高中7.1 复数的概念随堂练习题

这是一份高中7.1 复数的概念随堂练习题，共34页。
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2.复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
5．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知识点三：复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
类型二、复数相等
例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
（1）；
（2）．
例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.
例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
类型三、复数的几何意义
例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．直线上
例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
类型四、复数的模
例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
类型五、复数的轨迹与最值问题
例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|