人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率练习，共60页。
1．随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验 (randm experiment)，简称试验，常用字母E表示．
2．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
3．样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间 (sample space)．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
4．随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件 (randm event)，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event)．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
5．必然事件，不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．
6.事件的关系与运算
探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？
答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．
(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？
7. 概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(prbability)，事件A的概率用P(A)表示．
8. 古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical mdels f prbability)，简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
9.概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例题】
题型一 样本空间
例1．(2023·湖南·高一课时练习）在0，1，2，…，9这10个数字中任意选取一个，写出试验的样本点和样本空间.
解题技巧（写样本空间的注意事项）
在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
例2．(2023·湖南·高一课时练习）抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.
例3．(2023·全国·高一）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
题型二 必然事件、不可能事件与随机事件的判断
例4．（2023·全国·高一课时练习）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
解题技巧： (判断事件类型的步骤)
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
例5．（2023·全国·高一课时练习）指出下列事件中，哪些是随机事件､必然事件或不可能事件：
(1)任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形；
(2)任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面；
(3)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点；
(4)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5；
(5)实数a，b不都为0，但；
(6)汽车排放尾气会污染环境；
(7)明天早晨有雾；
(8)明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温.
例6．（2023·全国·高一课时练习）某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件 “转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
题型三 事件关系的判断
例7．(2023·湖北·一模）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
解题技巧（事件关系的判断方法）
(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生．
(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．
例8．（2023·全国·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
例9．（2023·全国·高一课时练习）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
题型四 事件的运算
例10．（2023·全国·高一课时练习）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
解题技巧： (事件运算的规律)
(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．
例11．（2023·全国·高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：
（1）事件与事件是什么关系？
（2）事件与事件的交事件与事件是什么关系？
例12．（2023·全国·高一课时练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
题型五 简单古典概型的计算
例13．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为( )
A．B．C．D．
解题技巧（求古典概型的一般步骤）
(1)明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；
(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例14．(2023·贵州·高三期末（文））已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·湖南·常德市第二中学高二期中）《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（ ）
A．B．C．D．
题型六 较复杂的古典概型的计算
例16．（2023·河北省博野中学高一开学考试）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心为原点，构建一个平面直角坐标系.现做如下实验:连续抛掷一枚质地均匀的正方体的骰子(六个面分别标有1至6这六个点数中的一个)两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标).
(1)①请用画树状图或列表的方法，表示出点P的坐标的所有可能的结果;
②求点P在正方形ABCD中(含正方形内部和边界)的概率.
(2)试将正方形ABCD平移整数个单位长度，则是否存在一种平移，使点P在正方形ABCD中的概率为?若存在，请写出平移方式;若不存在，请说明理由.
解题技巧 (“有放回”与“无放回”的区别)
“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．
“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的．
例17．(2023·江西·临川一中高二期末（文））已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
(1)在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？
(2)根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少．
例18．（2023·河北·秦皇岛一中高二阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
题型七 概率的基本性质
例19．(2023·湖南·高一课时练习）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
解题技巧（概率性质公式）
(1)运用概率加法公式解题的步骤
①确定诸事件彼此互斥；
②先求诸事件分别发生的概率，再求其和．
(2)求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；
二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
例20．（2023·全国·高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
例21．（2023·全国·高一课时练习）在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
题型八 概率的基本性质的应用
例22．（2023·全国·高一课时练习）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．
(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答．
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由．
解题技巧 (概率性质的应用)
1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
2．运用事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
例23．（2023·全国·高一课时练习）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
例24．（2023·陕西渭南·高一期末）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法不正确的是（ ）
A．这14天中空气质量指数为“优良”的频率为
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从11日到14日空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日
2．(2023·河南·模拟预测（理））某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·广东·高三阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高三专题练习）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
7．(2023·江西九江·一模（文））如图，在中，D，E为线段上两点，现从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点，则这三个点能构成一个三角形的概率为（ ）.
A．B．C．D．
8．（2023·四川省南充高级中学高二阶段练习（文））若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·江西景德镇·高一期末）“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.某医院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
10．(2023·湖北武汉·高三期末）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为
11．(2023·山东省淄博实验中学高二开学考试）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．时的概率为
B．时的概率为
C．时的概率为
D．是6的倍数的概率是
12．(2023·全国·模拟预测）某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（ ）
A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为
三、填空题
13．(2023·湖南·高一课时练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
14．(2023·江西·景德镇一中高一期末）某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________.
15．(2023·上海·格致中学高二期末）若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．
16．(2023·河南·模拟预测（理））有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.
四、解答题
17．(2023·河南洛阳·二模（文））河南省省会郑州市从7月20号到7月31号，由刷新降雨极值引发的洪灾，到出现新一轮的疫情，经历过这难熬7月的郑州人民忍不住造了新词“涝疫结合”．新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全省乃至全国人民的共同努力下郑州疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能.2021年“十一”黄金周，郑州市某旅行社报名去焦作云台山、洛阳老君山两地旅游的游客共有800人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织游玩，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：名）作了如下统计：
已知在参加云台山、老君山两地旅游的800人中，参加第二批云台山游的频率是0.165．
(1)现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？
(2)已知，，求第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率．
18．(2023·湖南·高一课时练习）将红、白两个球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个盒中（一个盒中只能容纳一个球）.用，，分别表示事件“红球在Ⅰ盒中”“红球在Ⅱ盒中”“红球在Ⅲ盒中”；用，，分别表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用语言叙述下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
19．（2023·湖南·常德市第二中学高二期末）对某班名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为，，，，，如图所示.
(1)求实数的值及这名同学每天参加课外活动的时间的众数；
(2)从每天参加活动不少于分钟的人(含男生甲)中任选人，求其中的男生甲被选中的概率.
20．(2023·甘肃·一模（文））2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.
21．(2023·山西·一模（文））从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：
10.5 9.9 9.4 10.7 10.0 9.6 10.8 10.1 9.7 9.3
记样本均值为，样本标准差为s．
(1)求，s；
(2)将质量在区间内的零件定为一等品．
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P．
22．(2023·江西·模拟预测（文））某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；
(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.
定义
表示法
图示
事件的运算
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A (或A⊆B )
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B (或A+B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B (或AB)
互斥关系
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立关系
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝A或A＝B
若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，A∪B＝Ω
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
日期
项目
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
第一批
第二批
第三批
云台山
160
a
b
老君山
120
128
c
增长率分组
企业数
15
30
50
38
17
日需求量n
28
29
30
31
32
33
频数
3
4
6
6
7
4
10.1 随机事件与概率
【知识点梳理】
1．随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验 (randm experiment)，简称试验，常用字母E表示．
2．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
3．样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间 (sample space)．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
4．随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件 (randm event)，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event)．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
5．必然事件，不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．
6.事件的关系与运算
探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？
答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．
(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？
7. 概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(prbability)，事件A的概率用P(A)表示．
8. 古典概型
（1）古典概型
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical mdels f prbability)，简称古典概型．
（2）概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
9.概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【典型例题】
题型一 样本空间
例1．(2023·湖南·高一课时练习）在0，1，2，…，9这10个数字中任意选取一个，写出试验的样本点和样本空间.
答案：见解析
【解析】
分析：
利用样本点和样本空间的定义进行求解即可.
【详解】
在0，1，2，…，9这10个数字中任意选取一个，
试验的样本点为：0，1，2，3, 4，5，6，7，8，9；
样本空间.
解题技巧（写样本空间的注意事项）
在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
例2．(2023·湖南·高一课时练习）抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.
答案：见解析.
【解析】
分析：
给抛掷一枚骰子的结果编号，给抛掷一枚硬币的结果编号，写出所有的可能组合即可.
【详解】
设表示抛掷骰子所得点数为，表示抛掷硬币反面朝上，表示抛掷硬币正面朝上，则分别表示“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币反面朝上”与“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币正面朝上".
则样本空间,
例3．(2023·全国·高一）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
答案：(1)答案见解析；
(2)
(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【解析】
分析：
（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；
（2）由样本空间可得样本点的个数；
（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；
（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.
(1)
样本空间为：
(2)
由知这个试验样本点的总数为.
(3)
得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)
事件表示得到的点是第三象限内的点.
题型二 必然事件、不可能事件与随机事件的判断
例4．（2023·全国·高一课时练习）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
答案：(1)随机事件
(2)随机事件
(3)是必然事件
(4)不可能事件
【解析】
分析：
根据必然事件是一定会发生的，随机事件是可能发生，也可能不发生，不可能事件是不可能发生对每个问题逐一判断即可.
(1)
中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(2)
出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯, 可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(3)
若x∈R，则x2＋1≥1，一定会发生，是必然事件
(4)
抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2，不可能发生，是不可能事件．
解题技巧： (判断事件类型的步骤)
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
例5．（2023·全国·高一课时练习）指出下列事件中，哪些是随机事件､必然事件或不可能事件：
(1)任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形；
(2)任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面；
(3)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点；
(4)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5；
(5)实数a，b不都为0，但；
(6)汽车排放尾气会污染环境；
(7)明天早晨有雾；
(8)明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温.
答案：(1)随机事件
(2)不可能事件
(3)随机事件
(4)必然事件
(5)不可能事件
(6)必然事件
(7)随机事件
(8)随机事件
【解析】
分析：
根据随机事件､必然事件或不可能事件的概念直接判断.
(1)
任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形，是随机事件；
(2)
任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面，是不可能事件；
(3)
从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点，是随机事件；
(4)
把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5，是必然事件；
(5)
实数a，b不都为0，但，是不可能事件；
(6)
汽车排放尾气会污染环境，是必然事件；
(7)
明天早晨有雾，是随机事件；
(8)
明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温，是随机事件.
例6．（2023·全国·高一课时练习）某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件 “转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
答案：（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.
【解析】
根据必然事件、不可能事件还是随机事件的定义判断：
（1）可能发生也可能不发生，
（2）不可能发生；
（3）一定会发生．
【详解】
（1）“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.
（2） “转出的数字是0”，即，不是样本空间的子集，故事件B是不可能事件.
（3），故事件C是必然事件.
【点睛】
本题考查必然事件、不可能事件还是随机事件的概念，属于基础题．
题型三 事件关系的判断
例7．(2023·湖北·一模）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
答案：D
【解析】
分析：
根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】
从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑，
对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；
对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；
对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；
对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；
故选：D.
解题技巧（事件关系的判断方法）
(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生．
(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．
例8．（2023·全国·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
答案：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.
【解析】
根据题意分别计算各个事件的基本事件,再逐个判断即可.
【详解】
解：该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
（1）,,满足,所以与互斥,故正确；
（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）,所以,故正确；（7）,故正确；
（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
【点睛】
本题主要考查了事件间的关系判断,属于基础题型.
例9．（2023·全国·高一课时练习）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
答案：(1)答案见详解；
(2)①A+B+C；②；③.
【解析】
分析：
(1)根据题设条件分别写出1，4，5，8各区域所代表的事件即可.
(2)将所给事件分别用A，B，C表示出来即可.
(1)
由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)
①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，
所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的
事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，
所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；
③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.
题型四 事件的运算
例10．（2023·全国·高一课时练习）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
答案：(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【解析】
分析：
（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.
(1)
事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)
“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
解题技巧： (事件运算的规律)
(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．
例11．（2023·全国·高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：
（1）事件与事件是什么关系？
（2）事件与事件的交事件与事件是什么关系？
答案：（1）.（2）事件与事件的交事件与事件相等.
【解析】
(1)根据事件与事件的基本事件分析即可.
(2)分析事件的基本事件,再判断即可.
【详解】
（1）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.
（2）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.
【点睛】
本题主要考查了事件的基本关系的判断,属于基础题.
例12．（2023·全国·高一课时练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【解析】
分析：
由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可
【详解】
解：（1）三个事件都发生表示为；
（2）三个事件至少有一个发生表示为；
（3）A发生，B，C不发生表示为；
（4）A，B都发生，C不发生表示为；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；
（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为
题型五 简单古典概型的计算
例13．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
采用列举法即可求该古典概型概率问题.
【详解】
从这五个音阶中任取三个音阶，有：
(宫商角)，(宫商徵)，(宫商羽)；(宫角徵)，(宫角羽)；(宫徵羽)；(商角徵)，(商角羽)；
(商徵羽)；(角徵羽)；
共10个基本事件；
其中不含“商”的基本事件有(宫角徵)，(宫角羽)，(宫徵羽)，(角徵羽)共4个；
∴这个音序中不含“商”这个音阶的概率为.
故选：A.
解题技巧（求古典概型的一般步骤）
(1)明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；
(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例14．(2023·贵州·高三期末（文））已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据列举法先求出从这5名学生中任选2人的所有情况和恰有1名女生被选到的情况，进而得出结果.
【详解】
记这3名男生分别为a，b，c，这2名女生分别为D，E，
则从这5名学生中任选2人的情况有
，，，，，，，，，，共10种，
其中恰有1名女生被选到的情况有，，，，，，共6种，
则所求概率.
故选：B.
例15．（2023·湖南·常德市第二中学高二期中）《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中至少有2根阳线包含的基本事件个数，然后求出概率．
【详解】
从八卦中任取一卦，基本事件总数，
这一卦的三根线中至少有2根阳线包含的基本事件个数，
这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率为，
故选：D
题型六 较复杂的古典概型的计算
例16．（2023·河北省博野中学高一开学考试）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心为原点，构建一个平面直角坐标系.现做如下实验:连续抛掷一枚质地均匀的正方体的骰子(六个面分别标有1至6这六个点数中的一个)两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标).
(1)①请用画树状图或列表的方法，表示出点P的坐标的所有可能的结果;
②求点P在正方形ABCD中(含正方形内部和边界)的概率.
(2)试将正方形ABCD平移整数个单位长度，则是否存在一种平移，使点P在正方形ABCD中的概率为?若存在，请写出平移方式;若不存在，请说明理由.
答案：(1)①答案见解析，②；
(2)存在，答案见解析.
【解析】
分析：
（1）由题列表表示所有的结果，然后利用古典概型概率公式即得；
（2）由题可得需使点P在正方形中的情况有12种，结合条件可得.
(1)
①设，则点P的坐标的所有可能为：
②构成的点P的坐标共有36种等可能的情况，其中在正方形ABCD中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)这四种情况，
所以点P在正方形ABCD中的概率为=.
(2)
∵要使点P在正方形ABCD中的概率为=>，
∴只能将正方形ABCD向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种，
∴存在满足要求的平移方式有两种，分别是：将正方形ABCD先向上移2个单位长度，再向右移1个单位长度(先向右再向上亦可)；或将正方形ABCD先向上移1个单位长度，再向右移2个单位长度(先向右再向上亦可).
解题技巧 (“有放回”与“无放回”的区别)
“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．
“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的．
例17．(2023·江西·临川一中高二期末（文））已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
(1)在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？
(2)根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少．
答案：(1)初中、高中年级所抽取人数分别为45、55
(2)2.375小时，2.4小时
(3)
【解析】
分析：
（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；
（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；
（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.
(1)
设初中、高中年级所抽取人数分别为 x、 y ，
由已知可得，解得；
(2)
的频率为，的频率为，的频率为
因为，，所以中位数在区间上，设为x，
则，解得，
所以学生做作业时间的中位数为 2.375小时；
平均时长为小时.
故估计学生做作业时间的中位数为 2.375小时，平均时长为2.4小时
(3)
2 人来自初中年级，记为，，3 人来自高中年级，记为，，，
则从中任选 2人，所有可能结果有：
，，，，，，，，，共 10 种，
其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，
所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为
例18．（2023·河北·秦皇岛一中高二阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
答案：（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【解析】
分析：
(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；
(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.
【详解】
解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）.
设第80百分位数为，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，共有9个样本点.
所以，.
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
题型七 概率的基本性质
例19．(2023·湖南·高一课时练习）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
答案：.
【解析】
分析：
根据给定条件利用概率的加法公式直接计算作答.
【详解】
设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有，，
“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件，有，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件，
于是得，
所以甲、乙至少有一根熔断的概率是.
解题技巧（概率性质公式）
(1)运用概率加法公式解题的步骤
①确定诸事件彼此互斥；
②先求诸事件分别发生的概率，再求其和．
(2)求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；
二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
例20．（2023·全国·高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
答案：(1)A∩B=，BC={2}，概率为0，
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，概率为1，
(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率为
【解析】
分析：
（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生，利用古典概型公式即求；
（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求；
（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求.
(1)
由题可知，，，，
∴，，，，
∴A∩B=，BC={2}，
所求概率为， .
(2)
A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，
所求概率为， .
(3)
={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
所求概率为；；；.
例21．（2023·全国·高一课时练习）在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
答案：答案见解析．
【解析】
分析：
根据互斥事件和对立事件的概率公式计算．
【详解】
由已知取得80分以上成绩的概率为，
考试不及格（低于60分）的概率为．
题型八 概率的基本性质的应用
例22．（2023·全国·高一课时练习）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．
(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答．
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由．
答案：(1)答案见解析
(2)对甲、乙两名同学不公平，理由见解析．
【解析】
【详解】
（1）树状图法：画出树状图，如图所示：
从上面的树状图，知由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”；
列举法：由题意，知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”．
（2）不公平．理由如下：
由（1），知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个记“甲参加数学竞赛”为事件，事件包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13个．
所以．
记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个．
所以．因为，
所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平．
解题技巧 (概率性质的应用)
1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
2．运用事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
例23．（2023·全国·高一课时练习）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
答案：（1）；（2）.
【解析】
【详解】
分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；
（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出.
详解：全体基本事件共有25种情形，
（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形，
故概率.
（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，
即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，
即.
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
例24．（2023·陕西渭南·高一期末）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
答案：（1）（2）
【解析】
分析：
（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可
【详解】
（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件,则,
因为、、两两互斥,所以
故1张奖券中奖的概率为
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
【点睛】
本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法不正确的是（ ）
A．这14天中空气质量指数为“优良”的频率为
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从11日到14日空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日
答案：B
【解析】
分析：
结合连续14天的空气质量指数趋势图，逐项判断，即可得到结果.
【详解】
14天中有：1-3日，7日，12-14日共7天空气质量指数为优成良，所以这14天中空气质量指数为“优良”的频率为，故A正确；
14天中的中位数为，故B错误；
从11日到14日空气质量指数越来越低，故空气质量越来越好，故C正确；
观察折线图可知D正确．
故选：B．
2．(2023·河南·模拟预测（理））某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据题意，分别求出深色瓷砖总数和瓷砖总数，根据古典概型概率公式，即可得答案.
【详解】
由题意得，第1、3、5、7、9圈铺深色瓷砖，
第一圈1块，第3圈块，第5圈块
则第n圈，为块（，n为奇数），
所以深色瓷砖总数，
瓷砖总数，
所以硬币最后落在深色瓷砖上的概率为.
故选：A
3．（2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：5张卡片中卡片上的数字为奇数的有张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是；
故选：C
4．(2023·广东·高三阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用列举法，先列出四项中选两项的所有情况，再找出没选择冰壶的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A,B,C,D，则这四个项目中任意选两项的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD，6种情况，
其中没有选择冰壶的有：BC,BD,CD，3种情况，
所以所求概率为.
故选：C
5．(2023·全国·高三专题练习）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据题意，由古典概型的概率计算方法求解即可.
【详解】
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
共4个基本事件，
根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，
故选：C.
6．（2023·天津市红桥区教师发展中心高一期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
答案：B
【解析】
分析：
直接利用对立事件的定义判断即可.
【详解】
由已知条件得
∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，
∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，
故选：.
7．(2023·江西九江·一模（文））如图，在中，D，E为线段上两点，现从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点，则这三个点能构成一个三角形的概率为（ ）.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用古典概型概率公式即求.
【详解】
从A，B，C，D，E这五个点中任取三个点，
共有，，，，，，，，，，共10个基本事件，
其中可构成三角形的有：，，，，，，共6个基本事件，
所求概率为.
故选：B.
8．（2023·四川省南充高级中学高二阶段练习（文））若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用互斥事件概率公式即得.
【详解】
∵事件A与B互为互斥事件，，
∴.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·江西景德镇·高一期末）“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.某医院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
答案：ABC
【解析】
分析：
利用分层抽样可判断A选项；利用频率公式可判断B选项；计算出该医院的平均治愈率，可判断CD选项.
【详解】
对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取的人数为，A对；
对于B选项，该医院中年患者所占的频率为，B对；
对于CD选项，估计该医院的平均治愈率大约是，C对D错.
故选：ABC.
10．(2023·湖北武汉·高三期末）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为
答案：BD
【解析】
分析：
根据表中数据，结合极差、中位、众数、平均数以及古典概型等知识，逐项判断，即可得到答案.
【详解】
由表中的信息可知“党员先锋”项目参与人数的极差为；“党员先锋”项目参与人数从小到大排列，可得：，故中位数为，故A错误；
由表中的信息可知“邻里互助”项目参与人数的众数为，平均数为,故B正确；
用频率估计概率，由表中数据可知，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于的事件为，则包含：“星期二、星期三、星期四”；“星期三、星期四、星期五”；“星期四、星期五、星期六”；“星期五、星期六、星期日”；共种情况，
其中一周内连续三天，有“星期一、星期二、星期三”；“星期二、星期三、星期四”；“星期三、星期四、星期五”；“星期四、星期五、星期六”；“星期五、星期六、星期日”；共有种情况，所以，故C错误；
用频率估计概率，由表中数据可知，“邻里互助”项目连续天参与人数不低于该项目平均数的事件为，由B可知该项目平均数为，
所以包含：“星期五、星期六”；“星期六、星期日”；共种情况，
其中一周内连续天，有“星期一、星期二”；“星期二、星期三”；“星期三、星期四”“星期四、星期五”；“星期五、星期六”；“星期六、星期日”共有种情况，所以，故D正确；
故选：BD.
11．(2023·山东省淄博实验中学高二开学考试）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．时的概率为
B．时的概率为
C．时的概率为
D．是6的倍数的概率是
答案：CD
【解析】
分析：
先求出所有的基本事件的个数为个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案.
【详解】
先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.
A.时满足的情形有，，，，，，故，故A错误；
B.时满足的情形有，，，，，，，，，故，故B错；
C.时满足的情形有，，，，故，故C正确；
D. 是6的倍数的情形有,，故是6的倍数的概率是，故D正确.
故选：CD.
12．(2023·全国·模拟预测）某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（ ）
A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为
答案：AC
【解析】
分析：
根据题意，求得所有可能的情况个数，再针对每个选项求得对应的情况个数，利用古典概型的概率公式即可求得结果.
【详解】
根据题意，所有可能的情况为，
对：其中满足的情况为，，，有6种情况，
即同时为，且，故发生的概率，故选项A正确；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且；
当，有10种情况，
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
故发生的概率，故选项B错误；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且，
当，有10种情况；
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
当，有8种情况，
即分别为或或或以及分别为或或或，且，
故可得发生的概率，故选项C正确；
对：没有中奖的概率为，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．(2023·湖南·高一课时练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
答案：(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【解析】
分析：
灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得．
【详解】
灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，
因此．
故答案为：．也可写成：．
14．(2023·江西·景德镇一中高一期末）某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________.
答案：
【解析】
分析：
根据题意，求得个球中代表无奖的球的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.
【详解】
从个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，
故可得代表二等奖和三等奖的球共有个，又代表一等奖的球有个，
故代表无奖的球有个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率.
故答案为：.
15．(2023·上海·格致中学高二期末）若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．
答案：，，，
【解析】
分析：
先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.
【详解】
与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为，此空间的子集为，，，
故答案为：，，，
16．(2023·河南·模拟预测（理））有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.
答案：
【解析】
分析：
根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可.
【详解】
解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，
同时掷两枚骰子，基本事件有：，，，，，，共有种，
两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：
，，共15种，
所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·河南洛阳·二模（文））河南省省会郑州市从7月20号到7月31号，由刷新降雨极值引发的洪灾，到出现新一轮的疫情，经历过这难熬7月的郑州人民忍不住造了新词“涝疫结合”．新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全省乃至全国人民的共同努力下郑州疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能.2021年“十一”黄金周，郑州市某旅行社报名去焦作云台山、洛阳老君山两地旅游的游客共有800人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织游玩，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：名）作了如下统计：
已知在参加云台山、老君山两地旅游的800人中，参加第二批云台山游的频率是0.165．
(1)现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？
(2)已知，，求第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率．
答案：(1)13人
(2)
【解析】
分析：
（1）利用分层抽样的定义直接求解即可；
（2）分别求出“第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数和到老君山旅游的人数”和
“到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多”的事件数，最后用古典概型的公式求解即可.
(1)
∵第二批参加云台山游的频率是0.165，所以．解得a＝132，
∴第三批参加旅游的总人数为b＋c＝800－160－120－132－128＝260，
现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40名游客，
则应在第三批参加旅游的游客中抽取人；
(2)
由（1）知，b＋c＝260．∵，，∴，，
若将“第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数和到老君山旅游的人数”记为，
则满足该事件的基本事件有，，，，，，，，，，，，，共13个．
设“到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多”为事件A，则事件A满足的基本事件有，，，，，，，，，，共10个．
由古典概型的公式可知，．
则第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率为．
18．(2023·湖南·高一课时练习）将红、白两个球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个盒中（一个盒中只能容纳一个球）.用，，分别表示事件“红球在Ⅰ盒中”“红球在Ⅱ盒中”“红球在Ⅲ盒中”；用，，分别表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用语言叙述下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
答案：(1)“红球或白球在Ⅰ盒中”；
(2)“红球和白球都在Ⅱ盒中”；
(3)“红球在Ⅲ盒中且白球不在Ⅲ盒中”；
(4)“白球不在Ⅱ盒中”；
(5)“红球在Ⅰ盒中且白球不在Ⅱ盒中”
【解析】
分析：
根据题设基本事件的描述，结合事件运算的含义写出各事件的实际含义.
(1)
由、分别表示“红球在Ⅰ盒中”、 “白球在Ⅰ盒中”，则表示“红球或白球在Ⅰ盒中”.
(2)
由、分别表示“红球在Ⅱ盒中”、 “白球在Ⅱ盒中”，则表示“红球和白球都在Ⅱ盒中”.
(3)
由、分别表示“红球在Ⅲ盒中”、 “白球在Ⅲ盒中”，则表示“红球在Ⅲ盒中且白球不在Ⅲ盒中”.
(4)
由表示“白球在Ⅱ盒中”，则表示“白球不在Ⅱ盒中”.
(5)
由、分别表示“红球在Ⅰ盒中”、 “白球在Ⅱ盒中”，则表示“红球在Ⅰ盒中且白球不在Ⅱ盒中”.
19．（2023·湖南·常德市第二中学高二期末）对某班名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为，，，，，如图所示.
(1)求实数的值及这名同学每天参加课外活动的时间的众数；
(2)从每天参加活动不少于分钟的人(含男生甲)中任选人，求其中的男生甲被选中的概率.
答案：(1)，35
(2)
【解析】
分析：
(1)根据频率直方图中所有小矩形面积之和等于求出m的值，结合众数的概念即可得出结果；
(2)设每天参加活动不少于分钟的人分别为、、、、甲，利用列举法分别求出所有的可能与男生甲被选中的可能，结合古典概型的概率公式计算即可.
(1)
因为所有小矩形面积之和等于
所以，
解得，
这名同学每天参加课外活动的时间众数为：35
(2)
设每天参加活动不少于分钟的人分别为、、、、甲，
从中任选人，可能的情况有：
，，甲，，甲，甲，，甲，甲，甲，共种，
设“其中的男生甲被选中”为A，
事件A包括的情况有：甲，甲，甲，甲，甲，甲，共种，
则.
20．(2023·甘肃·一模（文））2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.
答案：(1)，；
(2).
【解析】
分析：
（1）由频率分布表将的企业数除以总企业数得到比例，再结合表及平均数的求法求150个企业同期产值增长率的平均数.
（2）应用列举法：写出选出2个企业所有组合及2个企业恰有一家企业同期产值负增长的组合，根据古典概型的概率求法求所求概率.
(1)
估计这些企业中产值负增长的企业比例为.
这150个企业同期产值增长率的平均数为.
(2)
将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a，b，c，d，e，
则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，
事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）共6种，
所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：.
21．(2023·山西·一模（文））从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：
10.5 9.9 9.4 10.7 10.0 9.6 10.8 10.1 9.7 9.3
记样本均值为，样本标准差为s．
(1)求，s；
(2)将质量在区间内的零件定为一等品．
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P．
答案：(1)，s=
(2)①；②
【解析】
分析：
（1）由平均数和方差公式代入即可求出答案；
（2）①首先求出质量在区间内的零件定为一等品，再求出一等品的件数，则这台机器生产的零件的一等品率即可求出.②从样本中的一等品中随机抽取2件，有种情况，再求出两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况有7种，即可求出答案.
(1)
，
=，
所以s=.
(2)
①，质量在区间内的零件定为一等品，
样本中一等品有： 9.9， 10.0，9.6，10.1 ，9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为.
②从5件一等品中，抽取2件，有种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：，，，，，，共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P=.
22．(2023·江西·模拟预测（文））某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；
(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.
答案：(1)
(2)乙方案
【解析】
分析：
（1）求出利润关于当天需求量的解析式，进而求出30天的利润情况，用古典概型求解概率；（2）分别求出甲乙方案的日平均利润，得到答案.
(1)
由题意可知，当天需求量时，当天的利润，
当天需求量时，当天的利润.
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：，.
由题意可得：
则当天的利润不少于60元的概率；
(2)
由（1）可得甲的方案的30天的日利润的平均数为（元），
同理可得乙的利润关于当天需求量n的函数解析式为.
由题意可得：
可得乙的方案的30天的日利润的平均数.
所以乙的方案收益更好.
定义
表示法
图示
事件的运算
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A (或A⊆B )
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B (或A+B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B (或AB)
互斥关系
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立关系
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝A或A＝B
若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，A∪B＝Ω

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
日期
项目
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
第一批
第二批
第三批
云台山
160
a
b
老君山
120
128
c
增长率分组
企业数
15
30
50
38
17
日需求量n
28
29
30
31
32
33
频数
3
4
6
6
7
4
日需求量n
28
29
30
31
32
33
日利润
54
57
60
60
60
60
频数
3
4
6
6
7
4
日需求量n
28
29
30
31
32
33
日利润
53
56
59
62
62
62
频数
3
4
6
6
7
4