函数y1＝mx和y2＝2x﹣4的图象相交于点A（1，﹣2），则关于x的不等式mx＞2x﹣4的解集是（ ）
A．y＞﹣2B．x＜1C．y＜﹣2D．x＞1
【分析】根据函数图象即可确定不等式的解题．
【解答】解：∵函数y1＝mx和y2＝2x﹣4的图象相交于点A（1，﹣2），
∴根据图象可知，不等式mx＞2x﹣4的解集是x＜1，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用一次函数的图象来解不等式是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
4．（2022秋•奉贤区月考）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为 x＞3 ．
【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．
【解答】解：根据图象可得，关于x的不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
5．（2022春•徐汇区期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（3，0）和．（0，﹣2），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜3 ．
【分析】根据图象与x轴和y轴的交点坐标可知函数经过第一、三、四象限，可知k＞0，进一步即可确定不等式的解集．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的交点分别是（3，0）和．（0，﹣2），
∴直线经过第一、三、四象限，
∴k＞0，
∴不等式kx+b＜0的解集x＜3，
故答案为：x＜3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键．
6．（2022春•杨浦区校级期中）将直线y＝kx（k＜0）向左平移2个单位得到直线y＝kx+b，则不等式kx+b＞0的解集为 x＜﹣2 ．
【分析】直接利用一次函数平移规律得出图象平移后与x轴交点，进而得出答案．
【解答】解：∵将直线y＝kx（k＜0）向左平移2个单位得到直线y＝kx+b，
∴y＝kx+b经过（﹣2，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是：x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】此题主要考查了一次函数的几何变换以及一次函数与一元一次方程的应用不等式，正确得出图象与x轴交点是解题关键．
7．（2022春•静安区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么不等式kx+b＞0的解集是 x＞﹣6 ．
【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣6时，y＞0，
所以不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣6．
故答案为：x＞﹣6．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（2022春•青秀区校级期末）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k2x＜k1x+b的不等式的解为 x＜﹣1 ．
【分析】写出直线y＝k2x在直线k1x+b下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y＝k2x和直线k1x+b的交点坐标为（﹣1，﹣2），
∴当x＜﹣1时，k2x＜k1x+b．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（2022春•杨浦区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0解集是 x＞﹣3 ．
【分析】首先结合一次函数的图象求出k、b的值，然后解出不等式的解集即可；
【解答】解：把A（﹣3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，可得：，
解得：，
∴不等式为x+2＞0，
解得，x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，根据图形求出不等式的系数k、b，解不等式根据不等式的性质．
10．（2022春•杨浦区校级月考）如果直线y＝kx+b（k＞0）是由正比例函数y＝kx的图象向左平移1个单位得到，那么不等式kx+b＞0的解集是 x＞﹣1 ．
【分析】直接利用一次函数平移规律得出图象平移后与x轴交点，进而得出答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0）是由正比例函数y＝kx的图象向左平移1个单位得到，
∴y＝kx+b经过（﹣1，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点评】此题主要考查了一次函数的几何变换以及一次函数与一元一次方程的应用不等式，正确得出图象与x轴交点是解题关键．
11．（2022春•杨浦区校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（1，﹣2），则关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是 ．
【分析】分两种情况：①k＜0；②k＞0；进行讨论可得关于x的不等式kx+b+2＞0的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（1，﹣2），
∴①k＜0时，关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是x＜1；
②k＞0时，关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是x＞1．
故关于x的不等式kx+b+2＞0的解集是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
声明：考点七：一次函数图象的平移、旋转、对称
一．选择题（共1小题）
1．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，由y＝﹣2x+5得A（2.5，0），根据将直线l1向右平移3个单位得到l2，可得B（5.5，0），直线l2解析式为y＝﹣2x+11，即可得C（0，11），又将l2作关于x轴的对称图形l3，故D（0，﹣11），因将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，故DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，可得E（﹣11，﹣5.5），设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，用待定系数法即有直线l4的解析式为y＝﹣x﹣11．
【解答】解：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，如图：
在y＝﹣2x+5中，令y＝0得x＝2.5，
∴A（2.5，0），
∵将直线l1向右平移3个单位得到l2，
∴B（5.5，0），且直线l2∥直线l1，
∴直线l2解析式为y＝﹣2x+11，
在y＝﹣2x+11中，令x＝0得y＝11，
∴C（0，11），
∵将l2作关于x轴的对称图形l3，
∴D（0，﹣11），
∵将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，
∴DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，
∴E到x轴距离为11﹣5.5＝5.5，
∴E（﹣11，﹣5.5），
设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，
将E（﹣11，﹣5.5）代入得：﹣5.5＝﹣11m﹣11，
解得m＝﹣，
∴直线l4的解析式为y＝﹣x﹣11，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐标．
二．填空题（共11小题）
2．（2022春•闵行区校级期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是 y＝2x+3 ．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是y＝2x﹣3+6，即y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
3．（2022春•奉贤区校级期末）如果将函数y＝2x﹣2的图象平移，且经过（0，3），那么所得图象的函数解析式是 y＝2x+3 ．
【分析】根据题意设平移后的函数解析式为y＝2x+b，代入（0，3）利用待定系数法即可求得函数的解析式．∵
【解答】解：设所得图象的函数解析式为y＝kx+b，
由题意可知，k＝2，
把点（0，3）代入y＝2x+b得，b＝3，
∴所得图象的函数解析式是y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
4．（2022•普陀区二模）将直线y＝﹣2x+1沿着y轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是 y＝﹣2x﹣3 ．
【分析】根据一次函数平移的变换即可求出直线表达式．
【解答】解：根据题意可得，平移后的直线解析式：y＝﹣2x+1﹣4＝﹣2x﹣3，
故答案为：y＝﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的平移变换是解题的关键．
5．（2022•长宁区二模）将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为 y＝﹣2x ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为y＝﹣2（x+3）+6，即y＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．（2022春•长宁区校级期中）如果将直线y＝﹣2x向右平移3个单位，那么所得直线与坐标轴所围成的三角形面积等于 9 ．
【分析】根据函数图象向右平移加，可得函数解析式，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：直线y＝﹣2x向右平移3个单位得直线的解析式为y＝﹣2（x﹣3），即y＝﹣2x+6．
则与坐标轴的交点为（3，0）和（0，6），
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为：
×3×6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移的规律“左加右减，上加下减”．
7．（2022•浦东新区校级模拟）如果将直线y＝2x平移，使其经过点（0，﹣6），那么平移后的直线表达式是 y＝2x﹣6 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝2x+b，然后将点（0，﹣6）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后直线的解析式为y＝2x+b，
把（0，﹣6）代入直线解析式得b＝﹣6．
所以平移后直线的解析式为y＝2x﹣6．
故答案为：y＝2x﹣6．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y＝kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
8．（2022春•奉贤区校级月考）已知经过点（1，﹣2）的直线y＝kx+b是由y＝3x+1向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是 y＝3x﹣5 ．
【分析】根据两直线平行的问题得到k＝3，然后把（1，﹣2）代入y＝3x+b，求出b的值即可．
【解答】解：根据题意得k＝3，
把（1，﹣2）代入y＝3x+b，得﹣2＝3+b，
解得b＝﹣5，
所以直线解析式为y＝3x﹣5．
故答案为：y＝3x﹣5．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y＝k1x+b1（k1≠0）和直线y＝k2x+b2（k2≠0）平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1（k1≠0）和直线y＝k2x+b2（k2≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．
9．（2021秋•静安区期末）把直线y＝x+1向右平移 4 个单位可得到直线y＝x﹣2．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知：
直线y＝x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y＝（x﹣n）+1，
又∵平移后的直线为y＝x﹣2，
∴（x﹣n）+1＝x﹣2，
解得n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
10．（2022春•普陀区校级期中）直线y＝﹣x+b向下平移2个单位，平移后的直线经过点（3，﹣4），则b的值为 0 ．
【分析】根据“上加下减”的原则写出平移后直线方程y＝﹣x+b﹣2，然后将点（3，﹣4）代入求值．
【解答】解：直线y＝﹣x+b向下平移2个单位后所得直线方程为：y＝﹣x+b﹣2．
将点（3，﹣4）代入﹣×3+b﹣2＝﹣4．
解得b＝0．
故答案是：0．
【点评】本题考查图形的平移变换和求函数解析式，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
11．（2020•普陀区二模）将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是 y＝10x ．
【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴＝5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），
∵它的坐标轴三角形的面积为5，
∴＝5，
∴k＝10，
∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x．
【点评】此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
12．（2022春•杨浦区校级期中）如图，该图象是一个正比例函数的图象，把该图象向右平移两个单位长度，得到的函数图象的解析式为 y＝﹣2x+4 ．
【分析】正比例函数的一般形式为y＝kx（k≠0），把（﹣1，2）代入即可求得正比例函数解析式，向右平移两个单位长度，正比例函数的比例系数不变，得到（﹣1，2）向右平移的坐标，代入即可求解．
【解答】解：设正比例函数的一般系数为y＝kx，
∵（﹣1，2）在正比例函数上，
∴﹣k＝2，
k＝﹣2．
向右平移两个单位长度后点（﹣1，2）变为（1，2），
设所求的一次函数解析式为y＝﹣2x+b，
∴﹣2+b＝2，
解得b＝4，
∴得到的函数图象的解析式为y＝﹣2x+4．
【点评】用到的知识点为：在函数解析式上的点的坐标一定适合这个函数解析式；点的左右平移只改变横坐标的值，平移时正比例函数的比例系数k的值不变．
三．解答题（共2小题）
13．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB．
（1）求点C的坐标；
（2）求CD所在直线的函数解析式．
【分析】（1）由直线AB的解析式即可求得A、B的坐标，然后根据勾股定理求得AB，由BA＝CB即可得出点C的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（2）根据平行直线的解析式的k值相等设出直线CD的表达式，然后把C点的坐标代入求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，
∴A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB，
∴点C的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（2）设直线CD的解析式为y＝﹣x+c，
当点C的坐标为（﹣2，0）时，0＝﹣×（﹣2）+c，
解得c＝﹣，
当点C的坐标为（8，0）时，0＝﹣×8+c，
解得c＝，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣或y＝﹣x+．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，重点是求得C点的坐标，难点在于利用平行直线的解析式的k值相等设出直线CD的表达式．
14．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝＝5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PAB＝S△OCD，
∴S△PAB＝××6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
考点八：一次函数的实际应用
一．解答题（共6小题）
1．（2022春•浦东新区校级期中）甲、乙两地相距200km，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线OCD表示轿车离甲地的距离y（km）与x（h）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题．
（1）当0≤x≤1.6时，轿车行驶速度为 千米/小时；
（2）轿车到达乙地后，货车距乙地 50 千米；
（3）直接写出线段CD对应的函数表达式及定义域 y＝100x﹣100（1.6≤x≤3）； ；
（4）出发后经过 2 小时轿车可以追上货车．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，即可得到答案
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度，然后即可计算出轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出线段CD对应的函数表达式，写出定义域；
（4）根据函数图象中的数据，可以计算出OA段对应的函数解析式，然后令OA段对应的函数值等于CD段对应的函数值，求出相应的x的值即可．
【解答】解：（1）60÷1.6＝（千米/小时）；
（2）由图象可得，
货车的速度为200÷4＝50（km/h），
50×（4﹣3）
＝50×1
＝50（千米），
即轿车到达乙地后，货车距乙地50千米；
（3）设线段CD对应的函数表达式为y＝kx+b，
∵点（1.6，60），（3，200）在该函数图象上，
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝100x﹣100（1.6≤x≤3）；
（4）设OA段对应的函数解析式为y＝ax，
∵点（4，200）在该函数图象上，
∴200＝4a，得a＝50，
∴OA段对应的函数解析式为y＝50x，
∵CD段对应的函数解析式为y＝100x﹣100，
∴令50x＝100x﹣100，
解得x＝2，
答：轿车在货车出发后经过2小时可以追上货车．
故答案为：；50；y＝100x﹣100（1.6≤x≤3）；2．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
2．（2022春•杨浦区校级期中）上海浦东某瓜果合作社有一批黄金瓜需要装入某一规格的纸箱投入市场．这种特定的纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买这种纸箱，每个纸箱价格为4元；
方案二：由瓜果合作社租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元；
（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和瓜果合作社自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；
（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．
【分析】（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式y1＝4x，y2＝2.4x+16000．
（2）使y2﹣y1得，16000﹣1.6x＝0，解得x＝10000，讨论x的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点．
【解答】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1＝4x，
瓜果合作社自己加工纸箱费用：y2＝2.4x+16000；
（2）y2﹣y1＝2.4x+16000﹣4x＝16000﹣1.6x，
由y1＝y2得，16000﹣1.6x＝0，
解得x＝10000，
∴当x＜10000时，y1＜y2，
选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．
当x＞10000时，y1＞y2，
选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低．
当x＝10000时，y1＝y2，
选择两个方案的费用相同．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式．
3．（2022春•长宁区校级期中）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系．
（1）当通话时间少于120分钟，那么A方案比B方案便宜 20 元；
（2）当通信费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间 少 （填“多”或“少”）；
（3）王先生粗算自己的每月的移动通信时间在220分钟以上，那么他选择电信公司的 B 方案能便宜 12 元．
【分析】（1）通话时间少于120分，A方案费用30元，B方案费用50元；
（2）费用为60元时，对应的时间从图中两个交点位置可以比较；
（3）通话时间在220以上，两个解析式作差可以比较．
【解答】解：（1）∵通话时间少于120分，A方案费用30元，B方案费用50元，
∴A方案比B方案便宜20元．
故答案为：20；
（2）从图中可以看出，当通讯费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间少．
故答案为：少；
（3）A：当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
当x≥220时，B方案比A方案便宜0.4x﹣18﹣（0.4x﹣30）＝12（元），
故答案为：B，12．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
4．（2022春•黄浦区校级期中）A团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，B专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设A团队走的路程为yA（千米），B专家走的路程为yB（千米），他们前进的时间（从B出发开始计时）为x（小时），yA、yB与x之间的部分函数图象如图所示．
（1）在B专家出发时，A团队已经行进了 20 千米；B专家的速度是每小时 50 千米．
（2）当0≤x≤5时，求yA关于x的函数解析式；
（3）如果5个小时后，B专家保持之前的速度继续前进，A团队提高速度去追赶B，提速后的速度是每小时70千米，请问A团队能否在B专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）由图象直接可得答案；
（2）求出B专家追上A团队时离甲地距离可得这点坐标，再用待定系数法可得答案；
（3）所需求出A团队的速度，可得A团队追上B专家所需的时间为1.5小时，再根据B专家的速度可得答案．
【解答】解：（1）由图象可知：B专家出发时，A团队已经行进了20千米，B专家的速度是250÷5＝50（千米/小时），
故答案为：20，50；
（2）由图象可知，B专家出发后2小时追上A团队，此时离甲地2×50＝100（千米），
设当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝kx+20，将（2，100）代入得：
2k+20＝100，
解得k＝40，
∴当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝40x+20；
（3）由题意得，A团队的速度是（100﹣20）÷2＝40（千米/小时），
当x＝5时，yA＝40×5+20＝220，yB＝250，
所以A团队追上B专家所需的时间为30÷（70﹣50）＝1.5（小时），
当x＝1.5+5＝6.5时，yB＝50×6.5＝325，
340﹣325＝15（千米），
答：A团队能在B专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂题意，正确识图，熟练应用待定系数法求函数解析式．
5．（2021春•黄浦区校级期中）甲、乙两车分别从A地将一批货物运送到B地，乙车再返回A地．如图表示两车离A地的路程y（千米）随时间x（时）变化的图象．已知甲车出发1小时后，乙车出发，且乙车到达B地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图象所提供的信息回答：
（1）写出甲车离开A地将一批货物送到B地对应图象的函数解析式： y＝40x ．
（2）甲车出发 3 小时后被乙车追上．
（3）甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为 276 千米．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间可得甲车的速度，进而可得解析式；
（2）根据甲车的速度可得时间；
（3）求出乙车返回时y与x的关系式，再联立方程组可得答案．
【解答】解析：（1）由图象可知，甲车出发7.5h后，到达离A地300km的B地，
∴甲车速度＝300÷7.5＝40（km/h），
∴甲车对应的函数解析式为：y＝40x，
故答案为：y＝40x；
（2）两车相遇在距A地120km处，120÷40＝3（小时），
故答案为：3；
（3）由（2）知乙车的速度为120÷（3﹣1）60（km/h），
∴乙到达B地用时：，
停留半小时后坐标为（6.5，300），
设返回时为y＝﹣60x+b，代入（6.5，300）得b＝690，
∴y＝﹣60x+690，
联立方程组，
解得x＝6.9，
6.9×40＝276（km），
∴甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为276千米．
故答案为：276．
【点评】本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程的关系，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，寻找等量关系，属于中考常考题型．
6．（2021春•徐汇区校级期中）如图，一辆快车从甲地驶向乙地，一辆慢车从乙地驶向甲地，设先出发的车辆行驶时间为x（小时），两车之间的距离为y（km），如下的函数图象表示y与x之间的函数关系．
（1）慢车速度为 80 km/h，快车速度为 120 km/h．
（2）快车出发多少时间后，两车之间的距离为300km．
【分析】（1）由图象可知：先出发的车行驶0.5小时，行驶距离为40km，据此可得先出发的车的行驶速度，再根据两车相遇用时2.7小时可得另一辆汽车的速度；
（2）先利用前0.5小时的路程除以时间求出一辆车的速度，再利用相遇问题根据2.7小时列式求解即可得到另一辆车的速度，分相遇前相距300km和相遇后相遇300km两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由图象可知：先出发的车行驶0.5小时，行驶距离为480﹣440＝40（km），则先出发的车的行驶速度为40÷0.5＝80（km/h），
后出发的车行驶2.7﹣0.5＝2.2（小时）是时两车相遇，则后出发的车的速度为：
440÷（2.7﹣0.5）﹣80＝440÷2.2﹣80＝200﹣80＝120（km/h），
所以先出发的车为慢车，慢车的速度为80km/h，后出发的车为快车，快车的行驶速度为120km/h．
故答案为：80；120．
（2）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km，即：
（80+120）×（x﹣0.5）＝440﹣300，解得x＝1.2，x﹣0.5＝0.7，
或80+120）×（x﹣2.7））＝300，解得x＝4.2，x﹣0.5＝3.7，
故快车出发0.7或3.7小时时，两车之间的距离为300km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．
考点九：一次函数与几何、代数的综合问题
一．解答题（共5小题）
1．（2022春•上海期中）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）设点C为线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴、CE⊥y轴，垂足分别为D、E，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线AB的表达式；
（2）根据角平分线的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．
∴，
解得，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）设点C的坐标为（a，﹣a+2）．
∵CD⊥x轴、CE⊥y轴，OC平分∠AOB，
∵CD＝CE，
∴a＝﹣a+2．解得a＝，
∴点C的坐标为（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及角平分线的性质定理是解决本题的关键．
2．（2022春•闵行区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，求出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；
（2）设点P的坐标为（x，x+4），利用三角形的面积公式结合S△ABP＝S△AOB，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标；
（3）设点H的坐标为（m，n），分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点H的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2x+18＝18，
∴点B的坐标为（0，18）；
当y＝0时，2x+18＝0，
解得：x＝﹣9，
∴点A的坐标为（﹣9，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，9）．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣9，0），B（0，9）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AM的函数解析式为y＝x+9；
（2）设点P的坐标为（x，x+9），
∵S△ABP＝S△AOB，
∴，BM•|xP﹣xA|＝OA•OB，即×9×|x+9|＝×9×18，
解得：x1＝﹣27，x2＝9，
∴点P的坐标为（﹣27，﹣18）或（9，18）；
（3）设点H的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑（如图所示）：
①当AM为对角线时，，
解得：，
∴点H1的坐标为（﹣9，﹣9）；
②当AB为对角线时，，
解得：，
∴点H2的坐标为（﹣9，9）；
③当BM为对角线时，，
解得：，
∴点H3的坐标为（9，27）．
综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（﹣9，﹣9），（﹣9，9）或（9，27）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
3．（2022春•杨浦区校级期中）如图，已知点A（0，6），点C（3，0），将线段AC绕点C顺时针旋转90°，点A落在点B处，点D是x轴上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）联结B、D．若BD∥AC，求点D的坐标；
（3）联结A、D交线段BC于点Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面积．
【分析】（1）过B点作BM⊥x轴交于M，证明△ACO≌△CBM（AAS），求出B（9，3），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线AC的解析式，由BD∥AC，可设设直线BD的解析式为y＝﹣x+m，将点B（9，3）代入求解即可；
（3）作O点关于直线AC的对称点E，连接AE与x轴交于D，与线段BC交于Q，设CD＝y，ED＝x，由勾股定理得，36+（3+y）2＝（6+x）2①，y2＝9+x2②，联立①②可得x＝4，y＝5，即可求D（8，0），再求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）过B点作BM⊥x轴交于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCM＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCM＝∠OAC，
∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝90°，
∴△ACO≌△CBM（AAS），
∴BM＝OC，CM＝AO，
∵A（0，6），C（3，0），
∴BM＝3，CM＝6，
∴B（9，3），
设直线CB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+6，
∵BD∥AC，
设直线BD的解析式为y＝﹣2x+m，
∵B（9，3），
∴﹣18+m＝3，
解得m＝21，
∴y＝﹣2x+21，
∴D（，0）；
（3）作O点关于直线AC的对称点E，连接AE与x轴交于D，与线段BC交于Q，
由对称性可知，∠OAC＝∠ACE，
∵A（0，6），C（3，0），
∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，
设CD＝y，ED＝x，
∴36+（3+y）2＝（6+x）2①，y2＝9+x2②，
联立①②可得x＝4，y＝5，
∴CD＝5，
∴D（8，0），
∴S△BCD＝5×3＝．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
4．（2022春•静安区期中）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
（1）求直线BD的表达式．
（2）在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．
（3）直线BD上是否存在点F，使△AFC为以AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设出一次函数的一般形式，求出B、D两点坐标，代入求得直线BD的函数关系式；
（2）因为BD是AC边上的中线，所以过A画AP∥BC，交直线BD于P，连接PC，可得到△ADP≌△CDB．即可得到BD＝CD．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCP是所画的平行四边形；
（3）因为F在直线BD上，所以可设F（m，﹣2m+6），因为△AFC为以AC为腰的等腰三角形，所以需分情况讨论：分两种情况：当AC＝AF时，当AC＝FC时，利用两点间的距离公式可得到关于m的方程，解之即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，
∴B（0，6），C（6，0），
又∵点D是AC的中点，
∴D（3，0），
设直线BD的表达式为：y＝kx+b，
代入B，D可得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线BD的表达式为：y＝﹣2x+6；
（2）如图，四边形ABCE即平行四边形．
方法一：在直线BD上取一点E，使ED＝BD，
连接AE，EC．
所以四边形ABCE是所画的平行四边形．
方法二：过A画AE∥BC，交直线BD于E，
连接EC．
所以四边形ABCE是所画的平行四边形．；
设点E的坐标为（t，﹣2t+6），
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴xA+xC＝xB+xE，
∴0+6＝0+t，t＝6，
∴点E的坐标为（6，﹣6）；
（3）∵点F在BD上，
∴设点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴AF2＝（m﹣0）2+（﹣2m+6）2＝m2+（2m﹣6）2．CF2＝（m﹣6）2+（﹣2m+6）2，
∵△AFC是以AC为腰的等腰三角形，
∴当AC＝AF时，则AC2＝AF2，
∴62＝m2+（2m﹣6）2，
∴5m2﹣24m＝0，
解得：m＝0或．
∴点F的坐标为：或（0，6），
当AC＝FC时，则AC2＝CF2，
∴62＝（m﹣6）2+（﹣2m+6）2，5m2﹣36m+36＝0，
解得：m＝6或，
∴点F的坐标为（6，﹣6）或．
∴综上，点F的坐标为或（0，6）或（6，﹣6）或．
【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式和两点间的距离公式等知识，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
5．（2022春•青浦区校级期末）如图，已知点A（1，0），点B（4，0），点C在y轴负半轴上，S△ABC＝6，点P为直线BC上一点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点Q为平面内任一点，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是正方形，求点Q的坐标；
（3）当直线AP与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据S△ABC＝6，求出点C的坐标，利用待定系数法，求出直线CB的解析式即可．
（2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解．
（3）当AP＝CP时，∠APB＝2∠ACB，利用两点间距离可求P点坐标；当AP＝AP'时，∠APB＝∠AP'C，此时∠AP'C＝2∠ACB，过点A作AM⊥BC交于M，过点M作MN⊥x轴交于N，由△ABM是等腰直角三角形，求出M（，﹣），再由M是PP'的中点，求出P的另一个点坐标即可．
【解答】解：（1）∵A（1，0），点B（4，0），
∴AB＝3，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABC＝×AB×OC＝×3×OC＝6，
∴OC＝4，
∵点C在y轴负半轴上，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
（2）①当AB是正方形的边时，对应的正方形为AP′Q′B，
∵A（1，0），AB＝3，B（4，0），
∴P′（1，﹣3），
∴Q′（4，﹣3）；
②当AB是正方形的对角线时，对应的矩形为APBQ，
∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点P、Q的横坐标为＝，
∴P（，﹣），
∴Q（，），
综上所述：Q点的坐标为（4，﹣3）或（，）；
（3）设P（t，t﹣4），
①当AP＝CP时，∠APB＝2∠ACB，
∴（1﹣t）2+（t﹣4）2＝2t2，
∴t＝，
∴P（，﹣）；
②当AP＝AP'时，∠APB＝∠AP'C，
此时∠AP'C＝2∠ACB，
∴△APP'是等腰三角形，
过点A作AM⊥BC交于M，过点M作MN⊥x轴交于N，
∵OA＝OB＝4，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴N是AB的中点，
∴AN＝MN＝，
∴M（，﹣），
∵M是PP'的中点，
∴P'（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键．
考点十：两直线平行在函数中的应用
一．填空题（共2小题）
1．（2020春•浦东新区期末）若直线y＝kx+b平行直线y＝5x+3，且过点（2，﹣1），则b＝ ﹣11 ．
【分析】根据一次函数的特点，两直线平行这一次项系数相同，可确定k的值；把点（2，﹣1）代入即可求出b．
【解答】解：若直线y＝kx+b平行于直线y＝5x+3，则k＝5，
且过点（2，﹣1），当x＝2时y＝﹣1，将其代入y＝5x+b
解得：b＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
2．（2021春•杨浦区校级期末）一次函数的图象经过点（0，3），且与直线y＝﹣2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是 y＝﹣2x+3 ．
【分析】根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是y＝﹣2x+b，再根据一次函数的图象经过点（0，3），求得b＝3．
【解答】解：设直线解析式是y＝kx+b．
∵它与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2．
∵一次函数的图象经过点（0，3），
∴b＝3．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣2x+3．
故答案为y＝﹣2x+3．
【点评】此题考查了一次函数的待定系数法．
注意：若两条直线平行，则它们的k值相等．
二．解答题（共2小题）
3．（2022春•静安区期中）已知一次函数的图象经过点M（﹣3，2），且平行于直线y＝4x﹣1．
（1）求这个函数图象的解析式；
（2）所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据平行直线的解析式的k值相等求出k值，然后把点的坐标代入函数表达式进行计算即可得解；
（2）求出与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx+b．
∵直线y＝kx+b与直线y＝4x﹣1平行，
∴k＝4，
∵直线y＝kx+b经过点M（﹣3，2），又k＝4，
∴4×（﹣3）+b＝2，
解得，b＝14，
所以这个函数的解析式为y＝4x+14；
（2）设直线y＝4x+14分别与x轴、y轴交于A、B点，
令x＝0，则y＝14，B（0，14）；
令y＝0，4x+14＝0，
解得x＝﹣，A（﹣，0）
所以S△ABO＝•OA•OB＝××14＝．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等得到k＝4是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法．
4．（2020春•闵行区期末）如图，已知直线l1：y＝kx+b经过点A（0，﹣2）、B（2，m），且平行于直线l：y＝2x．
（1）求直线l1的表达式，并写出点B的坐标；
（2）如果直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，使得△ABC的面积为6，求直线l2的表达式．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征易得b＝﹣2，根据两直线平行的问题易得k＝2，从而可确定直线l的解析式，进而可得点B的坐标；
（2）设C点坐标为（0，t），然后根据三角形面积公式得到×2•|t+2|＝6，再解绝对值方程求出t的值可得到C点坐标，由B、C的坐标，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b经过点A（0，﹣2），
∴b＝﹣2，
∵直线y＝kx+b平行于直线y＝2x，
∴k＝2，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣2；
∵y＝2x﹣2经过点B（2，m），
∴m＝2，
∴点B的坐标为（2，2）；
（2）如图，
设C点坐标为（0，t），
∵△ABC的面积为6，
∴×2•|t+2|＝6，
解得t＝4或t＝﹣8．
∵直线l2经过点B，与y轴的正半轴相交于点C，
∴C（0，4），
设直线l2的解析式为y＝px+q，
把B（2，2）、C（0，4），代入得：
，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
巩固提升
一、单选题
1．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】由，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
2．（2022秋·上海徐汇·八年级校考期中）以下函数中，属于一次函数的是( )
A．B．、是常数
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；
B．选项没有强调，故该选项不符合题意；
C．选项，，故该选项符合题意；
D．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．掌握一次函数的形式是解答本题的关键．
二、填空题
3．（2022秋·上海嘉定·八年级校考期中）设关于的一次函数与，则称函数其中，为此两个函数的生成函数．写出一个和的生成函数：______．
【答案】答案不唯一
【分析】根据题意可以写出一个符合要求的生成函数，本题得以解决，本题答案不唯一．
【详解】解：由题意可得，
和的生成函数是，
故答案为：答案不唯一．
【点睛】本题考查一次函数，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的函数，注意本题答案不唯一，这是一道开放性题目．
4．（2022秋·上海长宁·八年级校考期中）已知一次函数的图像与的图像平行，且经过点，则这个一次函数的解析式为______．
【答案】
【分析】设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点代入可计算出即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
∵一次函数的图像与的图像平行，
∴，
∴，
把代入得，
故直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，掌握两条直线是平行的关系，则他们的自变量系数相同是解答本题的关键．
5．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为______．
【答案】##
【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标为两个函数解析式组成的方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：方程组可变为：，
函数与的交点坐标为，
方程组的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握两个一次函数图象的交点坐标与两个函数解析式组成的方程组的解之间的关系．
6．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
【答案】##y=1+x
【分析】根据题意，可得，求出的值，即可确定直线解析式．
【详解】解析：解：根据题意，得，
解得，
即直线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
7．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知一次函数的图象过点，且与直线平行，则函数的解析式是______．
【答案】
【分析】设直线的解析式为，根据一次函数平行的性质得到k的值，再将点（2，1）代入计算求出b即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
直线直线平行，
，
，
把代入得，解得，
故直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数图象平移的规律：k值相等，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握求一次函数的方法是解题的关键．
8．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
【答案】或
【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意，设与轴交点坐标为
则，
解得，
，
当时，与轴交点为
∴，解得，
函数解析式为；
当时，与轴的交点为
∴解得，
函数解析式为．
这个一次函数的解析式是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
9．（2022秋·上海·八年级校考期中）一次函数的图象在轴上的截距是______．
【答案】1
【分析】代入求出值，此题得解．
【详解】解：当时，，
一次函数的图象在轴上的截距是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入求出的值即可求出该函数图象在轴上的截距，是解题的关键．
10．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）将直线沿轴方向向上平移3个单位，得新直线表达式是______．
【答案】
【分析】根据直线的平移规则：上加下减，即可得解．
【详解】解：将直线沿轴方向向上平移3个单位，得新直线表达式是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移．熟练掌握直线的平移规则：上加下减，是解题的关键．
11．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）把一次函数的图像向下平移______个单位，平移后的图像经过点．
【答案】3
【分析】设一次函数的图像向下平移k个单位，则，然后再将点代入求得k即可．
【详解】解：设一次函数的图像向下平移k个单位
∴
∵平移后的图像经过点
∴，解得．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数图像的平移规律“左加右减、上加下减”是解答本题的关键．
三、解答题
12．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）已知梯形的四个顶点为，对于直线回答下列问题：
(1)若以表示该直线截梯形的包含点的那部分的面积，当该直线与边相交时，是多少（用表示）？与边相交时呢？
(2)为何值时，该直线把梯形二等分．
【答案】(1)当该直线与边相交时，；当该直线与边相交时，
(2)
【分析】（1）根据点的坐标画出图形得到轴，轴，，当该直线与边相交时，设直线与交于E，与交于F，根据三角形的面积公式即可得到；当该直线与边相交时，设直线与交于M，与交于N，根据梯形的面积公式即可得到；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴轴，轴，，
当该直线与边相交时，如图，设直线与交于E，与交于F，
∴，
，，
∴，
当该直线与边相交时，设直线与交于M，与交于N，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，根据题意画出图形是解题的关键．
13．（2022春·上海·八年级校考期中）已知函数和的图㑰有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，求这两个函数图像的交点坐标．
【答案】，
【分析】根据函数有交点，联立方程组，将一个交点的横坐标为1代入，即可求出的值，从而求出函数解析式，联立两个函数，即可求解出两个交点坐标．
【详解】解：函数和的图㑰有两个交点，联立方程组得，，且一个交点的横坐标为1，
∴，则，
∴函数的解析式为，，，
∴，解方程组得，，，
∴这两个函数图像的交点坐标分别是，．
【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数交点的综合运用，掌握正比例函数解析式，反比例函数解析式的计算方法是解题的关键．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）在直角三角形中，，，，，于，在上取一点（不与、重合），设三角形的面积是，的长为，求和的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】
【分析】根据图形求面积的函数关系式．
【详解】由直角三角形的面积，可得：，
所以．
【点睛】本题考查了根据图形求面积的函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15．（2022春·上海·八年级专题练习）上海磁悬浮列车在一次运行中速度V（千米/小时）关于时间t（分钟）的函数图象如图，回答下列问题．
（1）列车共运行了___分钟
（2）列车开动后，第3分钟的速度是___千米/小时．
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了___分钟．
（4）列车从___分钟开始减速．
【答案】 8 300 2 5
【分析】（1）根据函数图象的坐标，解答即可；
（2）根据函数图象的坐标，解答即可；
（3）根据函数图象的坐标，解答即可；
（4）根据函数图象的坐标，解答即可．
【详解】解：（1）列车共运行了8分钟；
故答案为：8；
（2）列车开动后，第3分钟的速度是300千米/小时；
故答案为：300；
（3）列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了2分钟；
故答案为：2；
（4）列车从5分钟开始减速．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
16．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求：
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)求当时的函数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，则，然后利用待定系数法即可求得；
（2）把代入（1）求得函数解析式求解．
【详解】（1）设，，
则，
根据题意得：
解得： ，
则函数解析式是：；
（2）当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．
17．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）已知一次函数．
(1)若函数图象在y轴上的截距为，求m的值；
(2)若函数图象平行于直线，求m的值；
(3)该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）截距等于，得，解方程即可；
（2）根据平行直线的解析式的k值相等列式计算即可得解；
（3）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象在y轴上的截距为，
∴，
解得；
（2）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
解得；
（3）解：∵函数的图象不过第二象限，
∴，，
由①得：，
由②得，，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
18．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）已知反比例函数（为常数，）．
(1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值；
(2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点；
(3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标．
(4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)，
【分析】（1）根据点的纵坐标是2，代入正比例函数解出y，将x，y代入反比例函数即可得到答案；
（2）联立两个函数解方程即可得到答案；
（3）设点C的坐标为根据点到坐标轴距离直接代入求解即可得到答案；
（4）根据交点直接可得到答案．
【详解】（1）解：当 ，，
将，代入反比例函数得，
，
解得；
（2）由（1）得，
，
联立正比例函数与反比例函数可得，
，
解得：或，
∴；
（3）解：设点C的坐标为，由题意可得，
，
解得：或，
当时， ，
当时，，
∴点C的坐标为：或；
（4）解：由题意可得，
，在及上都是随x增大而减小，
随x增大而增大，
∴，函数大于反比例函数．
【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数图像共存问题，解题的关键是先利用一个交点求出反比例函数的解析式，再根据交点判断不等式的解．
19．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知正方形的边长是3厘米，动点从点出发，沿、、方向运动至点停止．设点运动的路程为厘米，的面积为平方厘米．
(1)当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域；
(2)当动点在上运动时，求关于的解析式及其定义域；
(3)当取何值时，的面积为1.5平方厘米？
【答案】(1)（）
(2)，（）
(3)或
【分析】（1）利用当动点在上运动时，利用三角形面积求法得出即可；
（2）利用当动点在上运动时，结合图象得出三角形面积是定值；
（3）分别利用的面积为1.5平方厘米，当在上时，以及当在上时，求出即可．
【详解】（1）解：（1）∵当动点在上运动时，正方形的边长是3厘米，
∴的面积为：，
即（）；
（2）∵当动点在上运动时，
∴的面积为：，
即，（）；
（3）如图所示：
的面积为1.5平方厘米，当在上时，
则，
解得：，
当在上时，
则，
解得：，
综上所述：或时，的面积为1.5平方厘米．
【点睛】此题主要考查了动点函数的应用，利用数形结合以及三角形面积求出是解题关键．
20．（2022春·上海·八年级上海交大附中校考期中）如图，长方形边．
(1)直线，交边于点，求的取值范围：
(2)直线，将长方形的面积分成两部分，靠近轴的一部分记作，试写出关于的解析式；
(3)直线，是否可能将长方形的面积分成两部分的面积比为？若能，求出的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，或
【分析】（1）待定系数法求得直线的解析式，即可求解；
（2）分类讨论①当直线，与相交，根据长方形面积减去即可求解，②当直线与相交，直接根据三角形面积公式求解；
（3）根据（2）的结论，结合题意，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵长方形边．
∴，
将代入，得，
∴直线的解析式为，
∵直线，交边于点，
∴；
（2）解：∵直线，将长方形的面积分成两部分，靠近轴的一部分记作，
令，∴，
即，
∴，
∴，
由，令，则，
即直线与的交点为，
当时，，
∴，
综上所述，；
（3）由（2）可得，
直线，将长方形的面积分成两部分的面积比为，
当与线段有交点时，即，
解得，
当与线段有交点时，即，
解得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．
21．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题．
(1)当时，轿车行驶速度为______千米小时；
(2)轿车到达乙地后，货车距乙地______千米；
(3)直接写出线段对应的函数表达式及定义域______；
(4)出发后经过______小时轿车可以追上货车．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据速度路程时间，即可得到答案；
根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度，然后即可计算出轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米；
根据函数图象中的数据，可以计算出线段对应的函数表达式，写出定义域；
根据函数图象中的数据，可以计算出段对应的函数解析式，然后令段对应的函数值等于段对应的函数值，求出相应的的值即可．
（1）
解：千米小时；
故答案为：；
（2）
由图象可得，货车的速度为，


千米，
即轿车到达乙地后，货车距乙地千米，
故答案为：50；
（3）
设线段对应的函数表达式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
故答案为：；
（4）
设段对应的函数解析式为，
点在该函数图象上，
，得，
段对应的函数解析式为，
段对应的函数解析式为，
令，
解得，
答：轿车在货车出发后经过小时可以追上货车，
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
22．（2022春·上海嘉定·八年级统考期末）如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
(3)连接，若是直角三角形，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)（）
(3)或
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）证明等边三角形，求出，可得，根据，得出，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案；
（3）分为两种情况：为直角顶点时．为直角顶点时，分别构建方程求解即可．
【详解】（1），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
角的两边分别与的边、交于点、，
过作于，最后只能到点，
此时是，
函数的定义域即的取值范围是：；
（3）如图中，当时，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即；
当时，如图2，
，

，
解得：，
即；
综上所述：或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了含度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
经过第一、二、三象限
经过第一、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、二、四象限
经过第二、四象限
经过第二、三、四象限