人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题03第十六章二次根式重难点检测卷(原卷版+解析)

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选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）下列运算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023春·八年级单元测试）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A．B．6C．D．
5．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）将一组数据，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：，，3，，；
，，，，；
；
若的位置记为，的位置记为，则这组数中的位置记为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·八年级单元测试）观察下列二次根式的化简（ ）
；
；
；
则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·八年级单元测试）已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
8．（2022·全国·八年级专题练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4B．5C．6D．7
10．（2019·湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）写出一个使二次根式有意义的整数x是__________．
12．（浙江省金华市开发区2021-2022学年八年级下学期数学期中试题）已知，则 ___________ ．
13．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若，则_______________．
14．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，点B、C、D在一条直线上，若，的面积是，则线段BD的长为______．
16．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是___________．
17．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__．
18．（2022春·河南安阳·七年级统考阶段练习）观察下列各式：
=1+，=1+，=1+，……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为______．
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)．
20．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知，，求值：
(1)；
(2)．
21．（2023·全国·八年级专题练习）如图，有一张面积为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．
(1)求长方体盒子的容积；
(2)求这个长方体盒子的侧面积．
22．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是_________；的有理化因式是_________．
(2)分别将下列式子进行分母有理化：
①_________________；
②_________________．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
24．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）先观察下列的计算，再完成习题；
；
；
；
(1)请你直接写出结果：______，______．
(2)根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
25．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
26．（2022秋·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
第十六章 二次根式重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法和除法，再计算二次根式的减法.
【详解】

故选：A
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键.
2．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）下列运算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则依次进行判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和乘除运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】利用已知，代入求值即可．
【详解】解：，
当，时，
，，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减．
4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】判断出的大小关系，根据程序流程图，代入相应的代数式，进行求解即可．
【详解】解：∵，即：，
由流程图可得：；
故选A．
【点睛】本题考查程序流程图．按照程序流程图的顺序，进行计算求值，是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）将一组数据，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：，，3，，；
，，，，；
；
若的位置记为，的位置记为，则这组数中的位置记为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得是第29个数，进而判断是第6行的第4个数．
【详解】解：一组数据的排列变形为
，，，，；
，，，，；
；
由题意可知，每行5个数，
∵87=3×29，
∴是第29个数，
∵…4，
∴是第6行的第4个数，
∴的位置记为，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的数的特点，找到数的排列规律是解题的关键．
6．（2022春·八年级单元测试）观察下列二次根式的化简（ ）
；
；
；
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．
【详解】解：∵，，，…∴，
∴，
，
，
…
∴
，
∴则．
故选B．
【点睛】本题考查二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．
7．（2022秋·八年级单元测试）已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】A
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，
，
，
，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
8．（2022·全国·八年级专题练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
9．（2022秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用分母有理化进行计算即可.
【详解】由原式得：
所以，因为，,
所以.
故选C
【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
10．（2019·湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）写出一个使二次根式有意义的整数x是__________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x的取值范围，再由x取整数即可得结果．
【详解】二次根式有意义，则，
即，
由x取整数，则不小于5的数均满足题意，
取即满足题意；
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了使二次根式有意义的条件：被开方数非负，掌握此知识点是关键．
12．（浙江省金华市开发区2021-2022学年八年级下学期数学期中试题）已知，则 ___________ ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若，则_______________．
【答案】4
【分析】先通分，再相加，再进一步代入求得数值即可．
【详解】解：
，
将代入得：
.
故答案为：4
【点睛】此题考查二次根式的混合运算、分式求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
14．（2022秋·浙江衢州·七年级校联考期中）如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．
【答案】
【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，，
在数列中是第个，
，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是，
由题意可得：每三个数一循环，，
在数列中是第个，
，表示的数正好是第轮的第一个，
即表示的数是1，
故（与表示的两个数的积是：．
故答案为．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，点B、C、D在一条直线上，若，的面积是，则线段BD的长为______．
【答案】##
【分析】作于点M，作于点N，证明可得，
再根据的面积是求出，从而可求线段BD的长．
【详解】解：作于点M，作于点N，则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
16．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是___________．
【答案】##
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．
17．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__．
【答案】33或127##127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
【详解】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
18．（2022春·河南安阳·七年级统考阶段练习）观察下列各式：
=1+，=1+，=1+，……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为______．
【答案】
【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1++1++1++…+1+，再将等式写成+（+++…+）进行计算得到答案.
【详解】∵=1+，=1+，=1+，……，
∴ +++…+
=1++1++1++…+1+
=+（+++…+）
=2020+（1-+-+-++）
=2020+1-
=，
故答案为：.
【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.
三、解答题（10小题，共66分）
19．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根式混合运算法则，准确计算．
20．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知，，求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．（2023·全国·八年级专题练习）如图，有一张面积为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．
(1)求长方体盒子的容积；
(2)求这个长方体盒子的侧面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长方体的体积公式列式计算即可；
（2）根据长方体的侧面积公式列式计算即可．
【详解】（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：，
答：长方体盒子的容积为；
（2）长方体盒子的侧面积为：，
答：这个长方体盒子的侧面积为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．
22．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：长方形的周长为；
（2）解：长方形的面积：，
大理石的面积：，
壁布的面积：，
整个电视墙的总费用：（元）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
23．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是_________；的有理化因式是_________．
(2)分别将下列式子进行分母有理化：
①_________________；
②_________________．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
【答案】(1)，
(2)①，②
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）解∶①，
②；
故答案为：，；
（3）解∶
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
24．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）先观察下列的计算，再完成习题；
；
；
；
(1)请你直接写出结果：______，______．
(2)根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
【答案】(1)；
(2)2022
【分析】（1）根据已知，将式子的分子分母都乘以两个数的差，再化简即可；
（2）应用规律将加法算式化简，合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，正确理解题意得到计算的规律并应用规律解决问题是解题的关键．
25．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
（1）
∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）
∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）
令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
26．（2022秋·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．