沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点01一次函数的应用(五种题型)(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点01一次函数的应用(五种题型)(原卷版+解析)，共155页。试卷主要包含了分配方案问题，最大利润问题，行程问题，几何图形的应用等内容，欢迎下载使用。

考点一：分配方案问题
考点二：最大利润问题
考点三：行程问题
考点四：几何问题
考点五：其他问题
技巧方法
一、分配方案问题
1.把实际问题转化成数学函数问题，列出函数关系式；
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的取值范围；
3.利用函数的增减性选择出最佳方案。
二、最大利润问题
1.根据题意及利润公式（利润=售价-成本）来列方程，并确定自变量的取值范围；
2.结合函数的增减性情况判断函数最值的取值情况；
3.判断最值是否在自变量的取值范围内，确定最后的结果。
三、行程问题
1.同时、同地、同向出发——先到返回相遇
2.同向，不同时，不同地追击行程，中间有变速——同时终点到达
3.两地、同时相向行程，不同时到达目的地。
4.两地，不同时相向行程，不同时到达目的地。
5.同地、背向出发——先终点到达后返回相向而行后相遇。
四、几何图形的应用
1.借助与一次函数图像性质解决与面积有关问题
在平面坐标系中，将一次函数的图像与面积结合在一起的问题是考查学生综合能力和热点的问题，它充分体现的数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化思想．解决这类问题的基本步骤是：
（1）确定交点坐标（可用参数表示）；
（2）求出有关线段的长度；
（3）将有关图形的面积化归为坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图像与面积间的关系综合求解.
（4）一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：
2. 坐标系下的等腰三角形
（1）如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
（2）已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．
（3）解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
（4）几何法一般分三步：分类、画图、计算．
（5）代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（两点间距离公式）
3. 坐标系下的直角三角形
（1）解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
（2）一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理列方程．
（3）在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．
（4）有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般列方程更简便．
能力拓展
考点一：分配方案问题
一、解答题
1．（2022春·上海·八年级开学考试）某图书借阅室提供两种租书方式：一种是零星租书，每册收费 1 元；另一种是会员租书，会员卡费用为每季度10 元，租书费每册 0.5 元．小亮经常来租书，若每季度租书数量为 x 册．
（1）写出零星租书方式每季度应付金额 y1（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（2）写出会员卡租书方式每季度应付金额 y2（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（3）请分析小亮选取哪种租书方式更合算？
2．（2022春·上海·八年级专题练习）为进一步普及新观状病毒疫情防控知识，提高学生自我保护能力，时代中学复学后采取了新冠状病毒疫情防控知识竞赛活动，对于成绩突出的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．
（1）求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）
若师生均购买二等座票，则共需3800元．
（1）求参加活动的教师和学生各有多少人?
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人?
5．（2022春·上海·八年级专题练习）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 元，
②方式收费 元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 ；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 （填①或②）．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元．
(1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式；
(2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；
(3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
7．（2021秋·上海·八年级期中）无锡阳山地区有A、B两村盛产水蜜桃，现A村有水蜜桃200吨，B村有水蜜桃300吨．计划将这些水蜜桃运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，A、B两村运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为yA元和yB元．
（1）请先填写下表，再根据所填写内容分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的水蜜桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．
8．（2021春·上海普陀·八年级统考期末）随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示．
（1）非节假日门票定价是 元/人；
（2）当时，与之间的函数关系式_
（3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？
9．（2021春·上海·八年级上外附中校考期末）学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：
（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；
（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．
考点二：最大利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）某校运动会需购买、两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品5件和种关品3件，共需95元．
（1）求、两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元）与（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值．
3．（2022春·上海·八年级期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围．
(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：
(1)每台A型空气净化器的销售利润是 元；每台B型空气净化器的销售利润是 元；
(2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 台；B型空气净化器 台．
(3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？
5．（2021秋·上海·八年级期中）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克.经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系，并且得到了表中的数据：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元?
6．（2021春·上海徐汇·八年级统考期中）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
（1）当x的取值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．
7．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
考点三：行程问题
一、填空题
1．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量y（升）与汽车的行驶路程x（千米）之间具有一次函数关系（如图所示）．为了行驶安全考虑，邮箱中剩余油量不能低于5升，那么这辆汽车装满油后至多行驶_____千米，就应该停车加油．
二、解答题
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：
(1)汽车共行驶了___________千米；
(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；
(3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程）
3．（2022春·上海·八年级专题练习）A团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，B专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设A团队走的路程为yA（千米），B专家走的路程为yB（千米），他们前进的时间（从B出发开始计时）为x（小时），yA、yB与x之间的部分函数图像如图所示．
(1)在B专家出发时，A团队已经行进了 千米；B专家的速度是每小时 千米．
(2)当0≤x≤5时，求yA关于x的函数解析式；
(3)如果5个小时后，B专家保持之前的速度继续前进，A团队提高速度去追赶B，提速后的速度是每小时70千米，请问A团队能否在B专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
(1)小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为 小时；
(2)小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
5．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
(1)分别求出甲、乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系及定义域；
(2)当x为多少时，甲、乙两人相距最远，并求出最远距离．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两车分别从A地将一批货物运送到B地，乙车再返回A地．如图表示两车离A地的路程y（千米）随时间x（时）变化的图象．已知甲车出发1小时后，乙车出发，且乙车到达B地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图象所提供的信息回答：
(1)写出甲车离开A地将一批货物送到B地对应图象的函数解析式：______．
(2)甲车出发______小时后被乙车追上．
(3)甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为______千米．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）A，B两地相距 km；乙骑车的速度是 km/h；
（2）请分别求出甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式；
（3）求甲追上乙时用了多长时间．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知、两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从地匀速开往地，甲车从地沿此公路匀速驶往地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程（千米）与乙车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车速度为_____千米/时．
（2）求甲乙两车相遇后的与之间的函数关系式．
（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．
（1）求、的函数解析式；
（2）当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时离海岸的距离；若不能，请说明理由．

10．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书.她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题：
（1）图书馆到小燕家的距离是 米；
（2）a= ，b= ，m= ；
（3）妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是 ；定义域是 .
11．（2022春·上海静安·八年级校考期中）如图，线段AB、CD分别是一辆轿车的邮箱剩余油量（升）与另一辆客车的油箱剩余油量（升）关于行驶路程（千米）的函数图像.
（1）分别求、关于函数解析式，并写出定义域.
（2）如果两车同时出发，轿车的行驶速度为每小时100千米，客车的行驶速度为每小时80千米，当邮箱的剩余油量相同，两车行驶的时间相差几分钟.
12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合.已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米.图中的折现反映了爸爸行走的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系.
（1）爸爸行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟；
（2）当时，与之间的函数关系式是 ；
（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟 米；
（4）当妈妈到达缆车终点是，爸爸离缆车终点的路程是 米.
13．（2022春·上海·八年级校考期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地直接的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．
14．（2022春·上海·八年级期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息：
（1）求线段AB所在直线的函数解析式；
（2） 可求得甲乙两地之间的距离为 千米；
（3）已知两车相遇时快车走了180千米，则快车从甲地到达乙地所需时间为 小时．
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．
(1)这次比赛的路程是_______米；
(2)小王的平均速度是_________米/秒；
(3)他们先到达终点的是_______；
(4)小李跑步的路程(米)与时间(秒)的函数关系式是_________．
16．（2022春·上海·八年级期中）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
考点四：几何问题
一、填空题
1．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______．
2．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________．
3．（2022春·上海·八年级期末）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，点C在y轴的正半轴上，BC＝5，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是 __．
二、解答题
4．（2022春·上海·八年级专题练习）直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，，，，，，P是一动点，沿、由A经D点向C点移动，设P点移动的路程是x．
(1)当P在上运动的时候，设，求y与x之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；
(2)当点P继续沿向C移动时，设，求y与x之间的函数关系式．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
(1)求四边形ABPQ为矩形时t的值；
(2)若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
(3)在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝∠MAN＝60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．
(1)当点E在线段BC上时，求证：BE＝CF；
(2)设BE＝x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；
(3)连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．
8．（2022春·上海·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
9．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB过点和，且m、n满足．
(1)求直线AB的表达式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若面积等于10，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点C为直线AB上一动点，连接CD，在坐标轴上是否存在点P，使是以CD为底边的等腰直角三角形，直角顶点为P．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
(1)求b的值及点D的坐标；
(2)在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
12．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
(1)求直线AC的表达式．
(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．
(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=﹣2x＋4的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求点A坐标和点B坐标；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为平面直角坐标系中一点，以B、D、A、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的P点坐标．
15．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，与直线CD相交于点C（1，m），直线CD与x轴交于点D（3，0）．
（1）联结BD，CD，求△BCD的面积．
（2）在平面内是存在一点E，使得以A、C、D、E为四个顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
（3）设点F是x轴上一个动点，当∠CDB＝∠FBD时，求点F的坐标．
16．（2022春·上海·八年级期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，已知在梯形中，，是下底上一动点（点与点不重合），，，，，设，四边形的面积为．
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
19．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)如果直线l经过点C且与直线平行，点是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交线段AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域；
②当点P在y轴正半轴上，如是等腰三角形，求t的值．
20．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点
(1)求直线AB的表达式；
(2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形；
(3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标；
(3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标．
22．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标；
(3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点，，点P在直线上．
(1)直接写出点C和点D的坐标：C______，D______．
(2)Q为坐标平面内一点，当以O、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标．
24．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点
(1)求证：；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
(3)当时，直接写出的长
考点五：其他问题
一、填空题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式用图象表示为折线，小文打了2分钟，需付费__元，小文打了8分钟付费__元．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）小华用500元去购买单价为3元的一种整体商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是__，x的取值范围是__．
3．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）一水池的容积是100m³，现有蓄水10m³，用水管以每小时6m³的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量V（m³）与进水时间t（小时）之间的函数关系式（并写出自变量取值范围）__________．
二、解答题
4．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
5．（2022春·上海·八年级期中）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润.
6．（2022春·上海·八年级专题练习）据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量(微克)与服用后的时间(小时)之间的函数关系如图所示:
(1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升;
(2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式;
(3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢！”为了做好开学准备，某校共购买了20桶两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知种消毒液300元/桶，每桶可供2000米的面积进行消杀，种消毒液200元/桶，每桶可供1000米的面积进行消杀．
（1）设购买了种消毒液桶，购买消毒液的费用为元，写出与之间的关系式；
（2）在现有资金不超过5300元的情况下，求可消杀的最大面积．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量（千克）与上市时间（天）的函数关系如图所示．
（1）求日销售量与上市时间的函数关系式；
（2）求出第15天的日销售量．
9．（2022春·上海·八年级期中）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示：
（1）直接写出y关于x的函数解析式是 ；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？
10．（2022秋·上海·八年级专题练习）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
11．（2022春·上海·八年级专题练习）有一个带有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到x（分）与水量y（升）之间的关系如图：
（1）每分钟进水多少？
（2）0＜x≤4时，y与x的函数关系式是什么？
（3）4＜x≤12时，函数关系式是什么？
（4）你能求每分钟放水多少升吗？
12．（2022春·上海·八年级期中）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
13．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
14．（2022秋·上海·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（D不与B、C点重合），作DE⊥AB，垂足为E. 连接AD，设CD=x，DE=y．
(1)当E点为AB的中点时，求CD的长；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)过B作DE的平行线交AD的延长线于F，当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，直接写出CD的长度．
运行区间
一等座
二等座
出发站
终点站
成人票价（元/张）
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
A市高铁站
B市高铁站
132
80
60
C
D
总计
A
x吨
200吨
B
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
收地运地
C
D
总计
A
x吨
______
200吨
B
______
______
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
标准型
舒适性
载客量（单位：人/辆）
40
28
租金（单位：元/辆）
500
350
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2500
10
5
2750
价格x（元/千克）
7
5
价格y（千克）
2000
4000
售价x（元）
15
20
25
･･････
日销售量y（件）
25
20
15
･･････
x（天）
60
80
100
y（万元）
45
40
35
重难点01一次函数的应用（五种题型）
目录
考点一：分配方案问题
考点二：最大利润问题
考点三：行程问题
考点四：几何问题
考点五：其他问题
技巧方法
一、分配方案问题
1.把实际问题转化成数学函数问题，列出函数关系式；
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的取值范围；
3.利用函数的增减性选择出最佳方案。
二、最大利润问题
1.根据题意及利润公式（利润=售价-成本）来列方程，并确定自变量的取值范围；
2.结合函数的增减性情况判断函数最值的取值情况；
3.判断最值是否在自变量的取值范围内，确定最后的结果。
三、行程问题
1.同时、同地、同向出发——先到返回相遇
2.同向，不同时，不同地追击行程，中间有变速——同时终点到达
3.两地、同时相向行程，不同时到达目的地。
4.两地，不同时相向行程，不同时到达目的地。
5.同地、背向出发——先终点到达后返回相向而行后相遇。
四、几何图形的应用
1.借助与一次函数图像性质解决与面积有关问题
在平面坐标系中，将一次函数的图像与面积结合在一起的问题是考查学生综合能力和热点的问题，它充分体现的数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化思想．解决这类问题的基本步骤是：
（1）确定交点坐标（可用参数表示）；
（2）求出有关线段的长度；
（3）将有关图形的面积化归为坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图像与面积间的关系综合求解.
（4）一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：
2. 坐标系下的等腰三角形
（1）如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
（2）已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．
（3）解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
（4）几何法一般分三步：分类、画图、计算．
（5）代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（两点间距离公式）
3. 坐标系下的直角三角形
（1）解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
（2）一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理列方程．
（3）在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．
（4）有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般列方程更简便．
能力拓展
考点一：分配方案问题
一、解答题
1．（2022春·上海·八年级开学考试）某图书借阅室提供两种租书方式：一种是零星租书，每册收费 1 元；另一种是会员租书，会员卡费用为每季度10 元，租书费每册 0.5 元．小亮经常来租书，若每季度租书数量为 x 册．
（1）写出零星租书方式每季度应付金额 y1（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（2）写出会员卡租书方式每季度应付金额 y2（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（3）请分析小亮选取哪种租书方式更合算？
【答案】；；(3)当每季度租书少于20册时，采用零星租书合算；当每季度租书恰为20册时，两种方式费用相同；当每季度租书多于20册时，会员租书方式更合算.
【分析】（1）根据题意即可写出零星租书方式每季度应付金额 y1（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（2）根据题意即可写出会员卡租书方式每季度应付金额 y2（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式；
（3）令y1= y2，求出此时的租书数，即可求解．
【详解】（1）零星租书方式每季度应付金额 y1（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式为；
（2）会员卡租书方式每季度应付金额 y2（元）与租书数量 x（册）之间的函数关系式为；
（3）当y1= y2，即x=0.5x+10
解得x=20
故：当每季度租书少于20册时，采用零星租书合算；
当每季度租书恰为20册时，两种方式费用相同；
当每季度租书多于20册时，会员租书方式更合算．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的关系式．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）为进一步普及新观状病毒疫情防控知识，提高学生自我保护能力，时代中学复学后采取了新冠状病毒疫情防控知识竞赛活动，对于成绩突出的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元．
（1）求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数．
【答案】（1）1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元；（2）当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元．
【分析】（1）设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲型笔记本a本，费用为w元，列出w与a函数关系式，确定a取值范围，根据一次函数增减性即可确定最省钱方案．
【详解】解：（1）设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，根据题意得：
，解得，，
答：1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元；
（2）设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本（200﹣a）本，费用为w元，
w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
所以，当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数与实际问题，根据题意列出函数关系式，确定自变量取值范围是解题关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？
【答案】（1）；（2）运往A城4万剂，运往B城6万剂；最低费用是6800元
【分析】（1）根据题意总费用＝运往A城费用+运往B城费用列出函数关系式整理即可求解；
（2）根据一次函数的性质和自变量的取值范围即可求出当时，y取最小值，费用为6800元，问题得解．
【详解】解：（1）设运往A城x万剂，运往B城万剂，依据题意可得
答：运输这批10万剂疫苗的费用与的函数关系式为；
（2）根据A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，可得
因为，所以y随着x的增大而增大，
所以，当时，y取最小值，（元）
答：在满足A城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是：运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元．
【点睛】本题考查了一次函数解决实际问题，熟练掌握一次函数的性质，根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围是解题关键．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）
若师生均购买二等座票，则共需3800元．
（1）求参加活动的教师和学生各有多少人?
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人?
【答案】（1）参加活动的教师人数为10人，学生人数为50人；
（2）①；②若购买一、二等座票全部费用不超过4000元，则提早前往的教师最多只能3人．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）①依题意列出关于的函数关系式后，需要考虑自变量的范围；
②利用①中的函数关系式，根据函数的增减性，研究其最值，需要考虑人的个数只能取正整数．
【点睛】（1）设参加活动的教师人数为人，学生人数为人，
根据题意得：
解得
答：参加活动的教师人数为10人，学生人数为50人.
（2）①依题意有：
故关于的函数关系式为：
②依题意有：
解得：
∵为正整数
∴的最大值为3
答：若购买一、二等座票全部费用不超过4000元，则提早前往的教师最多只能3人.
【详解】本题考查了列二元一次方程组、一次函数的实际应用中分配方案问题，解题的关键是：根据题意求出函数的表达式，再确定其增减性、自变量的取值范围．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 元，
②方式收费 元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 ；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 （填①或②）．
【答案】（1）80，100；（2）y2＝0.2x；（3）②
【分析】（1）根据题意由函数图象就可以得出①②收费；
（2）根据题意设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由待定系数法求出k2值即可；
（3）根据题意设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，再讨论当y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时求出x的取值就可以得出结论．
【详解】解：（1）由函数图象，得：
①方式收费80元，②方式收费100元，
故答案为：80，100；
（2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由题意，得
100＝500k2，
∴k＝0.2，
∴函数解析式为：y2＝0.2x；
（3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，由函数图象，得：
，
解得：，
∴y1＝0.1x+30，
当y1＞y2时，0.1x+30＞0.2x，
解得：x＜300，
当y1＝y2时，0.1x+30＝0.2x，
解得：x＝300，
当y1＜y2时，0.1x+30＜0.2x，
x＞300，
∵200＜300，
∴方式②省钱．
故答案为：②．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，设计方案的运用，解答时认真分析函数图象的意义是解题的关键．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元．
(1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式；
(2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；
(3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
【答案】(1)(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨；yA＝5000－5x(0≤x≤200)，yB＝3x＋4680(0≤x≤200)
(2)当x＝40时，两村的运费一样多；以当0≤x＜40时，B村的运费较少；当40＜x≤200时，A村的运费较少；
(3)调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9580元．
【分析】（1）由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可；
（2）由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式求得总费用即可；
（3）由B村的柑橘运费不得超过4830元，得到不等式，求出x的取值范围．再求出两村运费之和w，由一次函数的性质即可得出结论．
(1)
解：由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，
故运往D仓库为（200﹣x）吨；
由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，
故B村应往C仓库运（240﹣x）吨；
剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）=x+60；
从左往右，从上往下依次填：(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨．
yA＝20x＋25(200－x)＝5000－5x(0≤x≤200)，
yB＝15(240－x)＋18(x＋60)＝3x＋4680(0≤x≤200)．
(2)
解：当yA＝yB，即5000－5x＝3x＋4680时，
解得：x＝40，
所以当x＝40时，两村的运费一样多；
当yA＞yB，即5000－5x＞3x＋4680时，
解得：x＜40，
所以当0≤x＜40时，B村的运费较少；
当yA＜yB，即5000－5x＜3x＋4680时，
解得：x＞40，
所以当40＜x≤200时，A村的运费较少．
(3)
由B村的柑橘运费不得超过4830元，得3x＋4680≤4830，
解得：x≤50．
两村运费之和w＝yA＋yB＝5000－5x＋3x＋4680＝9680－2x．
∵－2＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝50时，两村的运费之和最小，
∴调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680－2×50＝9580(元)．
【点睛】本题考查了列代数式，以及代数式求值，一次函数的应用，利用题目蕴含的基本数量关系解决问题是解题关键．
7．（2021秋·上海·八年级期中）无锡阳山地区有A、B两村盛产水蜜桃，现A村有水蜜桃200吨，B村有水蜜桃300吨．计划将这些水蜜桃运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，A、B两村运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为yA元和yB元．
（1）请先填写下表，再根据所填写内容分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
（2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的水蜜桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．
【答案】（1），，，，；（2）当时，B村运费较少；当时，A、B村运费一样；当时，A村运费较少；（3）A村运50吨到C仓库，运150吨到D仓库，B村运190吨到C仓库，运110吨到D仓库；9580元．
【分析】（1）先设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，就可以分别表示出A村到D处，B村到C处，B村到D处的数量．利用运送的吨数×每吨运输费用=总费用，列出函数解析式即可解答；
（2）由（1）中的函数解析式联立方程与不等式解答即可；
（3）首先由B村的水蜜桃的运费不得超过4830元得出不等式，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，求得最值．
【详解】解：（1）A，B，两村运输水蜜桃情况如表，
根据上表及题意，得
，
；
（2）①当时，即5000−5x=3x+4680，
解得：x=40，
当x=40，两村的运费一样多；
②当，即5000−5x>3x+4680，
解得：x<40，
当0③当，即5000−5x<3x+4680，
解得：x>40，
当40（3） ∵B村的水蜜桃运费不得超过4830元，
，
解得x≤50，
两村运费之和为，
要使两村运费之和最小，所以x的值取最大时，运费之和最小，
故当x=50时，最小费用是9680−2×50=9580（元）．
此时的调运方案为：
A村运50吨到C仓库，运150吨到D仓库，
B村运190吨到C仓库，运110吨到D仓库．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的运用，一元一次不等式的运用，利用基本数量关系：运送的吨数×每吨运输费用=总费，用列出函数解析式，进一步由函数解析式分析解决问题．
8．（2021春·上海普陀·八年级统考期末）随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示．
（1）非节假日门票定价是 元/人；
（2）当时，与之间的函数关系式_
（3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？
【答案】（1）30；（2）；（3）团人，团人
【分析】（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，即可得非节假日门票的定价；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，
450÷15=30（元），
故答案为：30；
（2）当x＞15时，设y2=kx+b，
∵函数图象经过点（15，750）和（30，1350），
∴，
∴，
∴y2=40x+150（x＞15），
故答案为：y2=40x+150（x＞15）；
（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，
当n＞15时，（40n+150）+30（50-n）=1900，
解得n=25，
∴50-n=50-25=25（人），
答：A团有25人，B团有25人．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键．
9．（2021春·上海·八年级上外附中校考期末）学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：
（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；
（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．
【答案】（1）6辆．理由见解析；（2）y=150x+2100，3≤x≤，租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元
【分析】（1）由师生总数为204名，根据“所需租车数=人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；
（2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，根据师生总数为204人以及租车总费用不超过2800元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用=租标准型客车所需费用+租舒适型客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．
【详解】解：（1）∵204÷40=5（辆）…4（人），
∴保证204名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；
∵只有6名教师，
∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；
综上可知：共需租6辆汽车．
（2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，
由题意得：y=500x+350（6-x）=150x+2100，
∵学校计划在总费用2800元的限额内，师生总数为204人，
∴，
解得：3≤x≤，
∵x为整数，
∴x=3，4，
∴共有2种租车方案，方案1：租标准型客车3辆，舒适型客车3辆；方案2：租标准型客车4辆，舒适型客车2辆，
方案1所需费用=500×3+350×3=2550（元），
方案2所需费用=500×4+350×2=2700（元）．
∵2700＞2550，
∴方案1租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．
考点二：最大利润问题
一、解答题
1．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
【答案】（1）y＝1.95x+0.8；（2）在A公司购买费用较少．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．
【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b(k、b为常数，k≠0)，
由一次函数的图象可知，其经过点(0，0.8)、(10，20.3)，
代入得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8．
（2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元；
如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40﹣30)＝79万元；
∵78.8＜79，
∴在A公司购买费用较少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）某校运动会需购买、两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品5件和种关品3件，共需95元．
（1）求、两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元）与（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值．
【答案】（1）奖品的单价是10元，奖品的单价是15元．（2）；1125．
【分析】（1）根据所花费用等于A的费用加上B的费用，找到等量列出方程组，即可得到结论；
（2）根据总费用等于A的费用加上B的费用，列出W与m之间的函数解析式，并通过不等式组找到m的取值范围，再由一次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）设奖品的单价是元，奖品的单价是元，由题意，得
，解得．
答：奖品的单价是10元，奖品的单价是15元．
（2）由题意得
，
且，解得，，
，，，
，
∵为整数，
，71，72，73，74，75，
，，
随的增大而减小，即当时，有最小值，
（元）．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决的关键是读懂题意，找到数量之间的关系．
3．（2022春·上海·八年级期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围．
(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．
【答案】(1)y1＝﹣120x＋12000，y2＝114x﹣2400，≤x≤100且x为整数
(2)22名，9468元
【分析】（1）根据题意构建一次函数y1、y2，构建不等式求出自变量的取值范围即可；
（2）设每天的收入为w元，则有w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，因为k＝﹣6＜0，所以w随x的增大而减小，推出x＝22时，w有最大值，由此即可解决问题．
(1)
解：由题意得： y1＝（100﹣x）×4×30＝﹣120x＋12000，
y2＝[30x﹣（100﹣x）×4×2]×3＝114x﹣2400，
∵，
∴≤x≤100且x为整数；
(2)
设每天的收入为w元，
由题意得：w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，
∵k＝﹣6＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵≤x≤100且x为整数，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为9468元，
答：每天安排22名工人生产半产品，最大收益为9468元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：
(1)每台A型空气净化器的销售利润是 元；每台B型空气净化器的销售利润是 元；
(2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 台；B型空气净化器 台．
(3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？
【答案】(1)200，150
(2)26，54
(3)4台
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，根据“A型销售5台的利润+B型销售10台的利润=2500元”和“A型销售10台的利润+B型销售5台的利润=2500元”列出二元一次方程组求解；
（2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值；
（3）设要购买A型空气净化器b台，根据“30分钟A型空气净化器的净化体积+B型空气净化器的净化体积小于等于长方体室内活动场地的总体积”列不等式求解．
【详解】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，
根据题意得：，解得：
故答案为：200，150；
（2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元，
则：，
∵，
∴，
∴a的最大值为：26，
∵w随a的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
此时．，
故答案为：26，54；
（3）设要购买A型空气净化器b台，
由题意得：，
解得：，
所以b的最小值为：4，
答：至少要购买A型空气净化器4台．
【点睛】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用及不等式的应用，理解题意是解题的关键．
5．（2021秋·上海·八年级期中）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克.经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系，并且得到了表中的数据：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元?
【答案】（1）；（2）该种水果价格每千克应调低至6元．
【详解】试题分析：（1）由已知可得二元一次方程组解得k，b的值．
（2）由题意可得关于x的等式．解出x的值即可．
试题解析：（1）由表格得知
解得
∴
（2）由题意可得
整理得：
解得：
答：该种水果价格每千克应调低至6元．
6．（2021春·上海徐汇·八年级统考期中）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
（1）当x的取值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．
【答案】(1)20;(2) 0＜x＜20;(3) y＝5x+100（x≥10）
【分析】（1）利用两个函数图像的交点坐标即可解决问题；（2）根据y2的图像在y1的下方，观察图像即可解决问题；（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，可得方程组，解方程组即可
【详解】
（1）由图象可知，x＝20千克时，y1＝y2，故答案为20千克．
（2）由图象可知，0＜x＜20时，在乙店批发比较便宜．故答案为0＜x＜20．
（3）设AB的解析式为y＝kx+b，由题意OC的函数解析式为y＝10x，
∴，
解得，
∴射线AB的表达式y＝5x+100（x≥10）．
【点睛】本题的关键是根据图像解答问题
7．（2021春·上海·八年级上海市第四中学校考期中）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价和购买的数量．
（2）若将这两次购买的铅笔按同一单价（元/支）全部销售完毕，并要求总利润不低于420元．求总利润（元）关于单价（元/支）的函数关系式及定义域．
【答案】（1）第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；（2）y＝270x−1200，定义域为x≥6
【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，得出y＝（x−4）×150＋（x−5）×120从而列出不等式，求出x的范围即可．
【详解】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支，
则据题意得： ，
∴a1＝4，a2＝−5（舍），
经检验：a=4是方程的解，且符合题意，
600÷4＝150，
答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；
（2）由题意得：y＝（x−4）×150＋（x−5）×120＝270x−1200，
∵y≥420，
∴270x−1200≥420，解得：x≥6，
即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：y＝270x−1200，定义域为x≥6．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进数量比第一次少了30支列出分式方程是解题关键．
考点三：行程问题
一、填空题
1．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量y（升）与汽车的行驶路程x（千米）之间具有一次函数关系（如图所示）．为了行驶安全考虑，邮箱中剩余油量不能低于5升，那么这辆汽车装满油后至多行驶_____千米，就应该停车加油．
【答案】450
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．
【详解】解：设该一次函数解析式为y＝kx＋b，将（400，10），（500，0）代入得
，
解得，
∴该一次函数解析式为y＝−0.1x＋50．
当y＝−0.1x＋50＝5时，x＝450．
故答案为：450．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
二、解答题
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：
(1)汽车共行驶了___________千米；
(2)汽车在行驶途中停留了___________小时；
(3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得汽车一共行驶的路程；
（2）由，可得：汽车在行驶途中停留时间；
（3）由，可得汽车行驶速度，再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】（1）解：由，可得：
汽车共行驶了（千米）；
（2）由，可得：
汽车在行驶途中停留了（小时）；
（3）由，可得：
行驶速度为每小时： （千米）；
设，
∴，
解得： ，
∴．
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意，明确坐标含义是解本题的关键．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）A团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，B专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设A团队走的路程为yA（千米），B专家走的路程为yB（千米），他们前进的时间（从B出发开始计时）为x（小时），yA、yB与x之间的部分函数图像如图所示．
(1)在B专家出发时，A团队已经行进了 千米；B专家的速度是每小时 千米．
(2)当0≤x≤5时，求yA关于x的函数解析式；
(3)如果5个小时后，B专家保持之前的速度继续前进，A团队提高速度去追赶B，提速后的速度是每小时70千米，请问A团队能否在B专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)20，50；
(2)y＝40x+20；
(3)A团队能在B专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
【分析】（1）根据图像可知：B专家出发时，A团队已经行进了20千米，然后再求出B专家的速度即可；
（2）由图像可知，B专家出发后2小时追上A团队，此时离甲地2×50＝100（千米），然后再运用待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（3）先根据题意求出A团队的速度，进而求得A团队走的路程为yA，B专家走的路程为yB，再求得A团队追上B专家所需的时间，然后求出追上时B专家走的路程，最后用总路程减去即可．
（1）
解：（1）由图像可知：B专家出发时，A团队已经行进了20千米，
B专家的速度是250÷5＝50（千米/小时），
故答案为：20，50．
（2）
解：由图像可知，B专家出发后2小时追上A团队，此时离甲地2×50＝100（千米），
设当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝kx+20，将（2，100）代入得：
2k+20＝100，
解得k＝40，
∴当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝40x+20．
（3）
解：由题意得，A团队的速度是（100﹣20）÷2＝40（千米/小时），
当x＝5时，yA＝40×5+20＝220，yB＝250，
所以A团队追上B专家所需的时间为30÷（70﹣50）＝1.5（小时），
当x＝1.5+5＝6.5时，yB＝50×6.5＝325，
340﹣325＝15（千米），
答：A团队能在B专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的图像等知识点，正确从一次函数图像获取信息成为解答本题的关键．
4．（2022春·上海·八年级专题练习）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
(1)小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为 小时；
(2)小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
【答案】(1)20；0.5
(2)小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km
【分析】(1) 根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度＝路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；
(2)直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．
（1）
解：由图象得
在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5（h），
小明骑车速度：10÷0.5＝20（km/h），
故答案为：20；0.5．
（2）
解：如图，
妈妈驾车速度：20×3＝60（km/h）
设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），
则10＝0.5k，
解得：k＝20，
故直线OA的解析式为：y＝20x．
∵小明走OA段与走BC段速度不变，
∴OA∥BC，
设直线BC解析式为y＝20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1＝﹣10，
∴y＝20x﹣10，
设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0）
代入得：b2＝﹣80，
∴y＝60x﹣80，
∴，
解得：，
∴F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，考查了路程=速度×时间的运用，待定系数法去一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的运用，解题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
(1)分别求出甲、乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系及定义域；
(2)当x为多少时，甲、乙两人相距最远，并求出最远距离．
【答案】(1)甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝﹣250x+5000（0≤x≤20）；乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为
(2)当x＝15时，甲、乙两人相距最远，最远距离为750米
【分析】（1）观察函数图象，根据图中给出的点的坐标，利用待定系数法即可求出甲、乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式及定义域；
（2）根据图象可得出当x＝15时，甲、乙两人相距最远，解答即可．
（1）
设甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝k1x+b1（k1≠0），
将（0，5000），（20，0）代入y＝k1x+b1得：，
解得：，
∴甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝﹣250x+5000（0≤x≤20）．
当0≤x≤15时，设乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝k2x+b2（k2≠0），
将（0，5000），（15，2000）代入y＝k2x+b2得：，
解得：，
∴乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝﹣200x+5000（0≤x≤15）；
当15＜x≤20时，设乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝k3x+b3（k3≠0），
将（15，2000），（20，0）代入y＝k3x+b3得：，
解得：，
∴乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝﹣400x+8000（15＜x≤20）．
∴乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为，
（2）
由图可知，当x＝15时，甲、乙两人相距最远，
当x＝15时，y＝﹣250×15+5000＝1250，
2000﹣1250＝750（米），
即最大距离为750米．
∴当x＝15时，甲、乙两人相距最远，最远距离为750米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察函数图象，找出当x=15时两人相距最远．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两车分别从A地将一批货物运送到B地，乙车再返回A地．如图表示两车离A地的路程y（千米）随时间x（时）变化的图象．已知甲车出发1小时后，乙车出发，且乙车到达B地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图象所提供的信息回答：
(1)写出甲车离开A地将一批货物送到B地对应图象的函数解析式：______．
(2)甲车出发______小时后被乙车追上．
(3)甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为______千米．
【答案】(1)
(2)3
(3)276
【分析】（1）根据函数图像可得，甲车出发7.5h后，到达离A地300km的B地，设甲车出发x小时后被乙车追上，乙的速度为vkm/h，进而求得，将代入，即可求得答案；
（2）根据点的意义即可求得答案；
（3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，设返回时的函数解析式为，进而联立甲车对应的函数解析式，求得交点，即可求得答案．
（1）
由图象可知，甲车出发7.5h后，到达离A地300km的B地，
∴甲车速度，两车相遇在距A地120km处，
设甲车出发x小时后被乙车追上，乙的速度为vkm/h，
则，，
∴，将代入，得，
∴甲车对应的函数解析式为：.
故答案为：
（2）
由（1）中可知甲车对应的函数解析式为，，令，则
甲出发3小时后被乙车追上.
故答案为：3
（3）
由（1）知，
∴乙到达B地用时：，
停留半小时后坐标为，
设返回时为，代入得，
∴，
，
得，
，
∴甲车与乙车迎面相遇时，离A地距离为276千米．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）A，B两地相距 km；乙骑车的速度是 km/h；
（2）请分别求出甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式；
（3）求甲追上乙时用了多长时间．
【答案】（1）20；5；（2）甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为，；（3）甲追上乙用了4小时的时间
【分析】（1）根据图象可直接求出A、B两地的相距距离，然后由图象可知乙行驶10km所需的时间为2小时，由此问题可求解；
（2）设甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为、，然后把点代入求解即可；
（3）由题意可联立（2）中的两个函数关系式进行求解即可．
【详解】解：（1）由图象可知：A、B两地的相距20km；乙骑车的速度为（30-20）÷2=5km/h；
故答案为20；5；
（2）设甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为、，则由图象可把点代入甲的函数关系式得：，解得：，
∴甲的函数关系式为；
把点代入乙的函数关系式得：，解得：，
∴乙的函数关系式为；
（3）由（2）可联立关系式得：
，解得：，
∴甲追上乙用了4小时的时间．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象得到基本信息．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）已知、两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从地匀速开往地，甲车从地沿此公路匀速驶往地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程（千米）与乙车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车速度为_____千米/时．
（2）求甲乙两车相遇后的与之间的函数关系式．
（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．
【答案】（1）80；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据图象可知2小时后相遇，根据路程和为240千米即可求求出甲车的速度；然后根据路程、速度、时间的关系确定；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）先求出AB的解析式，在AB段及CD段时会有甲车与乙车相距的路程为140千米的情况，然后带入求解即可．
【详解】解：（1）甲车的速度为：千米/时，
故答案为：80；
（2）如图，设C、D两点对应的横坐标分别为a，b，
∴，，
甲到达终点后，乙此时行驶了（千米），
当时，设，
把（2，0），代入；
，
∴，
∴，
当时，设，把点代入可得，
∴，
综上，；
（3）设直线AB的解析式为：，
把点(2，0)、(0，240)代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∴当甲车与乙车相距的路程为140千米时，则有：
或40x=140，
解得：或，
∴当甲车与乙车相距的路程为140千米时，乙车行驶的时间为或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是要明确分段函数在不同区间有不同对应的函数．
9．（2022春·上海·八年级专题练习）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．
（1）求、的函数解析式；
（2）当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时离海岸的距离；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A船：，B船：；（2）能追上；此时离海岸的距离为海里．
【分析】（1）根据函数图象中的数据用待定系数法即可求出，的函数关系式；
（2）根据（2）中的函数关系式求其函数图象交点可以解答本题．
【详解】解：（1）由题意，设．
∵在此函数图像上，
∴，解得，
由题意，设．
∵，在此函数图像上，
∴．
解得，．∴．
（2）由题意，得
，解得．
∵，∴能追上．此时离海岸的距离为海里．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
10．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书.她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图像，解答下列问题：
（1）图书馆到小燕家的距离是 米；
（2）a= ，b= ，m= ；
（3）妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是 ；定义域是 .
【答案】（1）3000 (2)10 15 200 (3)y=120x，0≤x≤25
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以得到a、b、m的值；
（3）根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式以及定义域．
【详解】（1）由图象可得，
图书馆到小燕家的距离是3000米，
故答案为3000；
（2）a=1500÷150=10，
b=a+5=10+5=15，
m=（3000-1500）÷（22.5-15）=200，
故答案为10，15，200；
（3）妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是y=kx，
当y=3000时，x=3000÷120=25，
则3000=25k，得k=120，
即妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是y=120x，定义域是0≤x≤25，
故答案为y=120x，0≤x≤25．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．（2022春·上海静安·八年级校考期中）如图，线段AB、CD分别是一辆轿车的邮箱剩余油量（升）与另一辆客车的油箱剩余油量（升）关于行驶路程（千米）的函数图像.
（1）分别求、关于函数解析式，并写出定义域.
（2）如果两车同时出发，轿车的行驶速度为每小时100千米，客车的行驶速度为每小时80千米，当邮箱的剩余油量相同，两车行驶的时间相差几分钟.
【答案】（1）y1=-0.1x+50（0≤x≤500），y2=-0.2x+80（0≤x≤400）；
（2）当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差45分钟．
【分析】（1）设出线段AB、CD所表示的函数解析式，由待定系数法结合图形可得出结论；
（2）由（1）的结论算出当油箱的剩余油量相同时，跑的路程数，再由时间=路程÷速度，即可得出结论．
【详解】（1）设AB、CD所表示的函数解析式分别为y1=k1x+50，y2=k2x+80，
结合图形可知：，
解得：，
故y1=-0.1x+50（0≤x≤500），y2=-0.2x+80（0≤x≤400）；
（2）令y1=y2，则有-0.1x+50=-0.2x+80，
解得：x=300，
轿车行驶的时间为300÷100=3（小时）；
客车行驶的时间为300÷80=3（小时），
3-3=小时=45（分钟）．
答：当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差45分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合.已知爸爸步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米.图中的折现反映了爸爸行走的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系.
（1）爸爸行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟；
（2）当时，与之间的函数关系式是 ；
（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟 米；
（4）当妈妈到达缆车终点是，爸爸离缆车终点的路程是 米.
【答案】（1）3600；20；（2）；（3）50；（4）1200
【分析】根据图象获取信息：
（1）爸爸到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；
（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
（3）休息前30分钟行走2100米，休息后30分钟行走（3600-2100）米，利用路程、时间得出速度即可．
（4）先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．
【详解】解：（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是3600米，他途中休息了 20分钟．
故答案为 3600，20；
（2）设函数关系式为y=kx，图像过（30,2100）
可得：2100=30k，
解得：k=70，
所以解析式为：y=70x，
故答案为y=70x；
（3）爸爸休息之后行走的速度是（3600-2100）÷（80-50）=50米/分钟，
故答案为50；
（4）妈妈到达缆车终点的时间：3600180=8（分），
此时爸爸比妈妈迟到80-50-8=24（分），
∴爸爸到达终点时，妈妈离缆车终点的路程为：50×24=1200（米），
故答案为1200．
【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键，有一定的难度．
13．（2022春·上海·八年级校考期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地直接的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．
【答案】（1）30千米；（2）点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；（3）当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
【分析】（1）x=0时甲的y值即为A、B两地的距离；
（2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义；
（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围即可．
【详解】解：（1）∵x=0时，甲距离B地30千米，
∴A、B两地的距离为30千米．
（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，乙的速度：30÷1=30千米/时，
30÷（15+30）=，×30=20千米．
∴点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米．
（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x=30﹣3，解得x=．
②若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=．
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）=3，解得x=．
∴当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．
14．（2022春·上海·八年级期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息：
（1）求线段AB所在直线的函数解析式；
（2） 可求得甲乙两地之间的距离为 千米；
（3）已知两车相遇时快车走了180千米，则快车从甲地到达乙地所需时间为 小时．
【答案】（1）y=-140x+280;(2)280;(3)
【详解】试题分析：（1）设出AB所在直线的函数解析式，由待定系数法求解即可.
由解析式可以算出甲乙两地之间的距离．
两车相遇时快车走了180千米，用了2个小时，可以求出快车的速度，即可求出快车从甲地到达乙地所需时间.
试题解析：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.
∵直线AB经过点(1.5,70),(2,0)，
∴
解得
∴直线AB的解析式为
∵当x=0时，y=280.
∴甲乙两地之间的距离为280千米.
故答案为280.
两车相遇时快车走了180千米，用了2个小时，快车的速度为：千米/小时，
快车从甲地到达乙地所需时间为：小时.
故答案为.
15．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．
(1)这次比赛的路程是_______米；
(2)小王的平均速度是_________米/秒；
(3)他们先到达终点的是_______；
(4)小李跑步的路程(米)与时间(秒)的函数关系式是_________．
【答案】(1)； (2)； (3)小李； (4)．
【分析】(1)观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；(2)由速度=路程÷时间即可得到结论；(3)这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；(4)先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．
【详解】解：(1)根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；
(2)从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=；
(3)从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；
(4)∵小李跑100米用了10秒，
∴小李的速度=100÷10=10(米/秒)；
∴S=10t．
【点睛】本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系．
16．（2022春·上海·八年级期中）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
【答案】（1）y=5x+20；（2）110米．
【分析】（1）设函数关系式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，再根据6小时后两队的施工时间相等列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20；
（2）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时），
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，
依题意，得，
解得z=110，
答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，数形结合思想解题是本题的关键．
考点四：几何问题
一、填空题
1．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______．
【答案】−4或．
【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．
【详解】解：如图，连接OP，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A(，0)，B(0，1)，AB==2，
∴S△ABP=S△ABC=2，
又S△ABP=S△OPB+S△OAB−S△AOP，
∴|a|×1+×1−=4，
解得a=−4或，
故答案为−4或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．
2．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全等的性质和已知条件可以得到B'坐标．
【详解】解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°，
Ⅰ．当'在下方时，，
将代入
Ⅱ．当在上方时，
此时，与关于点对称，
∴B''为[-2×2-(-8)，6×2-（-12）]即（4，24），
故答案为：或 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题关键．
3．（2022春·上海·八年级期末）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，点C在y轴的正半轴上，BC＝5，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是 __．
【答案】（6，1）或（3，4）
【分析】将代入，解得，可知一次函数的解析式是：，求出坐标，由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当时，如图，作DE⊥BC于点E，则，，进而可得的坐标；②当时，直线的解析式为y＝x+3，设D（m，m+3），根据，即，求出满足要求的的值，进而可得的坐标．
【详解】解：将代入得，
解得，
∴一次函数的解析式是：，
令，则，
∴；
∵，
∴，
由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当时，如图，作DE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴，
∴，
∴；
②当时，
直线的解析式为y＝x+3，
设D（m，m+3），
∵，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴；
综上所述，点坐标为（6，1）或（3，4）；
故答案为：（6，1）或（3，4）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于数形结合根据等腰梯形的性质分类讨论．
二、解答题
4．（2022春·上海·八年级专题练习）直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．
【答案】
【分析】对于直线，令x=0求出y=1，可得出B坐标为（0，1），令y=0，得出x= ，确定点A的坐标，进而确定出OB，OA的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理求出AB的长，根据等边三角形的性质求出的面积，过点P作PE⊥x轴于点E，根据求出的面积，由△ABP的面积与△ABC的面积相等列式求解即可求出m的值．
【详解】解：对于直线，令x=0，得y=1，
∴B（0，1）
令y=0，得，解得，，
∴
在中，由勾股定理得，
∵是等边三角形，
∴,
过点C作CF⊥AB于点F，如图，
∴
∴
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，则四边形PEOB是梯形，如图，
∵P（m，），
∴
∴
∴
=
=
=
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴
∴．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，等边三角形的性质，待定系数法确定一次函数解析式等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，梯形中，，，，，，P是一动点，沿、由A经D点向C点移动，设P点移动的路程是x．
(1)当P在上运动的时候，设，求y与x之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；
(2)当点P继续沿向C移动时，设，求y与x之间的函数关系式．
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】(1)设梯形的高为h，根据梯形的面积公式及面积，即可求得h，再根据三角形的面积即可求得，最后画出图象即可；
(2)过点P作于点E，交的延长线于点F，由题可知：，，根据平行线分线段成比例定理可得、，最后根据，即可求得．
【详解】（1）解：设梯形的高为h，
由，
解得．
，定义域为：；
图像如下图所示．
（2）解：如图：过点P作于点E，交的延长线于点F，
由题可知：，，
，
，，
，，
则，
，
所以

，
．
【点睛】本题考查了梯形的面积公式，求函数解析式，比例的性质，动点问题的解决方法，平行线分线段成比例定理，用含有x的代数式表示出相关线段是解决本题的关键．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
(1)求四边形ABPQ为矩形时t的值；
(2)若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
(3)在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出，求出即可；
（2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC＝BC得出方程，求出即可；
（3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6＝18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC＝BC，代入求出即可．
(1)
解：过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB＝DH＝8，AD＝BH，DC＝10，
∴，
∴，
∵BC＝18，
∴AD＝BH＝12，
若四边形ABPQ是矩形，则AQ＝BP，
∵AQ＝12﹣2t，BP＝3t，
∴12﹣2t＝3t，
∴．
答：四边形ABPQ为矩形时t的值是．
(2)
解：由（1）得CH＝6，
如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
同理：PG＝6，
易知：QD＝GH＝2t，
又BP+PG+GH+HC＝BC，
∴3t+6+2t+6＝k，
∴．
(3)
解：假设存在时间t使PQ＝10，有两种情况：
①如图2，由（2）可知3t+6+2t+6＝18，
∴，
②如图3，四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD＝PC＝2t，
又BP＝3t，BP+PC＝BC，
∴3t+2t＝18，
∴．
综上所述，当秒或秒时P、Q两点之间的距离为10cm．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质，梯形的性质，等腰梯形的性质，解一元一次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝∠MAN＝60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．
(1)当点E在线段BC上时，求证：BE＝CF；
(2)设BE＝x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；
(3)连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）连接，通过证明即可得出；
（2）过点作，垂足为，先根据勾股定理求出的长，又，，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式；
（3）根据题意画出图形，并连接，先根据四边形是平行四边形，证出为直角，在中，，，，继而即可求出的长．
(1)
解：连接（如图．
由四边形是菱形，，
得：，，．
是等边三角形．
．
又，，
．
在和中，
，，，
．
．
(2)
解：过点作，垂足为（如图
在中，，，
．
又，，
，
，
即．
(3)
解：①当点在的延长线上时，
如图3，连接，
四边形ABCD是菱形，
．
当四边形是平行四边形时，．
．
，．
在中，，，．
，
根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半，
；
②当点与重合时，此时点与点重合（不合题意舍去）．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，解题的关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．
8．（2022春·上海·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
【答案】(1)
(2)88或96或48
【分析】（1）过A作于，过作于，设，表示出与的长，利用解出，从而计算四边形的面积，得到与的函数关系式；
（2）分两种情形：①，②．先求出两种情形下的值，再代入函数解析式中求出的值，即四边形的面积．
（1）
解：过A作于，过作于，设．
，，
，，
,
，
解得或，
，，
，
，即，
当时，不成立，舍去；当时，，符合题意．
．
，即．
（2）
解：连接．
①当时，
，
，
由（1）得，
，即．
．
②当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，
即或，
当时，；
当时，．
综上，四边形的面积为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形与等腰梯形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质定理．
9．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB过点和，且m、n满足．
(1)求直线AB的表达式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若面积等于10，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点C为直线AB上一动点，连接CD，在坐标轴上是否存在点P，使是以CD为底边的等腰直角三角形，直角顶点为P．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或（17，0）
【分析】（1）由即可解得m、n的值，从而得到，的坐标即可得出答案．
（2）由（1）表达式求出直线AB与的交点为H的坐标，利用即可求出答案．
（3）根据题意即可讨论点在轴上和轴上两种情况，①当在轴上时，过点作轴于，过作于，可得，，，设，则可得，由点在直线上即可得出答案，同理可得点在上得点．
【详解】（1）解：设直线AB的表达式为，
由可得，
解得，解得，
即点为，点为，代入表达式得，
解得，
直线AB的表达式为．
（2）记直线AB与的交点为H，如图：
由（1）得，当时，，
则直线AB与的交点为H的坐标为，
则点到直线的距离等于，
则，
即，
解得，
点M的坐标为．
（3）在坐标轴上存在点P，使是以CD为底边的等腰直角三角形，
①当在轴上时，过点作轴于，过作于，如图：

，，
，
又，
在和中，
，
，
，，
设，则，
，
，
在直线上，
，
解得，
，
②当在轴上时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得：，，
设，则，
，
，
解得，
，
③当P在x轴上，DN右侧时，过P作PR⊥x轴，过D作DS⊥PR于S，过C作CR⊥PR于R，如图：
设C（z,-z-2），
同理可证△DSP≌△PRC，
∴DS=PR=z+2，PS=CR=2，
∴OP=ON+DS=z+7，
∴xC+CR=z+7，即z+2=z+7，
解得z=15，
∴OP=×15+7=17，
∴P（17，0），
综上所述，点的坐标为或或（17，0）．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积、等腰直角三角形的性质，解题关键是用含有字母的代数式表示坐标及相关线段长度，列方程解决问题．
10．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．
【答案】(1)不变，面积是3
(2)，m=-3
【分析】（1）不变，理由是；
（2）由，即可求解．
【详解】（1）解：不变，理由是：
一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，
则点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），
∴．
（2）解：∵
=
∴
=
解得m=-3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确把几何图形用不同的三角形组合表示，进而求解．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD．
(1)求b的值及点D的坐标；
(2)在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．
【答案】(1)b＝3，D（﹣2，4）
(2)＜a＜
【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可得到b的值；根据CD=OD确定点D的横坐标，再将点D的横坐标代入直线解析式即可得到点D的纵坐标．
（2）作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G．根据点Q和点P关于y轴对称确定点Q在线段EB上，根据点Q落在△CDO内（不包括边界）确定点Q在线段FG上（不包括端点），使用待定系数法求出直线EB，直线CD，直线DO的解析式，再列出二元一次方程组并求解可得点F和点G的坐标，再列出不等式组求解即可．
（1）
解：将点A的坐标（6，0）代入y＝﹣x+b得．
解得b＝3．
∴直线AB的解析式为．
∵CD＝OD，
∴点D在线段CO的垂直平分线上．
∵C（﹣4，0），，
∴点D横坐标为﹣2．
∵点D在直线AB上，
∴当x＝﹣2时，y＝4．
∴点D坐标为（﹣2，4）．
（2）
解：如下图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G．
∵，点A与点E关于y轴对称，
∴，线段AB和线段EB关于y轴对称．
∵动点P在线段AB上，点P的横坐标为a，点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q在线段EB上，点Q的横坐标为-a．
∵点Q落在△CDO内（不包括边界），
∴当点Q在线段FG上（不包括端点）时符合题意．
∵直线AB解析式，
∴当x=0时，y=3．
∴．
设直线EB解析式为，直线CD解析式为，直线DO解析式为．
∴将点E，B坐标代入直线EB解析式得
解得
∴直线EB解析式为．
同理可得直线CD解析式为，直线DO解析式为．
联立直线EB解析式和直线CD解析式得
解得
∴．
同理可得．
∵点Q的横坐标为-a，
∴．
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，用二元一次方程组求两直线交点坐标，正确应用数形结合思想是解题关键．
12．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
(1)求直线AC的表达式．
(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．
(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足的面积为30，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而求得点的坐标，待定系数法求直线AC的表达式即可；
（2）过点P作y轴的垂线，垂足为Q，证明，，进而可得，，即可求得的坐标；
（3）过点B作于点H，勾股定理求得的长，进而根据三角形面积公式求得的长，由点Q在直线AC：上，设Q点坐标为，根据勾股定理列出方程即可求解．
（1）
∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
令，，令，
∴，，
∵点C为线段OB的中点，
∴，
设直线AC的表达式为，
∴，
解得：，
故直线AC的表达式为.
（2）
∵四边形ACPB是平行四边形.
∴且，且，
如图1，
过点P作y轴的垂线，垂足为Q，
∵，
∴，在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）
如图所示，过点B作于点H，
，，
，
是等腰直角三角形
∵点Q为直线AC上一点且的面积为30，
∴，
∴，
∵点Q在直线AC：上，
∴设Q点坐标为，
∴，
∴，则，，
当时，，则，
当时，，则，
故Q点坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形结合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
【答案】（1）45°，18；（2）（2，4）；（3）y＝或y＝﹣x
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果；
（2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果；
（3）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x＋6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果．
【详解】解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x＋6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，
设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a＋6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
设直线l的解析式是y=mx，代入（4，2）得2=4m
∴m=
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，
当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
设直线l的解析式是y=nx，代入（12，﹣6）得-6=12n
∴n=-
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质．
14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=﹣2x＋4的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求点A坐标和点B坐标；
（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD为菱形，求点D坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为平面直角坐标系中一点，以B、D、A、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的P点坐标．
【答案】（1）点A（2，0）；点B（0，4）；（2）（﹣1，2）；（3）（3，2），（1，﹣2）或（﹣3，6）．
【分析】（1）分别代入x=0，y=0求出与之对应的y，x的值，进而可得出点B，A的坐标；
（2）连接CD，由四边形BCOD为菱形可得出OB，CD互相垂直平分，结合点B的坐标可得出点C的纵坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，再由点C，D关于y轴（OB）对称，可求出点D的坐标；
（3）设点P的坐标为（m，n），分AB为对角线、AD为对角线和BD为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），可求出点P的坐标，此题得解．
【详解】解：（1）当x=0时，y=﹣2x+4=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y=0时，﹣2x+4=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为（2，0）．
（2）如图1，连接CD，如图1所示．
∵四边形BCOD为菱形，
∴OB，CD互相垂直平分．
又∵点B的坐标为（0，4），
∴点C，D的纵坐标为2，
∵点C在直线y=﹣2x+4上，
∴点C的坐标为（1，2），
∵OB在y轴上，
∴点D的坐标为（﹣1，2）．
（3）设点P的坐标为（m，n）．
当AB为对角线时，∵A（2，0），B（0，4），D（﹣1，2），
∴，
解得：，
∴点P1的坐标为（3，2）；
当AD为对角线时，∵A（2，0），B（0，4），D（﹣1，2），
∴，
解得：，
∴点P2的坐标为（1，﹣2）；
当BD为对角线时，∵A（2，0），B（0，4），D（﹣1，2），
∴，
解得：，
∴点P3的坐标为（﹣3，6）．
综上所述：点P的坐标为（3，2），（1，﹣2）或（﹣3，6）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用菱形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出点C的坐标；（3）分AB为对角线、AD为对角线和BD为对角线三种情况，求出点P的坐标．
15．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，与直线CD相交于点C（1，m），直线CD与x轴交于点D（3，0）．
（1）联结BD，CD，求△BCD的面积．
（2）在平面内是存在一点E，使得以A、C、D、E为四个顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
（3）设点F是x轴上一个动点，当∠CDB＝∠FBD时，求点F的坐标．
【答案】（1）3；（2）点E（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）；（3）点F坐标为（，0）或（6，0）
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，由面积和差关系可求解；
（2）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行线的性质和等腰三角形的性质求出直线BF的解析式，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵点C（1，m）在直线y＝x+3的图象上，
∴m＝1+3＝4，
∴点C（1，4），
∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B两点，
∴令x=0，则y=3；令y=0，则x+3=0，得x=-3，
∴点B（0，3），点A（﹣3，0），
∴OA=3
∵D（3，0）
∴OD=3
∴AD＝OA+OD=3+3=6，
∴S△BCD＝×6×4﹣×6×3＝3；
（2）如图2，
当以AC与AD为边时，∵四边形ACED是平行四边形时，
∴CE∥AD，CE＝AD＝6，
∵C（1，4）
∴点E（7，4）；
当CD与AD为边时，∵四边形ADCE'是平行四边形时，
∴CE'∥AD，CE'＝AD＝6，
∵C（1，4）
∴点E'（﹣5，4）；
当AC与CD为边时，设点E''（x，y），
∵四边形ACDE''是平行四边形，
∴AD与CE''互相平分，
∴，，
∴x＝﹣1，y＝﹣4，
∴点E''（﹣1，﹣4），
综上所述：点E（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）；
（3）如图3，点F在点D左侧时，
设直线CD解析式为y＝kx+b，过点C（1，4），点D（3，0），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝﹣2x+6，
∵∠CDB＝∠FBD，
∴BF∥CD，
∴设直线BF的解析式为y=-2x+b，且直线过B（0，3）
∴b=3
∴BF解析式为y＝﹣2x+3，
∴令y=0，则x=
∴点F坐标为（，0）；
当点F'在点D右侧时，设直线BF'与CD交于点H，
设点H（t，﹣2t+6），
∵∠CDB＝∠FBD，
∴BH＝DH，
∴（t﹣3）2+（（﹣2t+6﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣2t+6﹣3）2，
∴t＝2，
∴点H（2，2），
∴直线BF'的解析式为y＝﹣x+3，
∴点F'（6，0），
综上所述：点F坐标为（，0）或（6，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2022春·上海·八年级期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD，故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0,a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；
（2）分①OM，OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标．
【详解】解：（1）四边形ABCO是矩形，点B的坐标是．
，，，
；
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
；
（2）存在，
①OM，OE都为边时，OM=OE=4，
∴M的坐标为(4,0)，（-4,0）
②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1
则OG=OE=2，

的解析式为：
设

（舍去），

由可得：
解得：
∴M（，0）
③OM为对角线，OE为边，如图2
由②得：M（，0）
综上所述：点M的坐标为或或或；
【点睛】此题主要考查四边形综合问题，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论菱形的的边及对角线的情况．
17．（2022春·上海杨浦·八年级校考期末）如图，已知在梯形中，，是下底上一动点（点与点不重合），，，，，设，四边形的面积为．
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）四边形的面积为88或96或48．
【分析】（1）作AH⊥BC于H．设AH=h．构建方程求出h即可解决问题．
（2）分两种情形分别讨论求解即可．
【详解】解：（1）作于．设．
由题意：，
整理得：，
解得或6（舍弃），
，即
（2）①当时，，
，
，
，即，
．
②当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，即或22，
或48，
综上所述，四边形的面积为88或96或48．
【点睛】本题考查梯形、等腰三角形的性质勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
18．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
【答案】(1)=10，，此时点P在CB边上
(2)（）
(3)（，）、（，）
【分析】（1）题目给出了、点的坐标，CB＝4，可求出的坐标，根据PD将梯形COAB的周长平分，其中一半为，等于梯形周长的一半建立等式求解即可，算出，再判断；
（2）可根据四边形的面积是梯形面积，列出方程并解出方程即可；
（3）要根据的位置在不同边的具体情况利用相关的知识写出函数关系式及取值范围．
(1)
解：点坐标为，，
，
梯形的周长为：，
根据PD将梯形COAB的周长平分，
由，
得．
此时点在上；
(2)
解：作于，于，于，
则．
，
，
，
，
，．
；
(3)
解：点只能在或上，
（ⅰ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
由，得．
即在7秒时有点（，）；
（ⅱ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
即在秒时，有点（，）．
故在7秒时有点（，），在秒时有点（，），使将梯形的面积分成的两部分．
【点睛】本题考查了直角梯形及一次函数的综合运用；做题时要认真理解题意，找出等量关系，解题的关键是利用分类讨论思想进行求解．
19．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)如果直线l经过点C且与直线平行，点是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交线段AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域；
②当点P在y轴正半轴上，如是等腰三角形，求t的值．
【答案】(1)y=x+4；
(2)①d=12−t（0【分析】（1）利用菱形的性质及B点坐标，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的长，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AB解析式；
（2）①由菱形的性质可求得C点坐标，则可求得直线l的解析式，从而可用t分别表示出M、N的坐标，则可得到d关于t的函数解析式，结合P在线段OB上可求得t的取值范围；
②用t可分别表示出PC、PD的长，结合C、D坐标可求得CD的长，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三种情况可分别得到关于t的方程，可求得t的值．
（1）
解：∵B(0，4)，
∴OB=4，
∵四边形ABCD为菱形，且边长为5，
∴AB=AD=BC=CD=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，
∴A(3，0)，
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
∴，解得
∴AB所在直线的解析式为y=x+4；
（2）
解：①由题意可知C(−5，4)，
∵直线l经过点C且与直线y=x平行，
∴可设直线l解析式为y=x+m，
∴4=−5+m，解得m=9，
∴直线l解析式为y=x+9，
∵过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N，且P(0，t)，
∴M、N点的纵坐标为t，
在y=x+4中，令y=t，可解得x=3−t，
在y=x+9中，令y=t可得x=t−9，
∴d=3−t −(t−9)=12−t，
∵点P在线段OB上（点P不与O、B重合），
∴0②∵A(3，0)，AD=5，
∴D(−2，0)，且C(−5，4)，P(0，t)，
∴PC2=52+(t−4)2=t2−8t+41，PD2=22+t2=t2+4，CD2=(−5+2)2+42=25，
∵△PCD为等腰三角形，
∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况，
当PC=PD时，则有t2−8t+41=t2+4，解得t=；
当PC=CD时，则有t2−8t+41=25，解得t=4；
当PD=CD时，则t2+4=25，解得t=√或t=−（舍去）；
综上可知当△PCD是等腰三角形时，t的值为或4或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及菱形的性质、勾股定理、待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）①中用t表示出M、N的横坐标是解题的关键，在（2）②中利用t分别表示出PD、PC和CD的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点
(1)求直线AB的表达式；
(2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形；
(3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线解析式为．
(2)或，或，．
(3)，，或，，或 ，，．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①当时，②当或时，画出图形即可解决问题．
（3）存在．分两种情形讨论即可．①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，分别求出、坐标即可．
（1）
设直线解析式为，把点，，代入得
，
解得，
直线解析式为．
（2）
如图1中，
①当时，点坐标．
②当或时，
，
点，，，，
综上所述，当是以线段为腰的等腰三角形时，点坐标为或，或，．
（3）
如图2中，存在．
①当为平行四边形的边时，，，或，，．
②当为平行四边形的对角线时，，，．
【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标；
(3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据，求出点的坐标，利用待定系数法，求出直线的解析式即可．
（2）分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解．
（3）当时，，利用两点间距离可求点坐标；当时，，此时，过点作交于，过点作轴交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中点，求出的另一个点坐标即可．
（1）
解：，点，

，
，
，
，
点在轴负半轴上，
，
设直线的解析式是，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）
解：①当是正方形的边时，对应的正方形为，
，，，
，
；
②当是正方形的对角线时，对应的矩形为，
、是正方形对角线，
线段和线段互相垂直平分，
点、的横坐标为，
，
，
综上所述：点的坐标为或；
（3）
解：设，

①当时，，
，
，
；
②当时，，
此时，
是等腰三角形，
过点作交于，过点作轴交于，
，
，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，
，
是的中点，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键．
22．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标；
(3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x+6，
(2)（2，0）或（10，0）；
(3)存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）．
【分析】（1）通过函数y＝−2x＋12求出A、B两点坐标，又由点M为线段OB的中点，即可求得点M的坐标，然后由待定系数法求得直线AM的函数解析式；
（2）设出C点坐标，可求得AC的长，根据S△ABM＝BM•OA，S△AMCAC•OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；
（3）分两种情况讨论：①BM是菱形的边时；②BM是菱形的对角线时，分别根据菱形的性质求解即可．
（1）
解：∵直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+12，
∴A（6，0），B（0，12），
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6），
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
故直线AM的解析式为y＝﹣x+6；
（2）
设点C的坐标为：（x，0），
∴AC＝|x﹣6|，
∵B（0，12），M（0，6），
∴BM＝6，
∴S△ABMBM•OA6×6＝18，
∵S△AMCS△ABM，
∴S△AMCAC•OM6×|x﹣6|18，
∴3×|x﹣6|＝12，
解得：x＝2或10，
故点C的坐标为：（2，0）或（10，0）；
（3）
设P（x，﹣2x+12），
①如图所示：BM是菱形的边时．
过P2作P2C⊥y轴于C，
∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，
∵四边形BP2Q2M是菱形，
∴P2B＝BM＝6，
在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，
∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，
∴点P的坐标为（，12）或（，12）；
过P3作P3D⊥y轴于D，
∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，
∵四边形BQ3P3M是菱形，
∴P3M＝BM＝6，
在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，
∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
②如图所示：BM是菱形的对角线时，
连接PQ交y轴于N，
∵四边形BQMP是菱形，
∴PQ⊥BM，BN＝MN，
∴点N的坐标为（0，9）．
∴点P的纵坐标是9，
∴﹣2x+12＝9，解得x，
∴点P的坐标为（，9）．
综上所述，存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）．
【点睛】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、菱形的性质等．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点，，点P在直线上．
(1)直接写出点C和点D的坐标：C______，D______．
(2)Q为坐标平面内一点，当以O、B、Q、P为顶点的四边形为菱形，直接写出点P和对应的点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)P的坐标为：，，，，Q坐标为：，，，．
【分析】（1）过C作CE⊥x轴，根据垂直和角之间的等量关系可知∠AOB＝∠BEC＝90°，进而通过相等的角和相等的边能够证明△ABO≌△BCE，进而可得到对应边，对应角相等，进而求出D点的坐标；
（2）根据情况可以分情况讨论：当点O，B，Q，P是以OB为对角线的菱形时，当点O，B，Q，P是以OQ为对角线的菱形时，当点O，B，Q，P是以OP为对角线的菱形时，根据三种情况分别计算即可．
（1）
如图（1）所示，过C作CE⊥x轴，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，CE⊥x轴，
∴∠AOB＝∠BEC＝90°，
又∵∠ABO＋∠CBE＝180°－∠ABC＝90°，∠ABO＋∠BAO＝180°－∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∴在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝EB，OB＝EC，
又∵，，
∴OA＝EB＝3，OB＝EC＝1，
∴OE＝OB＋EB＝1＋3＝4，
∴点C的坐标为：，
又∵正方形ABCD，
∴，
∴，
解得：，，
∴点D的坐标为，
故答案为：，．
（2）
∵点P在直线y＝x上，
∴设点P的坐标为，
当点O，B，Q，P是以OB为对角线的菱形时，
，
∴代入可得：，
∴解得：，，，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为，
当点O，B，Q，P是以OQ为对角线的菱形时，
，
∴代入可得：，
∴解得：或，
∴代入可得：点P的坐标为或，点Q的坐标为或，
当点O，B，Q，P是以OP为对角线的菱形时，
，
∴代入可得，
解得：t＝1或t＝0（舍去），
∴点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴综上，符合条件的P，Q的坐标为：，或，或，或，．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合问题，菱形的性质，能够熟练掌握数形结合思想是解决本节课的关键．
24．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x-1；（2）-4≤b≤2；（3）存在，（-2，0）或（-8，0）
【分析】（1）因为直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，直接将的坐标代入到已知直线中，求出的纵坐标，再将代入到直线中，即可求解；
（2）由题意可得平移后的直线为，由于交点始终落在线段上，找到两个临界位置，即直线经过点和点，求出对应的的值，根据图象，得到的取值范围；
（3）根据题意，画出草图，即当和，当时，由直线的解析式，得到直线的比例系数，再由点坐标，写出直线的解析式，令，求出直线与轴交点坐标，同理可求当AC∥PB时的点坐标．
【详解】解：（1）直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，
当时，，
的坐标为，
将的坐标代入到直线得，，
直线的解析式为；
（2）令，则，
令，则，
，
直线分别与轴、轴交于点、，
的坐标为，的坐标为，
设直线经过平移后的解析式为，如图1，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图可得，当交点始终落在线段上时，；
（3）直线的图象与轴交于点，
时，，
的坐标为，
①如图2，当时，四边形为梯形，
直线的解析式为，
令，则，
，
②如图3，当时，四边形为梯形，
设直线的解析式为，代入点得，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
所以存在这样的点，使点与点、、构成的四边形为梯形，坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了梯形的存在性问题，特别要注意数形结合思想的应用．
25．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点
(1)求证：；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
(3)当时，直接写出的长
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
（2）连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关系式，再利用两个临界位置得到函数定义域；
（3）分点E在线段上，点E在线段的延长线上两种情况，根据（2）的结论与探究方法，再利用函数式或勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵点是边的中点．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）连接， ∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∵，，
即，
整理得，；
当，重合时，如图，
此时，，
∴，
解得：，，
当，重合时，如图，
此时，，，
同理可得：，，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上时，，即，
∴ ，
解得，，即，
当点E在线段的延长线上时，如图2，连接，，
由（1）得，， ，
∴，
即，
解得，， 即
综上所述，当时，或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点五：其他问题
一、填空题
1．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式用图象表示为折线，小文打了2分钟，需付费__元，小文打了8分钟付费__元．
【答案】 0.7, 2.2元
【分析】通话时间小于3分钟时，需付0.7元，故小文打了2分钟，需付费0.7；通过A点和B点坐标分别为（3，0.7）和（4，1）用待定系数法列方程，求函数关系式．再将x=8代入得出y．
【详解】解：根据图形可知，当通话时间小于3分钟时，需付电话费话0.7元．故小文打了2分钟，需付费0.7元．
设需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式为：y=kx+b．
因为点A（3，0.7）和点B（4，1）都在y=kx+b上，代入得：
0.7=3k+b，1=4k+b．解得：k=0.3，b=﹣0.2．
故需付电话费y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式为：y=0.3x﹣0.2（x≥3）．
当x=8时，y=0.3×8﹣0.2=2.4﹣0.2=2.2（元）．
故答案为0.7， 2.2.
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
2．（2022春·上海·八年级专题练习）小华用500元去购买单价为3元的一种整体商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是__，x的取值范围是__．
【答案】 y=500﹣3x； 0≤x≤166，且x为整数.
【分析】剩余的钱数=总钱数500﹣x件这种商品的总价格，根据x应是正整数，且商品的总价不能超过500可得x的取值范围．
【详解】∵x件这种商品的总价格为3x，
∴y=500﹣3x，
∵500﹣3x≥0，
解得x≤166，
∴0≤x≤166，且x为整数．
故答案为y=500﹣3x；0≤x≤166，且x为整数．
【点睛】本题考查了列一次函数的应用，得到剩余的钱数的等量关系是解决本题的关键；注意商品的件数应为正整数；所买商品的总价钱不能超过所带的总钱数．
3．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）一水池的容积是100m³，现有蓄水10m³，用水管以每小时6m³的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量V（m³）与进水时间t（小时）之间的函数关系式（并写出自变量取值范围）__________．
【答案】v=10+6t(0≤t≤15)
【分析】根据题意可得注水量为6t，即可列出方程，求出当进水量为100时的进水时间即可得自变量取值范围.
【详解】解：根据题意可得v=10+6t，
当v=100时，得100=10+6t，
解得t=15，
则水池蓄水量V（m³）与进水时间t（小时）之间的函数关系式为v=10+6t(0≤t≤15).
故答案为v=10+6t(0≤t≤15).
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解此题的关键在于实际情况找到自变量的最值.
二、解答题
4．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【答案】（1）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意值即可得出结论．
【详解】（1）设与之间的函数关系式，
把，代入得：，解得：，
∴与之间的函数关系式；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．（2022春·上海·八年级期中）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润.
【答案】（1）一次函数解析式为y=-x+40；（2）每日所获利润为200元.
【详解】分析：（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．
（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．
详解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．
则．
解得：k=﹣1，b=40．
即一次函数解析式为y=﹣x+40．
（2）当x=30时，每日的销售量为y=﹣30+40=10（件），
每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）．
点睛：本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量(微克)与服用后的时间(小时)之间的函数关系如图所示:
(1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升;
(2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式;
(3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时．
【答案】（1）12，8；（2）；（3）10，5.
【分析】（1）根据函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8，即可求得本问；
（2）根据图象可得，从服用药物起到药物浓度最高时，与之间的函数解析式为图象中的正比例函数那段，将图象上代入即可得；
（3）由题意，求出时，在正比例函数上的值，即可解；又因时，，所以药物有效时间总共为小时.
【详解】（1）由函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8
则如果上午8时服用该药物，到时该药物的浓度达到最大值8微克/毫升
故答案为：12，8；
（2）根据图象可得，需要求的是时，正比例函数那段，
设，将代入得：
解得：
则所求的与之间的函数解析式为；
（3）把，代入题（2）所求的函数解析式得，解得
从图象中可得，时，
由题意得治疗有效
则如果上午8时服用该药物，到时该药物开始有效，有效时间一共是小时
故答案为：10，5.
【点睛】本题考查了一元一次函数的实际应用，看懂图象、理解题意是解题关键.
7．（2022春·上海·八年级专题练习）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢！”为了做好开学准备，某校共购买了20桶两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知种消毒液300元/桶，每桶可供2000米的面积进行消杀，种消毒液200元/桶，每桶可供1000米的面积进行消杀．
（1）设购买了种消毒液桶，购买消毒液的费用为元，写出与之间的关系式；
（2）在现有资金不超过5300元的情况下，求可消杀的最大面积．
【答案】（1）y=100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；（2）33000米2
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据现有资金不超过5300元，可以求得x的取值范围，再根据题意，可以得到消杀面积与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到可消杀的最大面积．
【详解】解：（1）由题意可得，
y=300x+200（20-x）=100x+4000，
即y与x之间的关系式为y=100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；
（2）∵现有资金不超过5300元，
∴100x+4000≤5300，
解得，x≤13，
设可消杀的面积为S米2，
S=2000x+1000（20-x）=1000x+20000，
∴S随x的增大而增大，
∴当x=13时，S取得最大值，此时S=33000，
即可消杀的最大面积是33000米2．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（2022春·上海·八年级专题练习）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量（千克）与上市时间（天）的函数关系如图所示．
（1）求日销售量与上市时间的函数关系式；
（2）求出第15天的日销售量．
【答案】（1）日销售量与上市时间的函数关系式；（2）当x=15时，（千克）．
【分析】（1）分段求出相应的函数，利用待定系数法当时，将（12，960）可得，当时，将（12，960）和（20，0）代入，解方程组可求即可；
（2）由，选取第二段函数求值即可．
【详解】解（1）当时，，将（12，960）代入，解得，
∴；
当时，，将（12，960）和（20，0）代入，
解得，
∴，
日销售量与上市时间的函数关系式；
（2）∵，选取第二段函数，
∴当x=15时，（千克）．
【点睛】本题考查待定系数法求分段函数解析式，和函数值，掌握待定系数法求分段函数解析式，和函数值是解题关键．
9．（2022春·上海·八年级期中）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤100时具有一次函数关系，如表所示：
（1）直接写出y关于x的函数解析式是 ；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？
【答案】（1）y＝+60；（2）原计划每天的修建费是46万元
【分析】（1）根据题意设出函数解析式，由表格中的数据可以求得函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，求出原计划修路用的天数，从而可以求得原计划每天修建的费用．
【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过点（60，45），（80，40），
∴，
解得：；
∴y关于x的函数解析式为y＝+60．
故答案为：y＝+60；
（2）设原计划修完这条路需要m天，
根据题意得：
解得m＝56，
经检验m＝56是原方程的根，
∵50≤m≤100，
∴y＝×56+60＝46（万元），
答：原计划每天的修建费是46万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用待定系数法求出y关于x的函数解析式．
10．（2022秋·上海·八年级专题练习）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)yx，0≤x≤8；y（x＞8）
(2)30
(3)有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【详解】（1）解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
（2）（2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
11．（2022春·上海·八年级专题练习）有一个带有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到x（分）与水量y（升）之间的关系如图：
（1）每分钟进水多少？
（2）0＜x≤4时，y与x的函数关系式是什么？
（3）4＜x≤12时，函数关系式是什么？
（4）你能求每分钟放水多少升吗？
【答案】（1）5升;（2）y=5x（0＜x≤4）;（3）y=1.25x+15（4＜x≤12）;（4）3.75升.
【分析】（1）根据等量关系：水量=单位时间内进水量×时间，可得出每分钟进水多少．
（2）设y与x的函数关系式是y=kx，把（4，20）代入求出即可．
（3）设y与x的函数关系式是y=kx+b，，把（4，20）（12，30）代入求出即可．
（4）根据等量关系：放水量=单位时间放水量×时间，代入求出即可．
【详解】解：（1）如图：当x=4时，y=20
∴每分钟进水量是：20÷4=5（升）
（2）y与x的函数关系式是y=kx，把（4，20）代入得
20=4k，
解得：k=5，
∴y与x的函数关系式是y=5x（0＜x≤4）;
（3）设y与x的函数关系式是y=kx+b，把（4，20），（12，30）代入得
∴k=1.25，b=15
∴y与x的函数关系式是y=1.25x+15（4＜x≤12）
（4）由图知：当4＜x≤12时，
进水量是5×8=40（升），放水量是40﹣10=30（升），
∴每分钟放水量是：30÷8=3.75（升）
【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题．能够根据题意中的等量关系建立函数关系式，能够根据函数解析式求得对应的x的值，渗透了函数与方程的思想．
12．（2022春·上海·八年级期中）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
【答案】（1）y=1.5x+4.5；（2）21
【详解】（1）设y=kx+b．
由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．
把它们分别代入上式，得
解得k=1.5，b=4.5．
∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x≥1）．
（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm
13．（2022春·上海·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”
(1)若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？
【答案】(1)没有超速，理由见解析
(2)33升
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；
（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．
(1)
解：张师傅没有超速，
理由：设张师傅的速度为x千米/时，
由题意得：，
解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∵100＜110，
∴张师傅没有超速；
(2)
由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：44÷8＝5.5（升），
行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：＝33（升），
答：行驶完这段高速公路，他至少需要33升油．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质解答问题．
14．（2022秋·上海·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点（D不与B、C点重合），作DE⊥AB，垂足为E. 连接AD，设CD=x，DE=y．
(1)当E点为AB的中点时，求CD的长；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)过B作DE的平行线交AD的延长线于F，当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，直接写出CD的长度．
【答案】(1)；
(2)（）；
(3)3或．
【分析】（1）利用条件证明DA =DB，在Rt△ACD中，利用勾股定理求解即可；
（2）利用，即可求出y关于x的函数关系式；
（3）分情况讨论：当BD=BF时，利用，解得x=3；当BD=DF时，证明BD=AD，所以，解得．
（1）
解:∵E点为AB的中点，DE⊥AB，
∴DA =DB，设CD=x，则DA=DB=8－x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，即，
解得，即CD=；
（2）
解：根据等面积法，得，
∴，
∴（）；
（3）
解：如图3所示，
当BD=BF时，∠1=∠2=∠3，
在Rt△ABF中，，
在Rt△ACD中，，
∴，解得x=3；
当BD=DF时，∠1=∠4，又∠ABF=90，
∴∠4+∠5=90，∠1+∠6=90，
∴∠5=∠6，∴BD=AD，
∴，解得；
综上所述：当△BDF为以BD为腰的等腰三角形时，CD的长度为3或．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的实际应用，（3）中注意分情况讨论．
运行区间
一等座
二等座
出发站
终点站
成人票价（元/张）
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
A市高铁站
B市高铁站
132
80
60
C
D
总计
A
x吨
200吨
B
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
收地运地
C
D
总计
A
x吨
______
200吨
B
______
______
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
收地运地
C
D
总计
A
x吨
(200-x)吨
200吨
B
(240-x)吨
(60+x)吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
标准型
舒适性
载客量（单位：人/辆）
40
28
租金（单位：元/辆）
500
350
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2500
10
5
2750
价格x（元/千克）
7
5
价格y（千克）
2000
4000
售价x（元）
15
20
25
･･････
日销售量y（件）
25
20
15
･･････
x（天）
60
80
100
y（万元）
45
40
35