人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平行四边形的性质与判定重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题08平行四边形的性质与判定重难点题型专训(原卷版+解析)，共108页。

题型一 利用平行四边形的判定定理证明
题型二 利用平行四边形的性质求角度
题型三 利用平行四边形的性质求长度
题型四 利用平行四边形的性质求面积
题型五 平行四边形中的线段最值问题
题型六 平行四边形中的翻折问题
题型七 平行四边形中的旋转问题
题型八 平行四边形的存在性问题
题型九 三角形中位线有关的证明
题型十 平行四边形的性质与判定综合题型
【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】
【知识归纳】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【例1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式训练】
【变式1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG⊥AB；②EF=EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【变式3】（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．
(1)若，，试求的度数．
(2)求证：四边形是平行四边形．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，于点，为线段上一点且满足，，连并延长交于点，则的度数为 _____．
【变式3】（2021春·福建福州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，AE，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
(1)若∠BCN＝60°，求证：∠BAE＝30°；
(2)若MA＝MN，求证：∠NMC＝∠MAE；
(3)在（2）的条件下，若MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图， 在四边形 中，，， 点 为 延长线上一点，连接 AC、AE，AE交 于点H，的平分线交 于点 ．若， 点为 的中点， ， 则 的长为（ ）．
A．9B．C．10D．
【变式2】（2020春·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【变式3】（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在平行四边形中，对角线交于点O．且分别平分．
(1)求的度数；
(2)猜测线段之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)设点P为对角线上一点，，若平行四边形的周长为16，平行四边形的面积为，直接写出的长．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为cm2，则四边形的面积为（ ）cm2．
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【经典例题五 平行四边形中的线段最值问题】
【例5】（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【变式2】（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为________．
（2）线段长度的最小值为______．
【变式3】（2021春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（ ）
A．3或6B．3或C．D．6
【变式2】（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【经典例题七 平行四边形中的旋转问题】
【例7】（2021春·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2020·湖北·九年级统考阶段练习）如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△，点B′在AB边上，交AC于E，连接AA′．有下列结论：①△ABC≌△；②四边形是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．① ③C．②③D．① ② ③
【变式2】（2022春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．
【变式3】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点E在直线BC上，点F在直线AB上（点E、F不与三角形的顶点重合），，连接CF和AE，将线段CF绕点C顺时针旋转得到线段CG，连接AG．
(1)如图1，当点E与点F分别在线段BC与线段AB上时．
①求证：；
②求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)如图2，当点E与点F分别在线段CB与线段BA的延长线上时，请判断四边形AECG还是平行四边形吗？并说明理由．
【经典例题八 平行四边形的存在性问题】
【例8】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【变式3】（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题：
(1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形．
(2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案．
【经典例题九 三角形中位线有关的证明】
【例8】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【变式训练】
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______．
【变式3】（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【知识呈现】
两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点．
(1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______；
【拓展巩固】
(2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【探究提升】
(3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【经典例题十 平行四边形的性质与判定综合题型】
【例8】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练】
【变式1】（2021春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．
【变式3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【培优检测】
1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，于点D，，若E，F分别为的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
3．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、、分别是、、的中点，，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．17C．13D．10
6．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
8．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022秋·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，过点A作 且点F在点A的右侧．点D从点A出发沿射线方向以1cm/秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线方向以2cm/秒的速度运动，在线段上取点C，使得，设点D的运动时间为x秒．当x=___________秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，已知中，垂直平分，且，点为上一点，连接，若，，则的长为____________．
11．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
12．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
13．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．
14．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
15．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．
16．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
17．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在平行四边形中，点E在边上，点F在边上，连接、、、，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与全等的所有三角形．
19．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
20．（2022春·河北石家庄·八年级校考期末）问题：如图1，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF＝ ．
（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变；
①如图2，当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，则EF＝ ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值．
专题08 平行四边形的性质与判定重难点题型专训
【题型目录】
题型一 利用平行四边形的判定定理证明
题型二 利用平行四边形的性质求角度
题型三 利用平行四边形的性质求长度
题型四 利用平行四边形的性质求面积
题型五 平行四边形中的线段最值问题
题型六 平行四边形中的翻折问题
题型七 平行四边形中的旋转问题
题型八 平行四边形的存在性问题
题型九 三角形中位线有关的证明
题型十 平行四边形的性质与判定综合题型
【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】
【知识归纳】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【例1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果．
【详解】解：延长CM交AD于N，如图所示：
∵点M是线段BD的中点，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG⊥AB；②EF=EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质证明出AD=OD=OB=BC，根据三线合一定理得到∠AEB=90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线定理证明EF=BG，EFBG，即可判断③；设FG与AC交于点M，证明FG⊥AC，再由EG=FE，即可证明AC垂直平分FG，即可判断④；根据现有条件无法证明①；
【详解】∵平行四边形ABCD，
∴ABCD，AD=CB，AB=DC，BD=2OD，
∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF=CD=AB，EFCD，
∵BD=2AD，
∴AD=OD=OB=BC，
∴BE⊥OC，
∴∠AEB=90°，
∵EG是△AEB的中线，
∴AG=EG=AB=BG，
∴EF=EG，故②正确；
∴EF=BG，EFBG，
∴四边形BEFG是平行四边形，故③正确；
设FG与AC交于点M，
∵四边形BEFG是平行四边形，
∴FGBE，
∵BE⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵EG=FE，
∴AC垂直平分FG，故④正确；
根据现有条件无法证明EG⊥AB
∴正确结论的序号为②③④．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理是解题的关键．
【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
【答案】
【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，
∵D是边上的中点，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
【变式3】（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．
(1)若，，试求的度数．
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可知，求出即可；
（2）只要证明，即可解决问题；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】
【知识归纳】
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
【例2】（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系．
【变式训练】
【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
【变式2】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，于点，为线段上一点且满足，，连并延长交于点，则的度数为 _____．
【答案】45°
【分析】连接，根据平行四边形的性质证明，可得，，然后证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接，
在平行四边形中，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
【变式3】（2021春·福建福州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，AE，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
(1)若∠BCN＝60°，求证：∠BAE＝30°；
(2)若MA＝MN，求证：∠NMC＝∠MAE；
(3)在（2）的条件下，若MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据∠CAD＝∠BCN＝60°，AC⊥CD，可得∠ACD＝90°，∠D＝30°，再由平行四边形ABCD得出∠BAC=90°，∠B＝30°，结合E为BC中点，即可证得结论；
（2）延长CN至G，使CG＝AC，连接MG，先证明△AMC≌△GMC，再根据Rt△ABC中，点E是斜边BC的中点，即可证得结论；
（3）在MC上截取MF＝AE，先证明△MAE≌△NMF，进而得出△NCF是等边三角形，运用直角三角形性质和勾股定理即可得出答案．
（1）
解：∵∠CAD＝∠BCN＝60°，AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠CAD＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝30°，ABCD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵E为BC中点，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°；
（2）
如图1，延长CN至G，使CG＝AC，连接MG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠CAD＝∠ACM＝∠GCM，
又∵MC＝MC，
∴△AMC≌△GMC（SAS），
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
∵AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
∵AC⊥CD，ABCD，
∴AC⊥AB，
Rt△ABC中，点E是斜边BC的中点，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠MAE+∠EAC＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE；
（3）
如图2，在MC上截取MF＝AE，
由（2）知，∠MAE＝∠NMF，
∵MA＝MN，
∴△MAE≌△NMF（SAS），
∴ME＝FN，
∵MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF是等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．
【经典例题三 利用平行四边形的性质求长度】
【例3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】延长交于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到，，在中，得到，，由折叠的性质得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图， 在四边形 中，，， 点 为 延长线上一点，连接 AC、AE，AE交 于点H，的平分线交 于点 ．若， 点为 的中点， ， 则 的长为（ ）．
A．9B．C．10D．
【答案】B
【分析】先由得到，再利用角的等量代换和平行线的判定证出四边形是平行四边形，然后用角边角证出，由全等三角形的性质和已知条件得出是等腰三角形，根据三线合一性质，联系已知条件证出，最后用勾股定理进行计算即可求出AC的长．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
四边形中，，，
∴四边形是平行四边形．
∵点为 的中点，
∴．
在和中，，
∴．
∴，．
∵，
∴AB=BE=10，DH=CH=CE=5，
∴是等腰三角形．
又∵CG是的平分线，
∴，．
∴和都是直角三角形．
∴．
∵，,
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质，还有勾股定理的应用，是一道几何综合题，综合性较强，熟练地掌握以上性质并能灵活地应用是解题的关键．
【变式2】（2020春·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质与折叠的性质得到，在利用勾股定理分别求出和，即可完成求解．
【详解】解：由折叠知：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
过点作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与折叠的性质，涉及等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程求出和．
【变式3】（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在平行四边形中，对角线交于点O．且分别平分．
(1)求的度数；
(2)猜测线段之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)设点P为对角线上一点，，若平行四边形的周长为16，平行四边形的面积为，直接写出的长．
【答案】(1)AD=AB=BC
(2)90°
(3)或
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由AC、BD分别平分∠DAB、∠ABC可得，根据三角形内角和定理即可得∠AOB的度数；
（2）根据平行线的性质可得，即可证明，可得DA=DC，根据平行四边形的性质可得；
（3）根据四边形ABCD的周长为16可得，当∠ABC＞90°时，过点作，根据四边形ABCD的面积可得DE的长，利用勾股定理可求出AE的长，进而可证明△DAB是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质可得OA、OB的长，根据PB=5，利用勾股定理可得OP的长，即可求出AP的长；当∠ABC＜90°时，可得OB＞5，不符合题意，综上即可得答案．
（1）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=90°；
（2）
解；AD=BC=AB，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴AD=AB=BC；
（3）
解：由（2）得在平行四边形ABCD中AD=AB=BC，
∴AD=AB=BC=CD，
∵四边形ABCD的周长为16，
∴，
①如图，当时，
过点作，
∵四边形的面积为，
，
∴，
，
点为的中点，
∴BE=2，
∴，
为等边三角形，
∵∠AOB=90°，
，
∵，
，
或；
②如图，当时，
同理可得，AE=2，
∴BE=6，
∴BD==，
∴，
所以这样的点不存在，故排除．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
【经典例题四 利用平行四边形的性质求面积】
【例4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为cm2，则四边形的面积为（ ）cm2．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接AC，BD，根据平行四边形的性质得，，，，，即可得，，
利用可证明，利用可证明，利用可证明，即可得求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
∴，，
在与△中，
，
∴（），
在和中，
∴（），
在和中，
∴（），
∴（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，构建计算即可．
【详解】如图，取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵， ，
∴ ， ，
∵，
∴，，
∴ ，，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称图形，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确添加辅助线构建三角形解决问题．
【变式2】（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【答案】15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；
(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由可得；
（2）求出，可得是等腰三角形时，，是等腰直角三角形，然后根据列式求出t值即可；
（3）作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，连接，当点运动到的位置时，先求出和的长，然后可得，即可计算t的值；当点运动到的位置时，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接交于G，过点G，证明，可得当过点G时，直线平分的面积，然后分点P在上和点P在上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
由题意得：，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴当是等腰三角形时，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，作的垂直平分线交于，交于，交于F，过点B作于H，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴（平行线间间距相等），
∴，
∴当点运动到的位置时，；
连接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点运动到的位置时，；
综上，当点在的垂直平分线上时，的值为或；
（4）解：如图2，连接交于G，过点G，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当过点G时，直线平分的面积，
当点P在上时，
∵，，，
∴，
解得：；
当点P在上时，如图3，点P与点G重合，
∵，
∴；
综上，当直线平分的面积时，的值为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
【经典例题五 平行四边形中的线段最值问题】
【例5】（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】A
【分析】由折叠可得，当 三点共线时，的长度最小，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值．
【详解】解：如图：连接，作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M是中点，
∴，
∴，
∴；
∵折叠，
∴，
∴当 三点共线时，的长度最小，
∴此时，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求的长度．
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，根据，，，运用勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根据平移性质证明四边形ADEC是平行四边形，得到CE∥AD，根据当DE⊥AB时， DE最小，此时，根据∠DEC=∠ECG=90°，证明四边形EDGC是矩形，得到DE=CG，运用面积法得到，求出，得到DE的最小值为．
【详解】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，
则∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥AD，
当DE⊥AB时， DE最小，
此时，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四边形，三角形面积，垂线段，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握用勾股定理的逆定理判断直角三角形，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积公式，垂线段最短的性质．
【变式2】（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．
（1）的长为________．
（2）线段长度的最小值为______．
【答案】 10
【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；（2）过点C作CFDE交AB于F，则四边形DCFE是平行四边形，CF⊥AB时，CF的值最小，即DE最小．
【详解】（1）在Rt△ABC中，，，，
∴ ．
故答案为:10．
（2）过点C作CFDE交AB于F，
∵四边形是平行四边形
∴DCAB
∴DCEF
∴四边形DCFE是平行四边形
∴DE=CF
当CF⊥AB时，CF的长度最小，
∵
∴即
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，运用“点到直线的距离垂线段最小”是解题的关键，另外本题用到等面积法，是初中数学常用方法．
【变式3】（2021春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）1
【分析】（1）结论，延长到，使，连接BH，EH，先证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得， ，再证明，根据全等三角形的性质可得AH=AD，∠3=∠5，即可得∠HAD=60°，所以是等边三角形，由此即可证得结论；
（2）连接EC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得；取中点，连接FG，可知为中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得，所以点的轨迹为射线，且；当时，最小，由此即可求得线段长度的最小值为1．
【详解】延长到，使，连接BH，EH，
∵点是线段的中点，
∴BF=EF，
∴四边形是平行四边形，
， ，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
，
在△ABH和△ACD中，
，
，
∴AH=AD，∠3=∠5，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4+∠5=60°，
即∠HAD=60°，
∴是等边三角形，
∴HD=AD，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
连接EC，
，
，
取中点，连接FG，
是中点
为中位线
，
的轨迹为射线，且，
∵，
∴，
当时，最小，
中，，
∴．
即线段长度的最小值为1．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质就、三角形的中位线定理及30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
【经典例题六 平行四边形中的翻折问题】
【例6】（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质，折叠的性质，得到∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，FH=FB，AD=AG，结合DE=FB，得到AF=EF，DE=EG=FH=FB，设DE=EG=FH=FB=x，则EF=AF=2x+GH=3+2x，过点G作GM⊥AF于点M，根据∠GAF＝45°，AD＝，得证AM=MG=3,MF=2x，GF=3+x，根据勾股定理计算x即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，
∴∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，FH=FB，AD=AG，
∵DE=FB，
∴AF=EF，DE=EG=FH=FB，
设DE=EG=FH=FB=x，
∴EF=AF=2x+GH=3+2x．
过点G作GM⊥AF于点M，
∵∠GAF＝45°，AD＝，
∴AM=MG=3，MF=2x，GF=3+x，
根据勾股定理，得，
解得x=2（负根舍去），
AF=AM+MF=3+2x=7，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（ ）
A．3或6B．3或C．D．6
【答案】A
【分析】过点A′作A′F⊥CD于D，由平行四边形ABCD，得∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，A′D=AD=3，根据点恰好落在的平分线上，所以∠A′CF=30°，所以CA′=2A′F，设A′F=x，则CA′=2x， CF=x，所以DF=3-x, 在Rt△D A′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，求解即可得出x，从而求出CA′的长．
【详解】：如图，过点A′作A′F⊥CD于D，
∵平行四边形ABCD，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，
由翻折可得，A′D=AD=3，
∵点恰好落在的平分线上，
∴CA′平分∠BCD，
∴∠A′CF=30°，
∵A′F⊥CD，
∴CA′=2A′F，
设A′F=x，则CA′=2x，
由勾股定理，得CF=x，
∴DF=3-x,
在Rt△D A′F中,由勾股定理，得
32=（3-x）2+x2，
解得：x1=，x2=3，
∴CA′=2x=3或6，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，作辅助线A′F⊥CD于D，构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是解题的关键．
【变式2】（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________．
【答案】##
【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
【详解】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：
∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
∵在▱ABCD中，BC=AD=3，BCAD，
∴∠D+∠C=180°，BC=BG=AD=3，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵ABCD，
∴∠BAG=∠AED，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得
，即，
解得AF=，
∴，
∴GF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形与折叠的性质是解题的关键．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，交延长线于，根据平行四边形的性质得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得四边形的面积；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点，根据轴对称的性质，以及两点直线线段最短可得到，当折线与线段重合时，线段的长度最短，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：过点作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形的面积；
故答案为：；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点；
四边形为平行四边形，
，，
点为的中点，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折变换的性质得：，
，
，当折线与线段重合时，线段的长度最短，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称求线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【经典例题七 平行四边形中的旋转问题】
【例7】（2021春·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用勾股定理求得，进而求得，通过角度的计算可得，从而可求得，根据即可求得
【详解】过点作于点，
四边形是平行四边形，,
故选C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2020·湖北·九年级统考阶段练习）如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△，点B′在AB边上，交AC于E，连接AA′．有下列结论：①△ABC≌△；②四边形是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．① ③C．②③D．① ② ③
【答案】D
【分析】①根据旋转的性质可知 则△ABC≌△；
②根据全等的性质和三角形内角和定理即可得出 ，根据内错角相等，两直线平行得出 ，再根据得出，即可证明四边形是平行四边形；
③根据等腰三角形的判定逐一对图中所有的三角形进行验证即可得出答案．
【详解】根据旋转的性质可知
∴△ABC≌△（SSS）；故①正确；








四边形是平行四边形，故②正确；







∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形
∴所有的三角形都是等腰三角形，故③正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
【变式2】（2022春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．
【答案】5+
【分析】作AM⊥BC于M，证明△AOE≌△COF，即可推出四边形ABFE周长，所以当EF最小时，四边形ABFE周长最小即可算出最小值.
【详解】解：作AM⊥BC于M，如下图所示：
∵∠ABC=60°，
∴ ， ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABFE周长 ，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即的最小值，
∴四边形ABFE周长的最小值是 ．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合线段和最短问题，正确转换线段之间的关系表达出周长是解题关键.
【变式3】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点E在直线BC上，点F在直线AB上（点E、F不与三角形的顶点重合），，连接CF和AE，将线段CF绕点C顺时针旋转得到线段CG，连接AG．
(1)如图1，当点E与点F分别在线段BC与线段AB上时．
①求证：；
②求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)如图2，当点E与点F分别在线段CB与线段BA的延长线上时，请判断四边形AECG还是平行四边形吗？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)是，理由见解析
【分析】（1）①是等边三角形，则，则在△AEB和△CFA中，根据，可证进而可得；
②根据，可得，由旋转的性质得，则，进而可得，则可证四边形AECG是平行四边形；
（2）解：四边形AECG是平行四边形．理由如下：是等边三角形，则，进而可得，则在△AEB和△CFA中，，进而可证，则，根据，可知，
根据，可得四边形AECG是平行四边形．
（1）
①证明：∵是等边三角形，
∴，
在△AEB和△CFA中，
，
∴，
∴，
②∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴四边形AECG是平行四边形；
（2）
解：四边形AECG是平行四边形．理由如下：
∵是等边三角形，
，
．
在△AEB和△CFA中，，
，
，
，
，
，
四边形AECG是平行四边形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，对于条件不变，仅仅是图形位置发生变化的问题探究，通常可借鉴已有的解题经验来解决问题．
【经典例题八 平行四边形的存在性问题】
【例8】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【答案】B
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=3,b=4
∴
②AB为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-1,b=2
∴
③AC为对角线时，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-3,b=-4
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2 cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行判定．
【详解】A．t＝1时，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此时构不成平行四边形，不符合题意；
B．t＝2时，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形PDCQ，不符合题意；
C．t＝3时，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意；
D．t＝4时，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APQB，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．
【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】或5
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
故答案为：或5．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定；注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
【变式3】（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题：
(1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形．
(2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案．
【答案】(1)时
(2)或或
【分析】当四边形为平行四边形时，则，列出方程即可解决问题；
根据题意知，分或或三种情形，分别表示出的长，进而解决问题．
（1）
解：当四边形为平行四边形时，
则，
，
解得，
时，四边形变为平行四边形；
（2）
由题意知，(cm)，(cm)，
(cm)，
当以，，，B四点组成的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得舍去；
当时，(cm)，
，
解得；
当时，(cm)，
，
解得；
当时，(cm)，
，
解得，
综上所述：或或，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，运用分类思想分别表示出的长是解题的关键．
【经典例题九 三角形中位线有关的证明】
【例8】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【答案】B
【分析】延长交于F，利用“角边角”证明和全等，求出并判断出是的中位线，然后根据三角形中位线的性质可得．
【详解】解：如图，延长交于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长使至，点、点分别为、的中点，根据中位线的性质可得，要想求最小，求即可，当、、三点共线时，最小，由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，直角三角形的性质求出的度数，即可求出的度数．
【详解】延长使至，
∵点、点分别为、的中点，
∴∥，，
∴=，
当、、三点共线时，最小，
由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______．
【答案】
【分析】过作于，得到，根据三角形中位线定理得到，设，得到，根据线段中点的定义得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过作于，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵点是的中点，
∴，
则：
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【知识呈现】
两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点．
(1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______；
【拓展巩固】
(2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【探究提升】
(3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析
(3)成立， ，
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，；
（2）延长交于，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理证明即可；
（3）连接、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理证明即可．
【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，，
同理可得：，，
，，
故答案为：，；
（2）解：成立，
证明如下：如图，延长交于，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，，，，
，；
（3）解：成立，
证明如下：如图，连接、交于点，
，
，即，
在和中，
，
，，
，
，即，
，，，，
，．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【经典例题十 平行四边形的性质与判定综合题型】
【例8】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由平行四边形的判定定理判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论．
【详解】解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，故②正确；
四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
和都是等边三角形，
，，，
，
，故③错误；
其中正确的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、含直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质结合，得出，，，，进而得出，，然后根据角平分线的定义，得出，再利用等量代换，得出，进而得出为等边三角形，再由等边三角形的性质结合题意，得出，再根据等边对等角，得出，然后再利用邻补角互补，得出的度数，进而得出，再利用两直线平行，内错角相等，得出，即可判断①；然后根据角的关系，得出，再根据直角三角形的边的关系，得出，再根据等量代换，得出，即可判断②；再根据平行四边形面积公式，得出，再根据等量代换，得出，即可判断③；再根据，，得出是的中位线，然后根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半，得出，EO∥CD，可得出，然后再结合题意，推出，然后再根据题意，得出，再根据代入法，得出，即可判断④；再根据三角形中位线定理，得出，再根据，得出，即可判断⑤．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，，BC=AD，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∴，故③正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，EO∥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上可得：①、③、④、⑤正确．
故选：D .
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线与三角形的面积问题、等知识，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
【变式2】（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．
【答案】2
【分析】如图，连接，取的中点F，连接，先证明，得，根据三角形的中位线定理可得，，由平行线的性质和三角形的内角和定理可得，所以是等边三角形，可得结论．
【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理得，，，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合运用，解题的关键是证明△FMN是等边三角形．
【变式3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．
解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 cm2．
(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．
(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
则的面积，
即四边形的面积为，
故答案为：12.5；
（2）解：，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为2；
（3）解：如图，过点B作于H，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
此时：，，
是等边三角形，
．
综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【培优检测】
1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，于点D，，若E，F分别为的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理解得，最后由中位线的性质解答即可．
【详解】解：， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即，
，
，分别为，的中点，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，中位线的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由是平行四边形，得到，，然后由等腰三角形的性质可得，，得到，即可用勾股定理求得的长
【详解】∵在平行四边形中，M是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键
3．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、、分别是、、的中点，，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】连接、，由平行四边形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，由平行线得出，设，则，证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理得出方程，求出，得出，在中，由勾股定理求出，即可得出的长．
【详解】解：如图所示：连接、，

四边形是平行四边形，
，
点分别是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，则，
点分别是的中点，
是的中位线，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解答本题的关键．
4．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】先证明是等边三角形，可得，根据平行四边形的性质求出，可得，即可求出，①正确；根据，求出，计算即可得出②正确；根据，，求出可得③正确；根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得④正确；根据，可得⑤正确．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴平行四边形的周长，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，故③正确；
④在中，
∵，，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴E为中点，故⑤正确；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
5．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．17C．13D．10
【答案】B
【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
【详解】解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
6．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
，
四边形的周长．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【答案】B
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出 ，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴ AF=FD，
∵在中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF=，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE，
∵F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在和中
∵，
∴，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC=EM＝FE，故②正确；
∵EF=FM，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
故：S△BEC<2S△CEF，故③成立；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC＝90°-x，
∴∠EFC＝180°—2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x，
∵∠AEF＝90°-x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．
8．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】首先证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确．
【详解】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．
∴AD=2AF．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中，
AD＝BA ，AF＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=DF．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DFAE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，ADEF，
设AC交EF于点H，
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中，
BD＝FE，DF＝EA，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
综上，①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．
9．（2022秋·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，过点A作 且点F在点A的右侧．点D从点A出发沿射线方向以1cm/秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线方向以2cm/秒的速度运动，在线段上取点C，使得，设点D的运动时间为x秒．当x=___________秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】根据平行四边形的判定得出，分两种情况讨论即可得到答案
【详解】∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用方程及分类讨论的思想解题．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，已知中，垂直平分，且，点为上一点，连接，若，，则的长为____________．
【答案】
【分析】过点作于，由平行四边形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，，由勾股定理列出方程可得出答案．
【详解】解：过点作于，
∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得（舍去）或
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．
【答案】3
【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．
12．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【答案】7
【分析】根据折叠的性质可得：，，从而平行四边形的周长可以转化为的周长的周长，求出，再由的周长，即可求出的长．
【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，
∴，，
∵的周长为6，的周长为20，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）和平行四边形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，且对应边和对应角相等；平行四边形对边平行且相等是解题的关键．
13．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．
【答案】2或或
【分析】判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：①时，过点作，垂足为点．
∴为的中点，
则，，取为的中点，
∴，为的中位线，即，
∴、、三点在一条线上，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，是等腰三角形；
②时，则，
∵，，
∴，
∴
则，
∴当B时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、．
易知为矩形，∴，，
∴、、在同一直线上，
∴为的中位线，
∵，，
∴，，，
∴，
即：，
整理得：，即，
解得：或（舍去）
∴当时，△CDF是等腰三角形．
综上，当、、时，是等腰三角形．
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
【答案】##
【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，
．
，，
∴四边形为平行四边形，
．
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
15．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．
【答案】
【分析】分别是的中点，可知是的中位线，可证四边形是平行四边形，在中，根据勾股定理，平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形与平行四边形的综合运用，掌握中位线，勾股定，平行四边形判定和性质是解题的关键．
16．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
【答案】(1)13
(2)见解析
【分析】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）如图，取的中点P，连接，
∵E，F分别是的中点，，
∴，且，且．
又∵，
∴，
∴．
在中，．
（2）证明：如图，取的中点P，连接．
∵E，F分别是的中点，
∴，且，，且．
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．
17．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)；
(2)①；② ；
(3)t为3秒或7秒时．
【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案；
（2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出；
（3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①若，，，
∴，
故答案为：；
② 若，，，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
∵E是的中点，
∴，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）在平行四边形中，点E在边上，点F在边上，连接、、、，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与全等的所有三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)以为顶点的三角形且与全等的三角形有：，，，，证明见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，再利用全等三角形的性质即可证明．
（2）根据平行四边形的性质可得，，根据全等三角形的判定定理和性质，三角形的中位线定理证明四边形，四边形，四边形是平行四边形，再利用平行四边形的中心对称的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵E是的中点，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
由平行四边形的中心对称的性质可得：以为顶点的三角形且与全等的三角形有：，，，．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键．
19．（2023秋·山东淄博·八年级校考期末）如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)万元
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，过点作于点，如图：
，，，
，
，
，
；
公园的面积为；
故答案为：．
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处，
此时即为取最小值，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大．
20．（2022春·河北石家庄·八年级校考期末）问题：如图1，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF＝ ．
（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变；
①如图2，当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，则EF＝ ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值．
【答案】问题：2；（1）①AB=10；②5；（2）的值为或或2．
【分析】问题：由平行四边形的性质得CD=AB=8，BC=AD=5，ABCD，再证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=5，同理BC=CF=5，即可解决问题；
探究：（1）①证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=5，同理BC=CF=5，即可求解；②由题意得DE=AD=5，再由CF=BC=5，即可求解；
（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【详解】问题：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8，BC=AD=5，ABCD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=5，
同理：BC=CF=5，
∵DE+CF=DE+CE+EF=CD+EF，
∴EF=DE+CF-CD=5+5-8=2，
故答案为：2；
探究：
解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，BC=AD=5，ABCD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=5，
同理：BC=CF=5，
∵点E与点F重合，
∴AB=CD=DE+CF=10；
②如图3所示：
∵点E与点C重合，
∴DE=AD=5，
∵CF=BC=5，
∴点F与点D重合，
∴EF=DC=5，
故答案为：5；
（2）分三种情况：
①如图4所示：
同（1）得：AD=DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD=DE=EF=CF，
∴；
②如图5所示：
同（1）得：AD=DE=CF，
∵DF=FE=CE，
∴；
③如图6所示：
同（1）得：AD=DE=CF，
∵DF=DC=CE，
∴；
综上所述，的值为或或2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．