沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点03动点产生的面积问题(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试重难点03动点产生的面积问题(原卷版+解析)，共77页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
考点一：面积计算的问题
考点二：与面积相关的函数解析式
技巧方法
运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．
能力拓展
考点一：面积计算的问题
本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级校考期中）在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点．
(1)求证：与的面积相等；
(2)记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
2．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正方形的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边上的一点，且．反比例函数的图象经过点M，并与边相交于点N．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)求证：垂直平分线段．
3．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED．
(1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；
(2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积；
(3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长；
(4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．
4．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=，点 P为对角线 BD上异于B、D的一个动点，连接 AP，将△ABP沿AP所在直线翻折，使得点B落在E处；
(1)当∠DPA=45°时，求点E到直线 AB 的距离；
(2)连接AE，交线段BD于点F，当△EFP 为直角三角形时，求线段 BP的长度；
(3)当∠DPE=30°时，请直接写出△ABP的面积．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米．
(1)求梯形ABQP的面积；
(2)求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足．
(1)联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形；
(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，连接FD．
(1)求证：四边形DECF是菱形；
(2)如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．
8．（2022春·上海·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
9．（2022春·上海·八年级期末）已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
10．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标；
(3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022春·上海·八年级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．
(1)求边AD的长；
(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
12.如图，已知，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、
F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=时，求△GFC的面积．（用含的代数式表示）
13.如图1，正方形ABCD的边长为2，点A(0， 1)和点D在y轴正半轴上，点B、C在第一象限，一次函数y＝kx＋2的图像l交AD、CD分别于E、F．
（1）若△DEF与△BCF的面积比为1∶2，求k的值；
（2）联结BE，当BE平分∠FBA时，求k的值．
14.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的表达式；
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，是否存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形
是等腰梯形?若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
15.如图1，已知直角坐标平面内点A(2, 0)，P是函数y＝x（x＞0）图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q．
（1）试证明：AP＝PQ；
（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_______；
（3）当S△AOQ＝S△APQ时，求点P的坐标．
考点二：与面积相关的函数解析式
本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°．
(1)求证：AE=AF；
(2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域；
(3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7．
2．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
(1)当点在线段上时，求证：；
(2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域；
(3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
4．（2022春·上海·八年级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．
(1)求边AD的长；
(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
5．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒．
(1)求点H与点D重合时t的值．
(2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______．
6．（2021春·上海·八年级校联考期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．
(1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；
(2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；
(3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．
7.已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：△CMG≌△NBP；
（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．
8.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB上，CE＝CD．
（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间
的函数解析式，并写出函数的定义域；
当CD＝5时，求△CDE的面积．
9.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）当点E恰为AB中点时，求m的值；
（2）当点E在线段OA上，记△ODE的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，
试判断四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式．
10.如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）当E是AB 中点时，求证AG＝BF；
（2）当E在边AB上移动时，观察BF、AG、AE之间具有怎样的数量关系?并证明你所得
到的结论；
联结DF，如果正方形的边长为2，设AE＝，△DFG的面积为，求与之间
的函数解析式，并写出函数的定义域．
11.如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当AB＝10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
（2）设E、F为AB、CD的中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．
12.如图1，在菱形ABCD 中，∠B＝45°，AB＝4．左右作平行移动的正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上．当点G到边BC中点时，点E恰好在边AB上．
（1）如图1，求正方形EFGH的边长；
（2）设点B与点F的距离为x，在正方形EFGH作平行移动的过程中，正方形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FH、HC，当△FHC是等腰三角形时，求BF的长．
13.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，A(0，4)，C(5， 0)，点D是y轴正半轴上一点，将四边形OABC沿着过点D的直线翻折，使得点O落在线段AB上的点E处．过点E作y轴的平行线与x轴交于点N．折痕与直线EN交于点M，联结DE、OM. 设OD＝t，MN＝s．
（1）试判断四边形EDOM的形状，并证明；
（2）当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）用含t的代数式表示四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积．
14.已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．联结BF．
（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证：BE＝EF；
②设DE＝x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；
（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由．
15.如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．
（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；
（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）当DG＝时，求∠GHE的度数．
16.已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0， 0)，A(8， 0)，B(4，4)，C(0， 4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与m的函数关系式．
17.在边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=，．
（1）求证：DF=EF；
（2）当点P在线段AO上时，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；（3）点P在运动过程中能否使△PEC为等腰三角形?如果能，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．
重难点03动点产生的面积问题
目录
考点一：面积计算的问题
考点二：与面积相关的函数解析式
技巧方法
运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．
能力拓展
考点一：面积计算的问题
本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．
一、解答题
1．（2022秋·上海·八年级校考期中）在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点．
(1)求证：与的面积相等；
(2)记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)证明过程见详解
(2)当时，有最大面积，最大面积为
【分析】（1）设，，根据点，在反比例函数图像上，则可求出，，且，，由此即可求证；
（2）确定，，，，将转化为含有的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解．
【详解】（1）证明：设，，的面积为，的面积为，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，，则，，
∴，，
∴．
（2）解：根据题意可知，，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴当时，有最大面积，最大面积为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正方形的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边上的一点，且．反比例函数的图象经过点M，并与边相交于点N．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)求证：垂直平分线段．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质及条件确定点M坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）令，在上，则，解得，得到，则点，，利用即可求解；
（3）根据点N在反比例函数图象上求点N坐标，通过全等证得，进而证明，即可证得垂直平分线段.
【详解】（1）设反比例函数的解析式为：，
正方形边长为6，，
，，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上
，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）令，在上，则，解得，
所以，
∴点，，则
；
即的面积为16；
（3）在和中，
，
，
，
在的中垂线上，
，
，
，
在的中垂线上
垂直平分线段
【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键.
3．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED．
(1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；
(2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积；
(3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长；
(4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或2；图形见解析；
(4)或或
【分析】（1）由平行四边形的定义可得AD∥BC， AD=BC，由折叠的性质可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用对顶角相等求得∠OCA和∠OED即可证明；
（2）设OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折叠的性质可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，进而求得OA即可解答；
（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可；
（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三种情况，根据30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可；
【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠OAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACE，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），
∵BC=CE，BC=AD，
∴AD=CE，
∴AD-OA= CE-OC，
∴OE=OD，
∴∠OED=（180°-∠EOD），
∵∠AOC=∠EOD，
∴∠OCA=∠OED，
∴AC∥DE；
（2）解：设OD=x，
由（1）解答可得OD=OE=x，
∵CE=CB=2，
∴OC=2-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，
Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，
∴（2-x）2=x2+2，
∴x=，
∴OA=AD-OD=，
∴△OAC面积=OA•CD=；
（3）解：①如图，∠ACB=45°时，∠B=45°，AB=AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BCD=135°，
∴∠ACD=90°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，
∴∠AED=90°，∠CDE=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∵AB=AC=AE，
∴四边形ACDE是正方形，
∵CE=CB=2，
∴AC2+AE2=CE2，
∴AC=；
②如图，∠ACB=90°时，∠B=∠BAC=45°， CA=CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BAD=135°，
∴∠CAD=90°，
∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∵BC=CE=CA，
∴四边形ACDE是正方形，
∴AC=2；
∴AC=或2；
（4）解：①如图，∠ACB=60°时，
∠B=30°，则∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∵AC∥DE，∴∠AED=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，
∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，
BC=；
②如图，∠ACB=90°时，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，则∠BAD=150°，
∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，
∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABC中，AB=3，AC=，
∴BC==，
③如图，∠ACB=30°时，作AH⊥BC于点H，
由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，
由折叠的性质可得∠EAC=∠BAC=120°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，则△AED是直角三角形，
Rt△ABH中，AB=3，AH=，
∴BH=，
∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，则BH=HC=BC，
∴BC=2BH=，
综上所述BC的长为：或或.
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键．
4．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=，点 P为对角线 BD上异于B、D的一个动点，连接 AP，将△ABP沿AP所在直线翻折，使得点B落在E处；
(1)当∠DPA=45°时，求点E到直线 AB 的距离；
(2)连接AE，交线段BD于点F，当△EFP 为直角三角形时，求线段 BP的长度；
(3)当∠DPE=30°时，请直接写出△ABP的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）作EH⊥AB于H，由矩形的性质和勾股定理可求出，即得出AD=BD，从而可判定∠ABD=30．再根据∠APD=∠ABD+∠PAB，即得出∠PAB=∠PAE=15，从而得出∠EAH=30，再由翻折的性质得出AE=AB=3，从而可求出EH=AE=；
（2）分类讨论：当∠EPF=90时，易得出 ∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，作PM⊥AB于M，在AM上截取一点N，使得AN=PN，即得出∠ADF=60，∠EAB=30，从而得出∠PAB=∠PAE=15．由等边对等角可求出∠NAP=∠NPA=15，即可求出∠PNM =30．设PM=m，则PN=PB=AN= 2m，MN=BM=，由AB=AN+BN，即得出关于m的等式，解出m的值，即得出答案；当∠EFP=90时，即得出∠DAF=30，∠EAB=60，证明 PA=PB，PA=PD，即得出PB=PD=；
（3）作PM⊥AB于M，当∠DPE=30°时，点F与点D重合，即∠PAE=∠PAB=45，设AM=PM=n，则BM=n，由AM+BM=AB，即得出关于n的等式，解出n，再根据三角形面积公式计算即可．
(1)
如图1，作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90，
∴，
∴AD=BD，
∴∠ABD=30，
∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB，
∴∠PAB=∠PAE=15，
∴∠EAH=30，
由翻折可知AE=AB=3，
∴EH=AE=；
(2)
分类讨论：当∠EPF=90时，
∵∠E=∠ABD=30，
∴∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，
如图2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一点N，使得AN=PN．
∴∠ADF=60，∠EAB=30，
∴∠PAB=∠PAE=15．
∵AN=PN，
∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM =30．
设PM=m，则PN=PB=AN= 2m，MN=BM=，
∴2m+=3，
解得：m=，
∴PB=；
如图2-2，当∠EFP=90时，
∴∠DAF=30，∠EAB=60，
∴∠PAB=∠PAE =30，
∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60，
∴PA=PB，PA=PD，
∴PB=PD=；
综上述，满足条件的PB的值为或；
(3)
如图3，作PM⊥AB于M，
当∠DPE=30°时，易知点F与点D重合，此时，∠PAE=∠PAB=45，
设AM=PM=n，则BM=n，
∴n+n=3，
解得：n=，
∴=．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．正确的作出图形和辅助线是解题关键．
5．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米．
(1)求梯形ABQP的面积；
(2)求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值．
【答案】(1)（10+2t）平方厘米
(2)3
【分析】（1）根据题意用t表示出AP、BQ，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据梯形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
(1)
解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，设DP＝t厘米，
∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，
∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；
(2)
解：当梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时，梯形ABQP的面积等于梯形ABCD的面积的一半，
则10+2t＝×（5+11）×4×，
解得：t＝3，
∴当t＝3时，梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等．
【点评】本题考查的是梯形的面积计算，列代数式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面积公式是解题的关键．
6．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足．
(1)联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形；
(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）矩形面积ABCD的面积=AC∙DF，求出DF，AC即可求得矩形面积．
(1)
证明：如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴AF＝CE，
连接BD交AC于点O，
∵AF＝FE＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，
∴DF＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
7．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，连接FD．
(1)求证：四边形DECF是菱形；
(2)如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形DECF的面积＝8
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，求得，推出四边形是平行四边形，于是得到结论；
（2）过点作交于，根据菱形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：过点作交于，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确的识别图形．
8．（2022春·上海·八年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)连接PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
【答案】(1)
(2)88或96或48
【分析】（1）过A作于，过作于，设，表示出与的长，利用解出，从而计算四边形的面积，得到与的函数关系式；
（2）分两种情形：①，②．先求出两种情形下的值，再代入函数解析式中求出的值，即四边形的面积．
（1）
解：过A作于，过作于，设．
，，
，，
,
，
解得或，
，，
，
，即，
当时，不成立，舍去；当时，，符合题意．
．
，即．
（2）
解：连接．
①当时，
，
，
由（1）得，
，即．
．
②当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，
即或，
当时，；
当时，．
综上，四边形的面积为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形与等腰梯形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质定理．
9．（2022春·上海·八年级期末）已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，然后得到，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，
，
，
是等边三角形，
，，
四边形是菱形，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
10．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式；
(2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标；
(3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x+6，
(2)（2，0）或（10，0）；
(3)存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）．
【分析】（1）通过函数y＝−2x＋12求出A、B两点坐标，又由点M为线段OB的中点，即可求得点M的坐标，然后由待定系数法求得直线AM的函数解析式；
（2）设出C点坐标，可求得AC的长，根据S△ABM＝BM•OA，S△AMCAC•OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；
（3）分两种情况讨论：①BM是菱形的边时；②BM是菱形的对角线时，分别根据菱形的性质求解即可．
（1）
解：∵直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+12，
∴A（6，0），B（0，12），
又∵M为线段OB的中点，
∴M（0，6），
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
故直线AM的解析式为y＝﹣x+6；
（2）
设点C的坐标为：（x，0），
∴AC＝|x﹣6|，
∵B（0，12），M（0，6），
∴BM＝6，
∴S△ABMBM•OA6×6＝18，
∵S△AMCS△ABM，
∴S△AMCAC•OM6×|x﹣6|18，
∴3×|x﹣6|＝12，
解得：x＝2或10，
故点C的坐标为：（2，0）或（10，0）；
（3）
设P（x，﹣2x+12），
①如图所示：BM是菱形的边时．
过P2作P2C⊥y轴于C，
∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，
∵四边形BP2Q2M是菱形，
∴P2B＝BM＝6，
在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，
∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，
∴点P的坐标为（，12）或（，12）；
过P3作P3D⊥y轴于D，
∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，
∵四边形BQ3P3M是菱形，
∴P3M＝BM＝6，
在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，
∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
②如图所示：BM是菱形的对角线时，
连接PQ交y轴于N，
∵四边形BQMP是菱形，
∴PQ⊥BM，BN＝MN，
∴点N的坐标为（0，9）．
∴点P的纵坐标是9，
∴﹣2x+12＝9，解得x，
∴点P的坐标为（，9）．
综上所述，存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）．
【点睛】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、菱形的性质等．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
11．（2022春·上海·八年级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．
(1)求边AD的长；
(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【答案】(1)AD＝6
(2)y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
(3)梯形AEFD的面积为或32
【分析】（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，判定四边形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的长，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的长；
（2）首先确定PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，从而得出y关于x的函数解析式，也能得出定义域；
（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面积；②当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面积．
（1）
解：过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，如图所示
∵梯形ABCD中，∠B＝90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∵∠C＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝AB＝8，
∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．
（2）
解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，
∴FG＝DG＝AE＝x，
∵EG＝AD＝6，
∴EF＝x+6，
∵PE＝PF，EF∥BC，
∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，如图所示
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，
∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，
∵QR＝BE＝8﹣x，
∴，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
（3）
解：当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，
∴（AD+EF）•AE＝，
当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，
∴（AD+EF）•AE＝．
【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，综合性较强，对于此类题目，要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
12.如图，已知，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、
F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=时，求△GFC的面积．（用含的代数式表示）
【难度】★★★
【解析】（1）过点G作GM⊥BC于M．
∵四边形EFGH为正方形时，∴
∵，∴
∵，，，
∴
同理可知：
∴
∴，则；
过点G作GM⊥BC于M，连接HF
∵AD∥BC，∴
∵EH∥FG，∴
∴
∵，，，
∴
∴
∴．
【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．
13.如图1，正方形ABCD的边长为2，点A(0， 1)和点D在y轴正半轴上，点B、C在第一象限，一次函数y＝kx＋2的图像l交AD、CD分别于E、F．
（1）若△DEF与△BCF的面积比为1∶2，求k的值；
（2）联结BE，当BE平分∠FBA时，求k的值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵正方形ABCD的边长为2，点A(0， 1)和点D
在y轴正半轴上，点B、C在第一象限，
∴B(2， 1)，C(2， 3)，D(0， 3)．
∵一次函数y＝kx＋2的图像l交AD、CD分别于E、F， ∴E(0， 2)．
设F(m， 3)，
∵△DEF与△BCF的面积比为1∶2，
∴，解得：，∴F(1， 3)
∵F(1， 3)在直线y＝kx＋2上，∴；
延长BE交CD的延长线于H ，
∵BE平分∠FBA，∴
∵CD∥AB，∴，∴，∴FB=HF
∵AE=1，DE=1，∴AE=DE
∵AE=DE，，
∴△HED≌△BEA
∴HD=AB=2，∴H(－2， 3)
设F(n， 3)
∵FB=HF，∴，解得：，
∴F(， 3)
∵F(， 3)在直线y＝kx＋2上，
∴．
【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．
14.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的表达式；
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请求出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，是否存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形
是等腰梯形?若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）P(6， 12)或P(－18， －12)；
（3）H(－12， 0)或H(－6， 18)或H(， )．
【解析】（1）∵函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴A(－6， 0)，B(0， 12)
∵点M为线段OB的中点， ∴M(0， 6)，
则直线AM的表达式为；
当点P在AM的延长线上时
∵S△ABP＝S△AOB，∴OP∥AB，则可知直线OP的表达式为．
∵P在直线AM上，∴令，解得：， ∴P(6， 12)；
当P在AM的反向延长线上时，过P点作PN⊥OB，垂足为H
设P(n， n+6)
∵， S△ABP＝S△AOB，
，解得：，
则P(－18， －12)．
存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形．
若以AM为底，BM为腰，过点B作AM的平行线，当点H(－12， 0)时，以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以BM为底，AM为腰，过点A作BM的平行线，当点H(－6， 18)时，以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形；
若以AB为底，BM为腰，过点M作AB的平行线，当点H(， )时，以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形．
【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．
15.如图1，已知直角坐标平面内点A(2, 0)，P是函数y＝x（x＞0）图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q．
（1）试证明：AP＝PQ；
（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_______；
（3）当S△AOQ＝S△APQ时，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）；
（3）或．
【解析】（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，
∵P是函数y＝x（x＞0）图像上一点
∴PH=PT，PH⊥PT
∵PQ⊥AP，∴
∵，PH=PT，
∴△PHA≌△PTQ
∴AP＝PQ；
由（1）可得：
∵，
∴，
即；
设，
∵，，
∴， 解得：．
∴或．
【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标．
考点二：与面积相关的函数解析式
本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．
一、解答题
1．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°．
(1)求证：AE=AF；
(2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域；
(3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7．
【答案】(1)见解析
(2)y=（0＜x＜8）
(3)当x=4±2时，与面积比值为7
【解析】（1）
证明：如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°=∠BAC，
∴∠EAF=∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴（ASA），
∴AE=AF；
（2）
解：如图2，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB=8=BC，
∴BH=CH=4，∠BAH=30°，
∴AH=，
∵，
∴，
∴y=（0＜x＜8）；
（3）
解：由（1）可知：，
∴BE=CF=x，，
∵，
∴，
∵与面积比值为7，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与面积比值为7．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，函数关系式，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．
(1)当点在线段上时，求证：；
(2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域；
(3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)（0＜x＜6）
(3)
【分析】（1）连接AC，通过证明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF＝BE＝x，DF＝6−x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式；
（3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，继而即可求出BE的长．
（1）
证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC平分∠BCD，∠BAD，，，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∠BAC＝∠DAC＝60°，
又∵∠BAE＋∠MAC＝60°，∠CAF＋∠MAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF．
（2）
解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，如图所示：
在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°−60°＝30°，
∴DH＝AD＝×6＝3，，
又∵CF＝BE＝x，DF＝6−x，
∵S△ADF＝DF•AH，
∴，
即（0＜x＜6）．
（3）
解：①当点F在CD的延长线上时，连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴，平分∠ADC和∠ABC，
∴∠ADB＝∠ADC＝30°，
当四边形BDFA是平行四边形时，，
∴∠FAD＝∠ADB＝30°，
∴∠DAE＝60°−30°＝30°，∠BAE＝120°−30°＝90°，
在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴∠BEA＝90°-60°=30°，
∵AB＝6，
∴BE＝2AB＝2×6＝12；
②当点F与C重合时，点E与点B重合（不合题意舍去）；
综上分析可知，．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．
3．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
【答案】(1)=10，，此时点P在CB边上
(2)（）
(3)（，）、（，）
【分析】（1）题目给出了、点的坐标，CB＝4，可求出的坐标，根据PD将梯形COAB的周长平分，其中一半为，等于梯形周长的一半建立等式求解即可，算出，再判断；
（2）可根据四边形的面积是梯形面积，列出方程并解出方程即可；
（3）要根据的位置在不同边的具体情况利用相关的知识写出函数关系式及取值范围．
(1)
解：点坐标为，，
，
梯形的周长为：，
根据PD将梯形COAB的周长平分，
由，
得．
此时点在上；
(2)
解：作于，于，于，
则．
，
，
，
，
，．
；
(3)
解：点只能在或上，
（ⅰ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
由，得．
即在7秒时有点（，）；
（ⅱ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
即在秒时，有点（，）．
故在7秒时有点（，），在秒时有点（，），使将梯形的面积分成的两部分．
【点睛】本题考查了直角梯形及一次函数的综合运用；做题时要认真理解题意，找出等量关系，解题的关键是利用分类讨论思想进行求解．
4．（2022春·上海·八年级期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．
(1)求边AD的长；
(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【答案】(1)AD＝6
(2)y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
(3)梯形AEFD的面积为或32
【分析】（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，判定四边形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的长，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的长；
（2）首先确定PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，从而得出y关于x的函数解析式，也能得出定义域；
（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面积；②当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面积．
（1）
解：过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，如图所示
∵梯形ABCD中，∠B＝90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∵∠C＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝AB＝8，
∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．
（2）
解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，
∴FG＝DG＝AE＝x，
∵EG＝AD＝6，
∴EF＝x+6，
∵PE＝PF，EF∥BC，
∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，如图所示
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，
∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，
∵QR＝BE＝8﹣x，
∴，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
（3）
解：当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，
∴（AD+EF）•AE＝，
当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，
∴（AD+EF）•AE＝．
【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，综合性较强，对于此类题目，要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．
5．（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒．
(1)求点H与点D重合时t的值．
(2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝；
（2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，S＝EF•FH＝•2t＝2，
②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM，S＝EF•FH−S△DHM即可得到答案；
（3）当O∥AD时，证明O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝4；
(1)
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵GE∥AD，
∴∠GEB＝∠BAD＝60°，
∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°，
∴∠EGA＝∠BAC＝30°，
∴GE＝AE＝2t，
∵四边形EFHG是矩形，
∴FH＝GE＝2t，
在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝，
∴AH＝AF＋FH＝3t，
点H与点D重合时，AH＝AD，
∴3t＝8，
∴t＝；
(2)
①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图：
矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，
∴S＝EF•FH＝，
②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图：
在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8，
∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝，
∴S△DHM＝DH•HM＝，
∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积
S＝EF•FH−S△DHM＝
，
综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积：
，
(3)
当AD时，如图：
∵四边形EFHG是矩形，
∴是FG的中点，
∵∥AD，
∴是△AFG的中位线，
∴O是AG中点，
∴OA＝OG，
又∵O是AC中点，OA＝OC，
∴G与C重合，此时，E与B重合，
∴t＝
故答案为：4
【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
6．（2021春·上海·八年级校联考期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．
(1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；
(2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；
(3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．
【答案】(1)见解析
(2)y=x2-3x+18（0＜x＜6）
(3)
【分析】（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题；
（2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题；
（3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题．
（1）
证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，
∵CM∥FG，DE⊥FG，
∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE，
∴CM=FG，∠CKD=90°
∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
∴△ADE≌△DCM（ASA），
∴CM=DE，
∴DE=FG．
（2）
如图2中，
∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF=x，
∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB
=×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x）
=3x+18-3x+x2-3x
=x2-3x+18（0＜x＜6）．
（3）
如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．
则四边形DGFN是平行四边形，
∴∠EDN=∠GHD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，
∴∠NDE=∠NDM，
∵DN=DN，DE=DM，
∴△NDE≌△NDM（SAS），
∴EN=NM，
∵AB=6，BE=2AE，
∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，
在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，
∴（x+2）2=（6-x）2+42，
∴x=3，
在Rt△DCN中，DN=，
∴FG=DN=．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7.已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：△CMG≌△NBP；
（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．
【难度】★★★
【解析】（1）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴，
∵CM∥BE，∴
∵正方形ABCD，MN⊥AB，
∴四边形BCMN是矩形， ∴CM=NB．
∵CM=NB，，
∴△CMG≌△NBP；
（2）∵正方形BEFG，BE＝x，
∴， ∴，
∴（）；
由已知可得：MN∥BC，MG∥BP，
∴四边形BGMP是平行四边形．
要使四边形BGMP是菱形，则，
∴，解得：，
∴当时，四边形BGMP是菱形．
【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．
8.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB上，CE＝CD．
（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间
的函数解析式，并写出函数的定义域；
当CD＝5时，求△CDE的面积．
【难度】★★★
【答案】（1）（）；（2）或．
【解析】（1）过C作CF⊥AD交AD延长线于F
∵AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，
∴四边形ABCF是正方形．
∵CE＝CD，BC=CF，∴△BCE≌△FCD，∴DF=BE
∵AD＝x，∴，∴
∴

， 定义域为：；
当∠BCD为锐角时，
∵CD＝5时，CF=4，
∴由勾股定理可得：，则
代入解析式中可得：；
当∠BCD为钝角时，易知．
∴
．
综上所述，△CDE的面积为或．
【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．
9.如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）当点E恰为AB中点时，求m的值；
（2）当点E在线段OA上，记△ODE的面积为y，求y与m的函数关系式并写出定义域；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，
试判断四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S关于m的函数关系式．
【难度】★★★
【解析】∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标
分别为（3,0），（0,1），∴B（3,1）．
当点E恰为AB中点时，则E（3，）
∵点E在直线上， ∴代入E点坐标，可得：；
当点E在线段OA上，
∵直线交折线OAB于点E， ∴E（，0），
∴（）；
设O1A1与CB相交于点M，OA与B1C1相交于点N，则四边形O1A1B1C1与
矩形OABC的重叠部分的面积为四边形DNEM的面积．
∵DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM是平行四边形
∵，，∴，
∴，∴四边形DNEM是菱形
过D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为
∵D（，1），E（，0）， ∴DH=1，HE=，
∴， 在直角△DHN中，，解得：
∴菱形DNEM的面积为：．
【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．
10.如图1，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）当E是AB 中点时，求证AG＝BF；
（2）当E在边AB上移动时，观察BF、AG、AE之间具有怎样的数量关系?并证明你所得
到的结论；
联结DF，如果正方形的边长为2，设AE＝，△DFG的面积为，求与之间
的函数解析式，并写出函数的定义域．
【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）；
（3）（）．
【解析】（1）当E是AB 中点时，AE=BE
∵AE=BE，，
∴△EAG≌△EBF
∴AG＝BF
过点F作FH⊥DA，垂足为H，则四边形ABFH是矩形
∴FH=AB=AD
∵DE⊥FG，∴
∵FH=AD，，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即
∵BF=HA，
∴；
由（2）可得：FG=DE
∴
∴（）
【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．
11.如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当AB＝10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
（2）设E、F为AB、CD的中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．
【难度】★★★
【答案】（1）（）； （2）．
【解析】（1）由题意可得：AP=，CQ=，
则（）；
过点D作DH⊥BC于H，取CH的中点G，则四边形ABHD是矩形．
∵F是CD的中点，G是CH的中点，∴
∵AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21
∴CH=21-18=3，CG=
∴
∵四边形PEQF是平行四边形， ∴PE=QF
∵，
∴△AEP≌△GFQ， ∴QG=AP
∴， 解得：，
即当四边形PEQF是平行四边形时，t的值为．
【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．
12.如图1，在菱形ABCD 中，∠B＝45°，AB＝4．左右作平行移动的正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上．当点G到边BC中点时，点E恰好在边AB上．
（1）如图1，求正方形EFGH的边长；
（2）设点B与点F的距离为x，在正方形EFGH作平行移动的过程中，正方形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FH、HC，当△FHC是等腰三角形时，求BF的长．
【难度】★★★
【解析】（1）当点G到边BC中点时，BG=2，
∵∠B＝45°，正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上．
∴BF=EF=FG
∵BG=2，∴FG=1，
即正方形EFGH的边长为1；
当时，，
当时，；
当FH=HC时，∵HG⊥CF，∴FG=CG=1，
∴；
当FC=HC时，
∵，
∴，解得：，
∴；
当FH=FC时，则，此时，
综上所述，当△FHC是等腰三角形时，BF的长为2或3或．
【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要进行分类讨论．
13.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，A(0，4)，C(5， 0)，点D是y轴正半轴上一点，将四边形OABC沿着过点D的直线翻折，使得点O落在线段AB上的点E处．过点E作y轴的平行线与x轴交于点N．折痕与直线EN交于点M，联结DE、OM. 设OD＝t，MN＝s．
（1）试判断四边形EDOM的形状，并证明；
（2）当点D在线段OA上时，求s关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）用含t的代数式表示四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积．
【难度】★★★
【解析】（1）四边形EDOM是菱形．
∵将四边形OABC沿着过点D的直线翻折，使得点O落在线段AB上的点E处，
∴，． ∵EM∥OD， ∴，
∴，∴，∵，∴．
∵EM∥OD，∴四边形EDOM是平行四边形，
∵，∴平行四边形EDOM是菱形；
（2）由（1）可得：OD＝EM = t，
∵EN=OA=4， ∴（）；
（3）当点D在线段OA上时，
∵，，
∴
∴四边形EDOM与矩形OABC重叠部分面积为：；
当点D在线段OA延长上时（如图所示），
∵， ∴，
∴四边形EDOM与矩形OABC重叠部分面积为：，
综上所述，四边形EDOM与矩形OABC重叠部分的面积为或．
【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析．
14.已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．联结BF．
（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证：BE＝EF；
②设DE＝x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；
（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【解析】（1）①在AB上截取AG=AE，连接EG，
∵∠A＝90°，AG=AE，
∴，
∴
∵AD//BC，∠C＝45°，
∴，∴
∵AG=AE，AB＝AD，
∴ED=BG
∵∠A＝90°，EF⊥BE，
∴
∵ED=BG，，
∴△BGE≌△EDF，
∴BE＝EF；
②∵DE＝x，∴，
∵∠A＝90°，∴，
∵BE＝EF，
∴（）；
（2）①当点E在线段AD上时，
∵，又，
∴，解得：（负值舍去），
∴；
②当点E在线段DA延长线上时，延长BA到G，使得BG=DE，连接EG，
则△AGE是等腰直角三角形．
同（1）可证△BGE≌△EDF， ∴BE＝EF，
，
∵，又，
∴，解得：，
∴；
③当点E在线段AD延长线上时，延长AB到G，使得BG=DE，连接EG，
则△AGE是等腰直角三角形．
同（1）可证△BGE≌△EDF， ∴BE＝EF，
，
∵，又，
∴，解得：（负值舍去），
∴；
综上所述，当△BEF是△ABE面积的3倍时，DE的长为或
或．
【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论．
15.如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．
（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；
（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）当DG＝时，求∠GHE的度数．
【难度】★★★
【解析】（1）当DG＝1时，
∵AH＝1，∴DG=AH
∵菱形EFGH ， ∴HG=HE，
∵， ∴△HDG≌△EAH， ∴
∵，∴，∴
∴菱形EFGH是正方形；
联结GE，过F作FM⊥DC交DC的延长线于M，
∵CD∥AB，∴
∵FG∥HE，∴，∴
∵，，FG=HE，
∴△AHE≌△MFG， ∴，
∴（）；
∵正方形ABCD的边长为3，AH＝1， ∴DH=2．
当DG＝时，，
∴，∴．
过G做GN⊥AB于N，
∵DG＝，， ∴，
∴， ∴，
∴△EGH是等边三角形， ∴．
【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添
加．
16.已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0， 0)，A(8， 0)，B(4，4)，C(0， 4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与m的函数关系式．
【难度】★★★
【解析】（1）过B作BE⊥x轴，垂足为E，则点E(4，0)
∵B(4，4)，
∴，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴；
∵S≥0，
∴点M、N只能重合到点C(0， 4)，
此时，故直线l的解析式为：y＝x＋4；
（3）四边形OABC的面积．
∵直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC边交于点M、N，
∴△AMN为等腰直角三角形．
当S＝0时，则△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半．
过N做x轴的垂线NH，则NH=AH=MH．
设，则，
解得：，
∴，
∵点N在直线l：y＝x＋m上，
∴；
（4）∵S＝S1－S2（S≥0），∴．
①当时，，，
经过A(8， 0)，B(4，4)的直线解析式为：，
令，解得：
∴，，
∴；
②当时，，，
∴，，
∴；
综上所述，．
【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的求法．解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置．
17.在边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=，．
（1）求证：DF=EF；
（2）当点P在线段AO上时，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；（3）点P在运动过程中能否使△PEC为等腰三角形?如果能，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．
【难度】★★★
【解析】（1）延长FP交AB于点G
∵正方形ABCD中，PF⊥CD于点F，
∴四边形AGFD是矩形， ∴DF=AG，
∵正方形ABCD， ∴
∵，∴，∴
同理可得：
∵PE⊥PB，，∴
∵，，
∴△GBP≌△FPE，∴GP=EF
∵，∴；
∵PA=， ∴，，
则，∴，
∵，
∴（）
点P在运动过程中能使△PEC为等腰三角形．
当点E在CD边上时，
∵，要使△PEC为等腰三角形，则，则PE⊥CE．
∵PE⊥PB，∴BP∥CD，∴BP∥BA．
于是点P在AB上，又点P在AC上，∴A与P重合，此时AP=0．
当点E在DC延长线上时，要使△PEC为等腰三角形，只能是PC=CE，
∴易得PA=4．
【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论．