人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题10平行四边形经典折叠问题专训(36道)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题10平行四边形经典折叠问题专训(36道)(原卷版+解析)，共69页。

1．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．
2．（2022秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
①；②；③和的面积相等；④和的面积相等
A．①②B．①③C．③D．①②③
4．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
6．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
10．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP=2．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．（2021秋·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接现有如下4个结论：①；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
12．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；其中正确有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
13．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是___________，的最小值是___________．
14．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则________．
15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点处，则折痕的长为_____．
16．（2022·山东泰安·校考二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．
17．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在矩形 中， 点E，F分别在边 ， 上，且 ，将矩形沿直线 折叠，点B恰好落在 边上的点P处，连接 交 于点Q，对于下列结论：① ；② ；③ ；④若P是 的中点，则矩形 为正方形．其中正确的是_______（填序号）．
18．（2022秋·天津和平·九年级校考期中）如图，现有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接，下列结论：①；②四边形是菱形；③P，A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．
19．（2022秋·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若，那么在这个过程中BD长度的取值范围是______．
20．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为BC上一动点，把沿AE折叠，当点B的对应点落在或的角平分线上时，则点到BC的距离为______________．
21．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当 为等腰三角形时，BC=________．
22．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
23．（2022春·云南红河·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为___________．
24．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为______．
25．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．
(1)求证：；
(2)若，．求点F至的距离．
26．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕两端点分别在，上（含端点），且，．设．
(1)当的最小值等于______时，才能使点B落在上一点E处；
(2)当点F与点C重合时，求的长．
(3)当时，点F离点B有多远？
27．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）长方形纸片ABCD中，，，将 沿BD折叠使点C落在Cʹ处，BCʹ交AD于点E．
(1)试找出一个与全等的三角形，并加以证明．
(2)求DE的长．
(3)若P为线段BD上的任意一点，，垂足为G， ，垂足为H，试求的值，并说明理由．
28．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）综合与实践
问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．
独立思考：
(1)在图1中，若，，则的长为______；
实践探究：
(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
29．（2021秋·福建泉州·八年级校考期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片．
(1)操作发现： 如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处， 交于点M，若，，则____．
(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边上一点，且，将纸片沿折叠，使点B落在点处，延长与的延长线交于点H，则与有何数量关系？并说明理由．
30．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若点是的中点，，求的长．
31．（2022春·吉林·八年级期中）（1）【探究】如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作于点O，交BC于点F．求证：；
（2）【应用】如图②，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，直线FG分别交AD、BC、DE于点F、G、O，将正方形ABCD沿FG折叠，使点D的对称点与点E重合，点C的对称点为．若，求线段FG的长．
32．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．
（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）
（2）连接BG，若，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．
33．（2022春·河北保定·八年级统考期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
(1)奋进小组用图1中的矩形纸片，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的形状是______．
(2)勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠（如图3），使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)创新小组用图4中的矩形纸片进行操作，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G，则的长为______．
34．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在项目化学习“折纸中的数学”中，有同学以“矩形纸片的折叠”开展探究活动．现有矩形纸片，点在线段上，折痕为，点的对应点为点，分别按以下操作回答问题．
(1)如图，若点落在线段上，则四边形是哪类特殊四边形？答：______．
(2)如图，若点落在矩形纸片内，满足CF∥AE，此时线段与有怎样的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点落在对角线上，点为矩形的对称中心，且，求的度数．
35．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则 °；
（2）小明手中有一张长方形纸片，，．
【画一画】
如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【算一算】
图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长．
36．（2022·全国·八年级专题练习）【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点．若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．
专题10 平行四边形经典折叠问题专训（36道）
【平行四边形经典折叠问题专训】
1．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵是翻折而成，
∴，是直角三角形，
∴，
在中，，
设，
在中，，即，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
2．（2022秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴、y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若点，点，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质可知 再利用折叠的性质得，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处．
∴，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
在中，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
①；②；③和的面积相等；④和的面积相等
A．①②B．①③C．③D．①②③
【答案】A
【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．
【详解】如图，连接，
∵点是中点，
∴，
由折叠知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
由折叠知，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故②正确，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，故④正确，
无法判断和的面积是否相等，
∴③不正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
4．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由折叠的性质可知，，，；根据点是的中点可知，再结合角平分线的性质可知，即可证明，由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式即可求得和的面积之比．
【详解】解：根据题意，由折叠的性质可知，
，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即和的面积之比为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：是的中点，
，
沿折叠后得到，
，，
，
在矩形中，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，即；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
6．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】①正确．证明,得到，结合可得结果．
②错误．可以证明，不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明，即可．
④错误．证明，求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
∴，
，，
，故正确，
设，
在中，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：，
∴，
，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先延长交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到，设，则，在中，依据勾股定理可得，进而得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点G，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，依据勾股定理可得，
∴，
解得，（负值已舍去）
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．
8．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由折叠及性质可知，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后再中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长．
【详解】解：设与交于H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，

∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和折叠的性质．
9．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由勾股定理和折叠的性质可求，，由三角形的三边关系，，则当点在上时，有最小值为，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
将沿折叠，
，
在△中，，
当点在上时，有最小值为，
，分别为，的中点，
，
的最小值为1，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，求出的最小值是解题的关键．
10．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP=45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP=30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP=2．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】①由矩形的性质得到∠OBC=90°，根据折叠的性质得到OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，得到OA=10，OB=6，根据直角三角形的性质得到DH=3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为OA•DH=×3×10=15，故②正确；
③根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB=∠POA，等量代换得到∠OPA=∠POA，求得AP=OA=10，根据勾股定理得到BP=BC-CP=10-8=2，故③正确．
【详解】解：①∵四边形OACB是矩形，
∴∠OBC=90°，
∵将△OBP沿OP折叠得到△ODP，
∴OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，
∵∠BOP=45°，
∴∠DOP=∠BOP=45°，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠OBP=∠ODP=90°，
∴四边形OBPD是矩形，
∵OB=OD，
∴四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作DH⊥OA于H，
∵点A（10，0），点B（0，6），
∴OA=10，OB=6，
∴OD=OB=6，∠BOP=∠DOP=30°，
∴∠DOA=30°，
∴DH=OD=3，
∴△OAD的面积为OA•DH=×3×10=15，故②正确；
③∵OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∵∠ODP=∠OBP=90°，
∴∠ADP=180°，
∴P，D，A三点共线，
∵OA∥CB，
∴∠OPB=∠POA，
∵∠OPB=∠OPD，
∴∠OPA=∠POA，
∴AP=OA=10，
∵AC=6，
∴CP==8，
∴BP=BC-CP=10-8=2，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2021秋·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接现有如下4个结论：①；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可得EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，求出DA＝DF，证明Rt△ADG≌Rt△FDG，可得AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正确；根据∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，可知③正确；求出△BGE的周长＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，可知④正确；当F是GE的中点时，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②错误．
【详解】解：根据折叠的意义，得：△DEC≌△DEF，
∴EF＝EC，DF＝DC，∠CDE＝∠FDE，
∵DA＝DC，
∴DA＝DF，
又∵DG＝DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，∠ADG＝∠FDG，故①正确；
∴∠GDE＝∠FDG＋∠FDE＝（∠ADF＋∠CDF）＝45°，故③正确；
∵△BGE的周长＝BG＋BE＋GE，GE＝GF＋EF＝AG＋EC，
∴△BGE的周长＝BG＋BE＋AG＋EC＝AB＋AC，
即△BGE的周长是定值，故④正确，
当F是GE的中点时，可得AG＝GF＝FE＝EC，故②错误；
∴正确的结论是①③④，
故选：A．
【点睛】此题考查了翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用各性质进行推理论证是解决此题关键．
12．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；其中正确有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】证明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可判断①，证明DP⊥EC，结合BF⊥DP，可判断②，当E，P，F共线时，求解∠DPC＝∠DPE＝． 在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝，DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，可得x+x＝4，解方程可判断③，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝，证明点E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，
在△DCP和△BCF中，
，
∴△DCP≌△BCF（SAS），
∴∠CDP＝∠CBF，
∵∠CPD＝∠BPH，
∴∠DCP＝∠BHP＝90°，
∴DP⊥BF，故①正确．
②∵C，E关于DP对称，
∴DP⊥EC，
∵BF⊥DP，
∴，故②正确．
③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝．
在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝，
∴
∴∠JDP＝∠JPD＝，
∴DJ＝JP，
设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，
∴x+x＝4，
∴x＝4﹣4，
∴CF＝4﹣4，故③错误，
④如图3中，连接CE，BD．
由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝，
∴∠CDE＝，
∴点E在DB上，
∵A，C关于BD对称，
∴EA＝EC，
∵∠ECF＞∠EFC，
∴EF＞EC，
∴EF＞EA，
∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，二次根式的除法运算，轴对称的性质，熟练的应用以上知识解题是关键．
13．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是___________，的最小值是___________．
【答案】
【分析】在直角中，根据勾股定理即可求出的长；连接，如图1，则根据三角形的三边关系可得：，显然，当D、、E三点共线时，最小，据此解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在直角中，根据勾股定理，得：．
连接，如图1，则，
显然，当D、、E三点共线时，最小，如图2，
∵，
∴．
故答案为：、．
【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理和三角形的三边关系等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
14．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，小实同学先将正方形纸片沿对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平，然后折出上方矩形的对角线，再把边沿折叠，使得A点落在上的H点处，若，则________．
【答案】##
【分析】设，则可得．连接，即可构造和，依据勾股定理得到，进而得出关于x的方程，通过解方程即可得到的长．
【详解】解∶如图所示，连接，
在中，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
由折叠可得，，
∴，
在和中，
，即，
解得，
∴．
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及翻折变换(折叠问题)以及勾股定理， 折叠的本质属于轴对称变换，关键是抓住折叠前后的对应边和对应角相等．
15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点处，则折痕的长为_____．
【答案】2
【分析】根据矩形的性质可得，，设，则，由翻折可得，根据勾股定理求出x的值，然后证明是等边三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
设，则，
由翻折可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16．（2022·山东泰安·校考二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______．
【答案】7
【分析】设，根据折叠的性质得出．过E作于M，则，．在中根据勾股定理得出，即，解方程即可．
【详解】解：设，
∵分别沿，折叠矩形恰好使都与重合，
∴．
过E作于M，则四边形是矩形，
∵，，
∴，，，
在中，∵，
∴，即，
解得，
则，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键．
17．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在矩形 中， 点E，F分别在边 ， 上，且 ，将矩形沿直线 折叠，点B恰好落在 边上的点P处，连接 交 于点Q，对于下列结论：① ；② ；③ ；④若P是 的中点，则矩形 为正方形．其中正确的是_______（填序号）．
【答案】①③
【分析】先由与的关系，得出与的关系为．再由折叠得到,．由于是直角三角形，可知．最后在几个直角三角形中，利用的角所对直角边是斜边的一半，求出各线段长度的关系，进而判断出结论正确与否．
【详解】∵四边形是矩形
∴
∵，
∴．
∵是由折叠得到的，
∴,，，，
∴在中，，
∴，
∴
∴
∴
∴在中,，
∴
故①正确,②错误．
∵在中，,
∴是等边三角形
∴
∴
同理可得：
∴
∴
故③正确．
∵P是的中点
∴
又∵
∴
即矩形不是正方形
故④错误．
故正确的是①③．
【点睛】本题考查了折叠的性质和直角三角形中，的角所对直角边是斜边的一半．主要利用了转化思想和等量代换．
18．（2022秋·天津和平·九年级校考期中）如图，现有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接，下列结论：①；②四边形是菱形；③P，A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．
【答案】②③##③②
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得进而得，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过D点时，求得四边形的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．
【详解】解：如图1，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故②正确；
∴，，
∴，
∵，
若，则，
∴，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴．故③正确；
当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，故④不正确．
故答案为：②③．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
19．（2022秋·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）小明将一张长方形纸片翻折的过程中发现：如果点E、F分别是OC、OA边上的点，将沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，若，那么在这个过程中BD长度的取值范围是______．
【答案】##
【分析】根据矩形的性质得∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，当折痕EF移动时点D在BC边上也随之移动，由此可以得到，当点E与C重合时，BD最小，当F与A重合时，BD最大，据此画图求解即可.
【详解】解：∵四边形OABC是矩形
∴∠B=90°，OA=BC=5，OC=AB=4，
当点E与C重合时，最小，如图所示：
此时，
∴.
当F与A重合时，最大，如图所示：
此时，
∴，
∴的取值范围为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理等等，解题的关键在于确定E、F的位置.
20．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为BC上一动点，把沿AE折叠，当点B的对应点落在或的角平分线上时，则点到BC的距离为______________．
【答案】2或1或
【分析】过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，分点B的对应点落在的角平分线上和点B的对应点落在的角平分线两种情况，利用勾股定理列方程，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，
过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，
①当点B的对应点落在的角平分线上时，连接，


∴设，则，又由折叠的性质知，
∴在直角中，由勾股定理得到：
，即，
解得：，
则点到的距离为或．
②当点B的对应点落在的角平分线上时，


∴设，又由折叠的性质知，
∴在直角中，由勾股定理得到：
，即，
解得：（不合题意，舍去），
则点到的距离为．
故答案为：2或1或．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解一元二次方程等知识点，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
21．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当 为等腰三角形时，BC=________．
【答案】18或15或21.9
【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：∵沿EF折叠C落在处，
∴，，，
∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，
∴，
当时，CE=AE=13，
∴BC=BE+CE=18；
当时，过点A作于点G，则，
∵AE⊥EF，
∴，
∵，
∴，
∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，
∴，
∴EG=BE=5，
∴，
∴CE=10，
∴BC=BE+CE=15；
当时，过点作于点M，连接交EF于点N，连接AF，则AE=2ME，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点落在AD上，，
∴，
设DF=x，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
设CE=a，则AD=BC=5+a，
∵，
∴，
解得：a=16.9，
∴BC=21.9；
综上所述，BC=18或15或21.9．
故答案为：18或15或21.9
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．
【答案】15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
23．（2022春·云南红河·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为___________．
【答案】8或
【分析】分为两种情况，当∠CFE=90°和∠CEF=90°时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当∠CFE=90°时，
矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC==13，
由折叠性质可得：
AF=AB=5，∠AFE=∠B=90°，
∵∠CFE=90°，
∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=180°，
∴A、F、C三点共线，
∴FC=AC-AF=13-5=8，
如图，当∠CEF=90°时，
∴∠BEF=90°，
由折叠性质可得：
∠AFE=∠ABE=90°，EF=BE，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE= EF=AB=5，
∴CE=BC-BE=12-5=7，
在Rt△CEF中，
∴CF=
综上，CF=8或，
故答案为：8或．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．
24．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为______．
【答案】2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.
【详解】解：①如图1，当E点在线段上时，连接,
∵四边形是正方形，
∵折叠后，
又
(HL)
∴


设,则，
在Rt中，

解得
②如图2，E点在线段上时，连接,

设,则，
在Rt中
解得

故答案为：2.4或6
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识并根据勾股定理列方程是解题的关键.
25．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F．
(1)求证：；
(2)若，．求点F至的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由翻折的性质和矩形的性质得到条件证明，即可得到结论；
（2）根据勾股定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，．
∵四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由（1）知，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
过F作于H，
∴，
∴，
故点F至的距离为．
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．
26．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕两端点分别在，上（含端点），且，．设．
(1)当的最小值等于______时，才能使点B落在上一点E处；
(2)当点F与点C重合时，求的长．
(3)当时，点F离点B有多远？
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据垂线段最短原理，当时，最小，此时四边形是正方形，从而得到的最小值等于，计算即可．
（2）根据折叠性质，勾股定理得，根据，引入未知数，建立等式计算即可．
（3）过点F作，垂足为H，判定四边形是矩形，根据勾股定理，得，计算即可．
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得，
根据垂线段最短原理，当时，
最小，
因为矩形纸片，
所以，
所以四边形是正方形，
所以，
故答案为：6．
（2）解：根据折叠的性质，得，
因为矩形纸片，，，
所以，，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以．
（3）解：如图，过点F作，垂足为H，
因为矩形纸片，，
所以，
所以四边形是矩形，
所以，
根据折叠的性质，得，
设，
则，
因为，
所以，
所以，
根据勾股定理，得，
所以，
解得，
所以点F离点B的距离为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
27．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）长方形纸片ABCD中，，，将 沿BD折叠使点C落在Cʹ处，BCʹ交AD于点E．
(1)试找出一个与全等的三角形，并加以证明．
(2)求DE的长．
(3)若P为线段BD上的任意一点，，垂足为G， ，垂足为H，试求的值，并说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据翻转的性质和长方形的性质，可推出，，进一步可证明；
（2）根据，可得，设，在中，根据勾股定理即可解出DE的长；
（3）连接PE，由即可求出．
【详解】（1）解：，
证明如下：在矩形ABCD中，
由翻转变换的性质可知，，，
∵，，
∴，，
在和中，

∴．
（2）解：∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，即．
（3）解：连接PE，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查翻转的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等．熟知相应的性质并灵活进行边和角的等量代换是解题的关键．
28．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）综合与实践
问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．
独立思考：
(1)在图1中，若，，则的长为______；
实践探究：
(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据折叠的性质以及等腰三角形等边对等角可得，，，结合三角形的内角和即可得出结论；
（3）先根据有一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，点D是的中点，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：．
（2）．理由如下：
方法一：∵，，
∴．
∴，．
设，则，．
∴．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法二：∵，，
∴．∴．
设，则，．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
（3）四边形CDAE是菱形
方法一：∵，，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴，．
∴．
由折叠可得：，，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
方法二：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，是等边三角形．
∴，．
∴．
由折叠可知：，，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定和菱形的判定；解题的关键是熟练掌握各个知识点，明确折叠前后对应边对应角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判定定理和菱形的判定定理．
29．（2021秋·福建泉州·八年级校考期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片．
(1)操作发现： 如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处， 交于点M，若，，则____．
(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边上一点，且，将纸片沿折叠，使点B落在点处，延长与的延长线交于点H，则与有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)5
(2)以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用折叠的性质和角平分线定义以及勾股定理解答即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，得出，最后判断出即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
由折叠性质得出，，，，
设为x，，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
故答案为：5．
（2）解：菱形，理由：如图3，连接，设与的交点为M，
由折叠知，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（ASA），
∴，
∴，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；
（3）解：，理由：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠知，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活应用所学知识解决问题是解本题的关键．
30．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若点是的中点，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由折叠的性质得出∠BGE=∠A，AE=GE，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
（2）证明四边形ABCD是矩形，得出AB=CD，则可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出GB=2GF，由勾股定理可得出答案．
（1）
证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∠A=∠D=90°，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A=90°，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
（2）
证明：由折叠性质可得，AB=BG，
∵ADBC，∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∴BG=DC；
（3）
解：由折叠可知AB=GB，
由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
又∵∠C=90°，AB=CD，FD=CF，
∴GB=2GF，BF+GF=3GF，
∵，
∴，
∴GF=2，
∴CD=2GF=4．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．
31．（2022春·吉林·八年级期中）（1）【探究】如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作于点O，交BC于点F．求证：；
（2）【应用】如图②，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，直线FG分别交AD、BC、DE于点F、G、O，将正方形ABCD沿FG折叠，使点D的对称点与点E重合，点C的对称点为．若，求线段FG的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用正方形的性质和可以证得（ASA），得到结论；
（2）过点F作于点H．证明△ADE≌△HFG（ASA），得，AB＝3AE＝3,求得，．在中，由勾股定理得＝10，即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴∠AOD＝90°，
∴，
∴，
∴（ASA），
∴．
（2）解：如图②，过点F作于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，ADBC，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADE≌△HFG（ASA），
∴，
∵，
∴，．
在中，，
由勾股定理，得＝10，
∴．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
32．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．
（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）
（2）连接BG，若，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．
【答案】（1），（2）6【初步探究】见解析【基本应用】
【分析】特例感知：（1）由“SAS”可证△ADE≌△DCF，即可得出结论；
（2）由“AAS”可证△ADE≌△BHE，可得AD=BH，由直角三角形的性质可求解；
初步探究：由“ASA”可证△ADE≌△DCH，可得DE=CH=FG；
基本应用：由全等三角形的性质可证PQ=AM，由勾股定理可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，
∵点E，F是AB，AD的中点，
∴AE=AB，DF=AD，
∴AE=DF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE=CF，∠AED=∠DFC，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°，
∴DE⊥CF，
故答案为：DE=CF，DE⊥CF；；
（2）解：延长DE交CB的延长线于H，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N，
∵，，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中，
由翻折变换的性质得，
∵，，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点M是CD的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的长为.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
33．（2022春·河北保定·八年级统考期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
(1)奋进小组用图1中的矩形纸片，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的形状是______．
(2)勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠（如图3），使点A与点C重合，折痕为，然后展平，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)创新小组用图4中的矩形纸片进行操作，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G，则的长为______．
【答案】(1)等腰三角形
(2)菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用折叠的性质和角平分线定义即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）由勾股定理可求BD的长，BG的长，即可求AG的长．
（1）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ABCD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠知，∠BAC=∠B'AC，
∴∠B'AC=∠DAC，
∴AM=CM
∴△MAC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）
菱形．
理由：如图，连接，，设与的交点为，
由折叠知，，，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
（3）
∵，，
∴．
由（1）可知．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键．
34．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在项目化学习“折纸中的数学”中，有同学以“矩形纸片的折叠”开展探究活动．现有矩形纸片，点在线段上，折痕为，点的对应点为点，分别按以下操作回答问题．
(1)如图，若点落在线段上，则四边形是哪类特殊四边形？答：______．
(2)如图，若点落在矩形纸片内，满足CF∥AE，此时线段与有怎样的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点落在对角线上，点为矩形的对称中心，且，求的度数．
【答案】(1)正方形
(2)，理由见解析
(3)72°
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折变换的性质可知得到四边形是矩形，根据翻折变换的性质得到，根据正方形的判定定理证明即可．
（2）由折叠可知，，，由平行线的性质可知，，，所以，所以，由此可得出结论．
（3）由矩形的对称中心的定义可知，，由等腰三角形的性质可知，，，设，则，由外角的定理可知，由折叠可知，，所以，，由外角的定理可知，由，可知，即，解之即可．
（1）
解：根据题意得：，，
四边形是矩形，
∵，
四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（2）
解：，理由如下：
由折叠得：，，
∵CF∥AE，
，，
，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
．
（3）
解：如图，连接，

点为矩形的对称中心，
，
，，
设，
，，
由折叠得：，
，
，
，，
，
，
，即，
解得．
．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查正方形的性质与判定，矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角定理，直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是利用折叠的性质找出角度之间的和差关系．
35．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则 °；
（2）小明手中有一张长方形纸片，，．
【画一画】
如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【算一算】
图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长．
【答案】（1）29°；（2）见解析；（3）3
【分析】(1) 根据长方形，得到，得到，根据折叠的性质，得到，计算即可．
（2）延长交于点G，作平分线即可．
【详解】(1) 如图1，
因为长方形，
所以，
所以，
根据折叠的性质，得到，
故答案为：29°．
(2)如图，延长交于点G，作平分线，
则即为所求．
（3）因为四边形是长方形，，，，纸片折叠，使落在射线上，
所以，，，，，
所以，
所以，
所以，
设，
则，
解得，
所以．
【点睛】本题考查了长方形的性质，垂直平分线的判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握长方形的性质，折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
36．（2022·全国·八年级专题练习）【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点．若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．
【答案】【推理】见解析；【运用】；【拓展】
【推理】利用正方形与折叠的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定定理解答即可．
【运用】连接，通过证明，得到；利用等腰三角形的判定与性质和平行线的性质得到，则为的中点，再利用【推理】中的结论即可求得结论．
【拓展】利用折叠的性质和点的轨迹得到点的位置，利用当，，三点在一条直线上时，取得最小值，再利用勾股定理求得，则的最小值为．
【详解】证明：四边形是正方形，
，
．
由题意得：垂直平分，
，
，
，
，
在和中，
，
；
解：，理由：
连接，如图，
由题意得：，
，
点是的中点，
，
．
在和中，
，
，
．
由题意：，
，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
解：AN的最小值是，理由：
由题意得：垂直平分，
，
即点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，
是的中点，
，
，
∴点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，如图，
则，．
，
当，，三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的轨迹，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．