人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题01二次根式重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题01二次根式重难点题型专训(原卷版+解析)，共66页。

题型一 二次根式有意义的条件
题型二 求二次根式的值
题型三 求二次根式中的参数
题型四 复合二次根式的化简
题型五 已知最简二次根式求参数
题型六 同类二次根式的运用
题型七 分母有理化
题型八 二次根式的综合应用
【经典例题一 二次根式有意义的条件】
知识点.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【例1】（2022·全国·八年级专题练习）若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如果，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知、为实数，，则的值等于______．
【变式3】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足，，求9x＋8y的值．
【经典例题二 求二次根式的值】
【解题技巧】掌握二次根式的加减乘除运算法则，是求二次根式的值的关键；
【例2】（2020·浙江杭州·九年级期末）已知，那么的值是（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【变式3】（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝．
【经典例题三 求二次根式中的参数】
【例3】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）若实数a，b，c满足|a-|+=+．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【经典例题四 复合二次根式的化简】
【解题技巧】把二次根式中套叠着二次根式的情形叫做复合二次根式。
公式法
配方法
方程组求解法
解出x、y即可；
【例4】（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2020秋·四川·八年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）完成下列各题，
（1）若，那么的值是_______．
（2）化简：_______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
【经典例题五 已知最简二次根式求参数】
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
【例5】（2022秋·四川遂宁·九年级校联考期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2021秋·安徽宿州·八年级统考期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
【变式3】（2020春·山东济南·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
【经典例题六 同类二次根式的运用】
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例6】（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【变式2】（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【变式3】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
【经典例题七 分母有理化】
【解题技巧】分母有理化，又称"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
【例7】（2022春·山东德州·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）．
A．﹣2B．2C．2D．-2
【变式训练】
【变式1】（2022·八年级单元测试）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【变式2】（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
===
则_____．
【变式3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）材料阅读：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是.
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
例如：，.
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）
①；②；
(3)化简：
【经典例题八 二次根式的综合运用】
【例8】（2022春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第n个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前n个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x= =3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．－1B．+1C．D．－1
【变式2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图，点O为等边内一点， ，，连接并延长交于点D．若，过点B作交延长线于点F，连接，则_____．
【变式3】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【培优检测】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>bB．a2．（2022秋·八年级课时练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．0
3．（2022秋·八年级单元测试）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
4．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022·全国·八年级专题练习）与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022秋·八年级课时练习）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·八年级专题练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
10．（2022春·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
11．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：_____________.
12．（2022秋·山西临汾·九年级统考期中）已知，则的值为 _____．
13．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）已知，则的值为___________．
14．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
15．（2022秋·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
16．（2022秋·八年级单元测试）若，则的值为______．
17．（2021春·安徽六安·九年级统考期中）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．
；
；
……
由此，我们可以解决下面这个问题：
，求出S的整数部分．
解：
……
∴S的整数部分是________．
18．（2022·全国·八年级假期作业）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．
19．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
20．（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
21．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）将n个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中，，…，取0或，称A是一个n元完美数组（且n为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于，
新运算2：对于任意两个n元完美数组和，
．例如：对于3元完美数组
和，有．
(1)①在，，中是2元完美数组的有______；
②设，，则______；
(2)已知完美数组，求出所有4元完美数组N，使得；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足，则m的最大可能值是______．
22．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
23．（2022秋·甘肃天水·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
24．（2021秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读下列三份材料：
材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式；
类似的，假分式也可以化为带分式．如：；
材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1．
∴的最小值是1．
材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
请你根据上述材料，解答下列各题：
(1)已知，填空：
①把假分式化为带分式的形式是________；
②式子的最小值为________；
③式子的最小值为________；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．
专题01 二次根式重难点题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式有意义的条件
题型二 求二次根式的值
题型三 求二次根式中的参数
题型四 复合二次根式的化简
题型五 已知最简二次根式求参数
题型六 同类二次根式的运用
题型七 分母有理化
题型八 二次根式的综合应用
【经典例题一 二次根式有意义的条件】
知识点.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【例1】（2022·全国·八年级专题练习）若时，无意义，当时，是二次根式，则a的值可能是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可．
【详解】∵当时，无意义，
∴，解得，
∵当时，是二次根式，
∴，解得，
∴，
∴a的值可能是8，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）如果，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的非负性与有意义的条件，即可得出，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式非负性与有意义的条件、解不等式组，根据二次根式的非负性与有意义的条件，列出不等式组是解本题的关键．二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；二次根式非负性：．
【变式2】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知、为实数，，则的值等于______．
【答案】16
【分析】根据被开方数大于等于0，得到，求出的值，进而求出的值，再求，即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握被开方数大于等于0，是解题的关键．
【变式3】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足，，求9x＋8y的值．
【答案】6
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得， 且，
∴且 ，
∴，
解得x＝±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
y＝3，
∴9x+8y＝9×（﹣2）+8×3＝﹣18+24＝6．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式，理解分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【经典例题二 求二次根式的值】
【解题技巧】掌握二次根式的加减乘除运算法则，是求二次根式的值的关键；
【例2】（2020·浙江杭州·九年级期末）已知，那么的值是（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【答案】C
【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解．
【详解】∵
=
=
=1，
∴=．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可．
【详解】解：
=2+6+4
=8+4，
即型无理数，
故选：B．
【点睛】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，能正确根据公式和性质展开是解题的关键．
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【答案】6
【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】解：，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
【变式3】（2022·河南·模拟预测）求代数式÷的值，其中x＝．
【答案】-2+
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把x的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：原式=（ ）÷
=·
=·
=
=
当x＝时，原式==-2+．
【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【经典例题三 求二次根式中的参数】
【例3】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【变式2】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____．
【答案】6
【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】解：，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）若实数a，b，c满足|a-|+=+．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）a=，b=2， c=3；（2）.
【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；
（2）利用等腰三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，
解得：c=3，
∴|a-|+=0，
则a=，b=2；
（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：+=2＜3，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为：+3+3=+6，
综上，这个等腰三角形的周长为：+6．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c的值是解题关键．
【经典例题四 复合二次根式的化简】
【解题技巧】把二次根式中套叠着二次根式的情形叫做复合二次根式。
公式法
配方法
方程组求解法
解出x、y即可；
【例4】（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
【变式2】（2020秋·四川·八年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）完成下列各题，
（1）若，那么的值是_______．
（2）化简：_______．
【答案】
【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可；
（2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：（1）原式，
，
，
∵，
∴，
原式，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键．
【变式3】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简；
（3）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．
【详解】（1）解：，
∵，且均为整数，
，
故答案为：
（2）解：，
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）解：
＝
＝
＝，
故答案为：
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
【经典例题五 已知最简二次根式求参数】
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
【例5】（2022秋·四川遂宁·九年级校联考期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
【变式训练】
【变式1】（2022春·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．
【详解】根据题意可知，
解得：，
∴．
故选D．
【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
【变式2】（2021秋·安徽宿州·八年级统考期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
【答案】2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：
∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
【变式3】（2020春·山东济南·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
【答案】x=4，y=3．
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4=19-2a，
解得，a=3，
∴，即
∵≥0，≥0，
∴12-3x=0，y-3=0，
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．
【经典例题六 同类二次根式的运用】
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例6】（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【变式2】（2022春·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式和能合并，则＝__．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
【答案】1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解：与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
【经典例题七 分母有理化】
【解题技巧】分母有理化，又称"有理化分母"，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
【例7】（2022春·山东德州·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）．
A．﹣2B．2C．2D．-2
【答案】B
【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·八年级单元测试）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数，满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：．
以上结论正确的有
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【答案】B
【分析】读懂题意，利用分母有理化计算并判断即可．
【详解】解：
，
甲正确；
，
，
，
解得，
，乙错误；
，
，
，
丙正确；
已知，
，
，
，
则，
丁错误；
，
戊正确，
正确的有甲丙戊，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握分母有理化．
【变式2】（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
===
则_____．
【答案】
【分析】先读懂阅读材料，再模仿材料中的方法解答即可．
【详解】解：∵，……
∴
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的分母有理化，解题的关键是类比题目中的方法先化简各式，再整体运算．
【变式3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）材料阅读：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是.
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
例如：，.
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）
①；②；
(3)化简：
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；
②分子分母同时乘，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）由题意可得，
的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）①；
②；
（3）
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
【经典例题八 二次根式的综合运用】
【例8】（2022春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第n个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前n个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方运算及算术平方根的计算，找出相应规律依次求解判断即可．
【详解】解：①，故①正确；
②，故②正确；
③
，故③错误；
④
，
解得n=4，故④正确；
综上可得①②④正确，
故选：D．
【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算及算术平方根的计算，理解题意，找出相应规律是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x(x+5)=24的正数解为x= =3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx－n=0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）
A．－1B．+1C．D．－1
【答案】A
【分析】把方程变形得到x(x+m)=n，设图中长方形长为x+m，宽为x，则图中小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2，然后进行计算即可．
【详解】解：∵x2+mx－n=0，
∴x(x+m)=n，
∴长方形的长为x+m，宽为x，
∴小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m=2，
∴x=－1，
∴方程的正数解为－1，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决此题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图，点O为等边内一点， ，，连接并延长交于点D．若，过点B作交延长线于点F，连接，则_____．
【答案】
【分析】在上截取，设交于点Q，可证得是等边三角形，再证明，可得，，，进而得到，设，可得，从而得到，作于H，则，可得，，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：在上截取，设交于点Q，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于H，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）依据三条边的长度分别是，，，即可得到当时，的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
（3）依据（2）可得，且，由于x为整数，且要使取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当是，，，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
（2）解：由题知：，
解得：，
∴，，
∴
．
（3）解：∵，且，
又∵x为整数，且有最大值，
∴，
∴当时，三边长度分别为1，4，，但，不满足三角形三边关系
∴x≠4
当时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时的最大值为7，
不妨设，，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
【培优检测】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>bB．a【答案】B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=
故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
4．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解∵
=
=
∴
∴
整理得
∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
6．（2022·全国·八年级专题练习）与最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．
【详解】解：原式=，
∵49<54<64，
∴，
∵，
∴，
∴最接近7，
∴最接近7-3即4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据公式解答即可．
【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
其面积为
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
8．（2022·全国·八年级专题练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
9．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
10．（2022春·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
11．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：_____________.
【答案】
【分析】先提取，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．
12．（2022秋·山西临汾·九年级统考期中）已知，则的值为 _____．
【答案】##
【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
13．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）已知，则的值为___________．
【答案】
【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．
14．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值_____________．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为________．
【答案】 112 3
【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
15．（2022秋·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】或或
【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
16．（2022秋·八年级单元测试）若，则的值为______．
【答案】2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
17．（2021春·安徽六安·九年级统考期中）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．
；
；
……
由此，我们可以解决下面这个问题：
，求出S的整数部分．
解：
……
∴S的整数部分是________．
【答案】见解析；18
【分析】根据题目给出的不等式，变形确定s的整数界点值，根据夹逼法确定整数值．
【详解】∵
；
；
；
∴18＜S＜19，
∴S整数部分为18，
故答案为：；
；
；18；
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S位于哪两个整数之间是解题的关键．
18．（2022·全国·八年级假期作业）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．
【答案】
【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．
19．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论进行计算即可；
（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
20．（2022秋·四川宜宾·九年级校考阶段练习）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为正整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当，，．均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；，，，填空： ；
(3)若，且，，均为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)a的值是7或13
【分析】（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组，的值，结合（1）算出，的值即可；
（3）由，可得，即得，或，，代入，可得的值为13或7．
【详解】（1），
，
，，
故答案为：，；
（2）当，时，，，
，，，，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）；
（3），
，，
，
，均为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，，
的值为13或7．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．
21．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）将n个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中，，…，取0或，称A是一个n元完美数组（且n为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组．
定义以下两个新运算：
新运算1：对于，
新运算2：对于任意两个n元完美数组和，
．例如：对于3元完美数组
和，有．
(1)①在，，中是2元完美数组的有______；
②设，，则______；
(2)已知完美数组，求出所有4元完美数组N，使得；
(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足，则m的最大可能值是______．
【答案】(1)①；②
(2)或或或或或．
(3)2023
【分析】（1）①根据定义直接判定即可；
②根据定义直接计算即可；
（2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可；
（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．
【详解】（1）解：①∵中有，
∴不是2元完美数组；
∵中只有和0，且有2个数，
∴是2元完美数组；
∵中有3个数，
∴不是2元完美数组；
故答案为：．
②
．
故答案为：．
（2）解：∵，
∴当时，，当时，，
当时，或0，
∵，
∴，
∵，
∴或或或或或．
（3）解：∵，
∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，
∵C、D是不同的两个完美数组，
∴C、D中对应的元都不相等，
∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键．
22．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
【答案】(1)3，
(2)43
(3)或或
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
故答案为：3，；
（2）
，
，
，
；
（3），
，
，
解得，
，
是整数，
或或，
解得或或．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2022秋·甘肃天水·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
（1）
原式
，
（2）
∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）
由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（2021秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）阅读下列三份材料：
材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式；
类似的，假分式也可以化为带分式．如：；
材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1．
∴的最小值是1．
材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
请你根据上述材料，解答下列各题：
(1)已知，填空：
①把假分式化为带分式的形式是________；
②式子的最小值为________；
③式子的最小值为________；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．
【答案】(1)①；②；③24
(2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米；
(3)有最小值，有最小值
【分析】（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可；
②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案；
③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案；
（2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3 进行计算即可得到答案；
（3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；
（1）
①解：；
故答案为；
②解：，
∵，
∴，
∴当x=-4时，原式的最小值为-1；
故答案为-1；
③解：∵，设，
则：，
∴，
∴，当仅当时，即x=3时取等号，
∴当x=3时，原式的最小值为24；
故答案为24；
（2）
设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小，
∵x＞0，y＞0，
∴，
当且仅当x=2y时取得等号，
由，解得，x=8，y=4，
即长为8，宽为4时，所用篱笆最短．
最短篱琶为16米．
（3）
解：
，
∵，
∴，当仅当时取等号，
∴，
∴，
故当时，有最小值；
=
=
=，
∵
∴，当且仅当时，即x=2时取等号，
∴
∴
∴
∴
故当x=2时，有最小值．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．