人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题04勾股定理及其逆定理重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题04勾股定理及其逆定理重难点题型专训(原卷版+解析)，共88页。

题型一 以弦图为背景的勾股定理计算题
题型二 用勾股定理解三角形
题型三 勾股定理与网格问题
题型四 勾股定理与折叠问题
题型五 用勾股定理构造图形解决问题
题型六 勾股定理逆定理的应用
题型七 勾股定理逆定理的拓展
题型八 勾股定理的综合应用问题
【经典例题一 以弦图为背景的勾股定理计算题】
知识点一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．
【例1】（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6B．6.5C．7D．8
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
【变式2】（2022秋·重庆万州·九年级校考期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算径》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，阴影部分的面积为60，则的长为___________．
【变式3】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【经典例题二 用勾股定理解三角形】
【例2】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（ ）
A．B．C．6D．12
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，点E在的边上，点A在内部，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为____________．
【变式3】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【经典例题三 勾股定理与网格问题】
【例3】（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·天津东丽·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于_____；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【变式3】（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．
(1)____________；
(2)请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
①在图1中，以为边画Rt（与不重合），使它与全等；
②在图2中，以为边画Rt，使它的一个锐角等于，且与不全等．
【经典例题四 勾股定理与折叠问题】
【例4】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，已知中，，，，点是边上的一个动点，点与是关于直线的对称点，当是直角三角形时，的长______．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．
(1)若，则的度数为 ；
(2)当，的面积为时，的周长为 （用含的代数式表示）；
(3)若，，求的长．
【经典例题五 用勾股定理构造图形解决问题】
【例5】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·北京·八年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A．B．C．D．3
【变式2】（2022秋·全国·八年级阶段练习）已知，在中，，高，则边长为____________．
【变式3】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离．
应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和．
探究二：求代数式的最小值．
解：
如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______．
即的最小值为______．
拓展：代数式的最小值为______．
【经典例题六 勾股定理逆定理的应用】
知识点：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25；
【例6】（2022春·广东茂名·八年级校考期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式训练】
【变式1】（2021春·青海西宁·八年级统考期末）图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．
【变式3】（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．
(1)求的度数；
(2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少？
【经典例题七 勾股定理逆定理的拓展】
【例7】（2021秋·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
【变式训练】
【变式1】（2020春·黑龙江鸡西·八年级阶段练习）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能判定
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．
【变式3】（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；

（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【经典例题八 勾股定理的综合应用问题】
【例8】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在中，，以的三边为边向外做正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，在中，，，D为边的中点，交的延长线于点E，交于点F，平分交于点G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2021春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，在四边形中，，，，则的长为___________．
【变式3】（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；
(2)代数应用：求代数式（）的最小值；
(3)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是______．
【培优检测】
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，，平分，于，，，则的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．（2023春·全国·八年级开学考试）如图，在中，，．平分交于点D，下列说法：①；②；③点D在的中垂线上；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2022秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则以下结论中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（ ）
A．7B．C．8D．
6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
7．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在中，的平分线交于点E，交于G，，连接交于点H、下列结论：①若将沿折叠，则点E一定落在上；②图中有8对全等三角形；③；④若，则，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021秋·重庆大渡口·八年级校考期中）如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连接交于点O，，则＝_____；若＝5，则＝_____．
10．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，以点为顶点作等腰直角，分别交边，于点，．若，，则的面积是______．
11．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为______．
12．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为____________．
13．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
14．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，中，，于D，平分，交于G，，，则___________．
15．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征，如图，把一张长方形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
(1)判断和 是否全等？并说明理由
(2)若，求的长．
16．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图所示，已知，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)在（1）（2）的条件下，若，，求的长．（用到的角度请尽量使用数字角表示）
17．（2021春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
(1)求点的坐标；
(2)在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说出理由；
(3)当点在轴负半轴时，连接，当，求点的坐标．
18．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接，，点、分别是线段、上的两个动点，完成以下问题．
(1)发现问题：
当，时，的形状是______．
(2)类比探究：
当，时，（1）结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
(3)拓展应用：
若，，在、运动过程中，请直接写出的面积的最小值．
19．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：．
(2)延长至，为上一点，连接、，使，若时，求的长．
20．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）（1）如图1，在中，过点A作直线的垂线，垂足为D．
①若，，，求线段的长；
②若，，，求线段的长；
（2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长．
专题04 勾股定理及其逆定理重难点题型专训
【题型目录】
题型一 以弦图为背景的勾股定理计算题
题型二 用勾股定理解三角形
题型三 勾股定理与网格问题
题型四 勾股定理与折叠问题
题型五 用勾股定理构造图形解决问题
题型六 勾股定理逆定理的应用
题型七 勾股定理逆定理的拓展
题型八 勾股定理的综合应用问题
【经典例题一 以弦图为背景的勾股定理计算题】
知识点一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．
【例1】（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6B．6.5C．7D．8
【答案】A
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，观察发现，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
即，
同理，，
则，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．解决本题的关键是得到．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
【答案】B
【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可；
【详解】∵正方形的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
则的值是；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
【变式2】（2022秋·重庆万州·九年级校考期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算径》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，阴影部分的面积为60，则的长为___________．
【答案】10
【分析】由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知E、F、G分别为、 、 的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的 ，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为20，继而得，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：由四边形 与四边形均为正方形，点H是的中点，可知E、F、G分别为、 、 的中点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：10
【点睛】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键．
【变式3】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）用分组分解法将因式分解即可；
（2）先将因式分解，再求值即可；
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
【经典例题二 用勾股定理解三角形】
【例2】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】B
【分析】先证明，得到等边，设，则，解得x，在中，计算即可．
【详解】∵等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，
解得，
∴，
∴的周长为，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，点E在的边上，点A在内部，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】利用“”证明，即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断②结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；反复利用勾股定理即可判断④结论．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，①结论正确；
，
，
，，
，
，
，②结论正确；
，
，
，
，
，
，③结论正确；
，
，，，
，④结论正确，
结论正确的有①②③④，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式2】（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为____________．
【答案】或
【分析】设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出的坐标．
【详解】解：如图1，
设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，，，
则有，
又，，
，
故求得点的坐标为：．
再设点坐标为，
则，
，即，
，
，
如图2，
设，
由折叠知，，，，
，
根据勾股定理得，，
，
故答案为：或．
【点睛】本题综合考查了翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
【变式3】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分为，为，为，求解．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．
【详解】（1）当为时，
则，
故不成立；
当为时，
∵，
∴，
故不成立；
当为，
∵，
∴，
∴，
故不成立；
故，
解得，
∴．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
【经典例题三 勾股定理与网格问题】
【例3】（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
【详解】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
【变式训练】
【变式1】（2022春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可．
【详解】解：如图，为边上的高，
∴，
∵，，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式2】（2021·天津东丽·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于_____；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【答案】 见解析
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
【详解】解：（1）
故答案为：
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．

理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积=1：2：3，
△PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．
【点睛】本题考查作图-应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于中考常考题型．
【变式3】（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上．
(1)____________；
(2)请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
①在图1中，以为边画Rt（与不重合），使它与全等；
②在图2中，以为边画Rt，使它的一个锐角等于，且与不全等．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）①如图1，根据三边对应相等的两个三角形全等作图即可；
②由图可知，为直角三角形，则求作必为直角三角形，只需证明所作的三角形与已知三角形对应边长不相等且有一组对边平行即可．
【详解】（1）
故答案为：
（2）如图1，即为所求，
如图2，即为所求，理由如下：
由第一个图可知，，
∴，
∵，，，
∴为直角三角形，且，
又∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴与不全等，
∴即为所求．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【经典例题四 勾股定理与折叠问题】
【例4】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】C
【分析】根据折叠，可得，，，根据勾股定理可得，，根据，求解即可．
【详解】解：根据折叠，可得，，，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，方法1：作于G，设，则，在中，，，问题随之得解；方法2：如图2，作于，设，则，，，在中，，，问题随之得解．
【详解】∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
方法1：如图1，作于G，
∵在中，，，
∴，
∵，
则，
设，则，
在中，，，
即．
方法2：如图2，作于，
设，则，，，
在中，，，
即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，掌握折叠的性质并灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，已知中，，，，点是边上的一个动点，点与是关于直线的对称点，当是直角三角形时，的长______．
【答案】1或
【分析】分两种情形：，，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图中，当时，设，

，，，
，
由翻折的性质可知，，
在中，，
，
，
．
如图中，当时，设．

过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，
，，
在中，，
，
解得或舍弃，
，
综上所述，的值为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．
(1)若，则的度数为 ；
(2)当，的面积为时，的周长为 （用含的代数式表示）；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到；
（2）根据的面积可得，进而得到，再在Rt中，，再把左边配成完全平方可得，进而得到的周长．
（3）根据折叠可得，设，则，再在RtB中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，进而得到的长；
【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，
又，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵的面积为，
∴，
∴，
∵在Rt中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的周长为，
故答案为：
（3）解：把沿直线折叠，使与重合，
∴，
设，则，
在Rt中，，
即，
解得．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换、勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
【经典例题五 用勾股定理构造图形解决问题】
【例5】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作，则小蓓的行进路线为，设，则，，在中，利用勾股定理求出，再根据得出关于x的方程，解方程求出x即可得到相遇点的坐标．
【详解】解：如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，，
设，则，，
在中，，
∴，
∵汽车行驶速度与出租车相同，
∴，
∴，即，
解得：，
∴D点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，能够根据题意画出图形，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·北京·八年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】OA1=1，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算OA8的长．
【详解】解：∵OA1=1，
∴由勾股走理可得，
，
……
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾脸定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键．
【变式2】（2022秋·全国·八年级阶段练习）已知，在中，，高，则边长为____________．
【答案】7或5
【分析】根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高AD在内部和外部的情况，再用勾股定理求解．
【详解】
如图：当AD在△ABC内部时，
∵，，
∴，，
∴BC=6+1=7；
如图：当AD在△ABC外部时，
∵，，
∴，，
∴BC=6-1=5；
故答案为：7或5
【点睛】本题主要考查了用勾股定理求三角形的边，熟练地掌握勾股定理的内容，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
【变式3】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义
例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______．
结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离．
应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和．
探究二：求代数式的最小值．
解：
如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______．
即的最小值为______．
拓展：代数式的最小值为______．
【答案】 ； ， ， ， ； ， ， ，
【分析】探究一：利用勾股定理求解即可；
应用一：利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；
探究二：利用数形结合的思想，再根据轴对称的性质解决最短问题；
拓展：模仿例题解决问题即可．
【详解】解：探究一：．
故答案为：；
应用一：的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和．
故答案为：，，，；
探究二：建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点的距离．可以看成点与点的距离．
所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以．
即的最小值为；
故答案为：，，，，，；
拓展：，
欲求的最小值，相当于在轴上取一点，使得点到，的距离和最小．

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的值最小，最小值的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【经典例题六 勾股定理逆定理的应用】
知识点：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25；
【例6】（2022春·广东茂名·八年级校考期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．
【变式训练】
【变式1】（2021春·青海西宁·八年级统考期末）图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【详解】解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=1，
根据勾股定理得：，
在△ACD中，CD=2，，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则四边形ABCD的面积．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．
【答案】1800
【分析】连接，则在直角中，已知根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】解：连接，
在中，，
（m），
在中，根据勾股定理得，
∴
∴的面积为，
的面积为，
∴四边形面积，
∴种植花草共需花费元．
故答案为：1800．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定是直角三角形并计算其面积是解题的关键．
【变式3】（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．
(1)求的度数；
(2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：连接，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
；
（2）过点作于，作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质，得：，，
由（1）知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
被监控到的道路长度为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
【经典例题七 勾股定理逆定理的拓展】
【例7】（2021秋·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
【答案】D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
【变式训练】
【变式1】（2020春·黑龙江鸡西·八年级阶段练习）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能判定
【答案】A
【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状.
【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时，
由勾股定理可知42+52=41>36=62
可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形.
故应选A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势.
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
【变式3】（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；

（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
【经典例题八 勾股定理的综合应用问题】
【例8】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在中，，以的三边为边向外做正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，在中，，，D为边的中点，交的延长线于点E，交于点F，平分交于点G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】先判断出，进而得出①②的结论；先判断出，进而判断出（AAS），得出，即可得出③的结论；先求出，进而求出，最后用勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
在与中，，
∴（ASA），故②正确；
延长交于，
∵平分，，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴（AAS），
∴，
即，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线求出是解本题的关键．
【变式2】（2021春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，在四边形中，，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】作交的延长线于点，连接，证明，再根据勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，作交的延长线于点，连接．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴在中，可得：
．
所以，的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，正确作辅助线是解题的关键．
【变式3】（2020秋·江苏南京·八年级校考期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；
(2)代数应用：求代数式（）的最小值；
(3)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是______．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，进行求解即可；
（2）构造图形如图所示：，，AP=x，于A，于B，则，将代数式的最小值，转化为将军饮马问题，进行求解即可；
（3）作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，
作交的延长线于F，交于点D，
∵，，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值 ，
故答案为：；
（2）构造图形如图所示：
，，AP=x，于A，于B，
则；
∴代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于E．
则，，
∴；
∴所求代数式的最小值是5；
（3）如图：作点关于直线的对称点，作于，交于，连接，由将军饮马模型和垂线段最短，可知：的最小值即为：；
则，，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
即：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理．理解并掌握将军饮马模型，是解题的关键．
【培优检测】
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，，平分，于，，，则的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】先根据角平分线的性质得到，然后计算，根据勾股定理即可得答案．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2023春·全国·八年级开学考试）如图，在中，，．平分交于点D，下列说法：①；②；③点D在的中垂线上；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据，，平分，可得，从而得到，故①正确；然后设，可得，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，故②错误；再由，可得，从而得到点D在的中垂线上，故③正确；可得到，故④正确，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故①正确；
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，故②错误；
∵，
∴，
∴点D在的中垂线上，故③正确；
∴，故④正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
平分，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则以下结论中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质，则，；根据旋转的性质，则，，，，再根据勾股定理，三角形的面积，即可．
【详解】∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴A正确；
∴等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴B正确；
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴C正确；
∵是直角三角形，
∴，
∴D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形和旋转的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（ ）
A．7B．C．8D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键．
6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在等腰中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】求两条线段和最小问题，由得出点的运动路径后，再由牧人饮马问题的方法做出对称点化折为直即可得到的最小值．
【详解】
解：连接、，
是等腰直角三角形，
在中，为的中点，
同理
点在的垂直平分线上运动，
作关于垂直平分线的对称点，
的最小值为
，
为中点，
，
在中
故选：C
【点睛】本题考查了以等腰直角三角形为背景的最短路径问题，找出的运动路径是解决问题的关键．
7．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在中，的平分线交于点E，交于G，，连接交于点H、下列结论：①若将沿折叠，则点E一定落在上；②图中有8对全等三角形；③；④若，则，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由，得，由，得，先证明，得，则垂直平分，再证明，得，若将沿折叠，则点E一定落在上，可判断①正确；
可证明，得，则垂直平分，可知与互相垂直平分，则，可列举出原图中的9对全等三角形，可判断②错误；
连接，则，得，可推导出，再证明，则，可判断③正确；
作于点L，则，由，得，则，再证明，则，于是求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A、点E都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴与互相垂直平分，
∴，
在原图中，这四个三角形全等，就可组成6对全等三角形，
还有，再加上前面证明的，
上述的全等三角形已达到9对，超过8对，故②错误；
连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于点L，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键．
8．（2021秋·重庆大渡口·八年级校考期中）如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ．
【详解】解∶ 由折叠可知， ，
等腰Rt 中， ，
，
是 的中点，
，
在Rt 中， ，
， 设 ， 则 ， 在 中， ，
， ， 在 Rt 中， ，
过点 作 于点 ，
，
，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，

在 Rt 中， ，
，
，
，
故选∶ C．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连接交于点O，，则＝_____；若＝5，则＝_____．
【答案】 7
【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求出，过点A作于D，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点A作于D，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，以点为顶点作等腰直角，分别交边，于点，．若，，则的面积是______．
【答案】25
【分析】连接，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出，求出，根据证，可推出的长，根据勾股定理求出的长，再根据等腰直角三角形的性质求出和 ，根据三角形的面积公式求出即可.
【详解】连接
∵等腰直角三角形,
∵D为的中点，
平分
,
,
在和中
,
根据勾股定理得：
得面积是：
故答案为：25．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，构造三角形，证出是解题的关键．
11．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】或
【分析】连接EF，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程解决问题即可，当时，方法类似．
【详解】连接，当时，延长交于，延长交于N．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同法可证，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，设，则，，
∴，
∴，
∴．
当时，同法可得，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为____________．
【答案】
【分析】由折叠可知可得，知，根据，，用面积法可得，由勾股定理得，即得，故．
【详解】解：由折叠可知，，，，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的折叠，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
13．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______
【答案】
【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．
【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：，
则为的中垂线，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．
14．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，中，，于D，平分，交于G，，，则___________．
【答案】####4.2
【分析】连接，先证明，得，再计算和的长，根据面积法可得的长，由勾股定理计算的长，最后由线段的差可得结论．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等得是解题的关键．
15．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征，如图，把一张长方形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
(1)判断和 是否全等？并说明理由
(2)若，求的长．
【答案】(1)．理由见详解
(2)10
【分析】（1）由矩形的性质可以得出，由等式的性质可以得出就可以得出．
（2）设 ，即，则，利用勾股定理即可求解；
【详解】（1）．理由如下：
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴．
（2）由（1）得
∴
设 ，即，则
在中
即
解得，
即．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
16．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图所示，已知，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)在（1）（2）的条件下，若，，求的长．（用到的角度请尽量使用数字角表示）
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）利用平行线的性质，得到，再利用角平分线平分角即可得解；
（2）利用平行线的性质，得到，再利用角平分线平分角求出的度数，利用三角形的内角和定理求出的度数；
（3）利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，．
∴，
∵平分，
∴，
∵，在中，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理以及勾股定理．熟练掌握两直线平行，内错角相等，角平分线平分角，是解题的关键．
17．（2021春·甘肃兰州·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
(1)求点的坐标；
(2)在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说出理由；
(3)当点在轴负半轴时，连接，当，求点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为
(2)的大小始终不变，
(3)的坐标为
【分析】（1）过点作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，从而求出，然后根据所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出和，从而求出点的坐标；
（2）根据等边三角形的性质可得，，，从而证出，然后利用证出，从而得出；
（3）根据题意，画出图形，然后根据平行线的性质可得，，从而求出，然后根据所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出和，再根据（2）中的全等可得，从而求出点的坐标．
【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点．
为等边三角形，且，
，．
．
又，
，．
∴点B的坐标为(，1)．
（2）的大小始终不变．
，均为等边三角形，
，，．
．
在与中，
．
．
（3）如图②，当时，点在轴的负半轴上，点在点的下方，
，
，．
．
又，
，，
由（2）可知，，
．
此时点的坐标为，．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和求点的坐标，掌握等边三角形的性质、所对的直角边是斜边的一半和勾股定理和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
18．（2021春·河南郑州·八年级校考期中）如图，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接，，点、分别是线段、上的两个动点，完成以下问题．
(1)发现问题：
当，时，的形状是______．
(2)类比探究：
当，时，（1）结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
(3)拓展应用：
若，，在、运动过程中，请直接写出的面积的最小值．
【答案】(1)等边三角形
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得到边的关系、角的关系，然后证明，则，再证明，即可得到结论成立；
（2）与（1）同理，由等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，即可得到结论成立；
（3）过点作，，此时的面积最小，然后根据勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中
，
，，
，，
；
在与中
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形．
（2）成立，理由如下，
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中
，
，
，，
，，
，
在与中
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形．
（3）过点作，，此时的面积最小，过点作的垂线，垂足为点，
，
则，
设为，由可得，
在中，，
在中， ，
，可得，
即，
在中，利用勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：．
(2)延长至，为上一点，连接、，使，若时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与是等边三角形，可得，，，又由，即可证得，所以根据即可证得；
（2）首先过点C作于H，由等边三角形的性质，即可求得，则根据等腰三角形“三线合一”与直角三角形中的勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（2）过点C作于H，
∵是等边三角形，是角平分线，
∴，
∵，
∴，而，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
20．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）（1）如图1，在中，过点A作直线的垂线，垂足为D．
①若，，，求线段的长；
②若，，，求线段的长；
（2）如图2，在中，，，过点A作直线的垂线，交线段于点D．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）①或；②；（2）
【分析】（1）①先利用勾股定理求出，，再分两种情况，即可得出结论；②设，则，利用列出方程即可求解；
（2）先利用勾股定理求出，，再利用面积求出，进而求出，再用勾股定理得出，进而建立方程求出，即可得出结论．
【详解】解：（1）①在中，，
在中，，
当为锐角时，如图1-1，；
当为钝角时，如图1-2，，
∴线段的长为或．
②设，则，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图2，连接交于点，则，过点作于，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴在中，．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．